數(shù)學命題中的失誤例談.doc

數(shù)學命題中的失誤例談浙江省諸暨中學 邵躍才 311800編擬數(shù)學習題是每一位數(shù)學教師的基本功，它是一項艱苦而細致的工作?？v觀近幾年各地的高考模擬試卷和數(shù)學復習資料，盡管命題者在命題的科學性、合理性、嚴謹性等方面作出了很大的努力，但疏漏現(xiàn)象仍時有發(fā)生。一個不合理或錯誤的命題，不但浪費學生寶貴的時間和精力，而且可能把初學者引入歧途，給學生的邏輯思維能力的形成和發(fā)展帶來損害。本文試以近年來各地的數(shù)學復習資料和高考模擬試卷中一些命題的失誤現(xiàn)象為例加以剖析，以引起命題者和教學者的注意，避免或減少此類失誤，做到防患于未然。1 忽視隱含條件例1 過點A（1，）作雙曲線的弦，此弦被A點平分，求這弦所在的直線方程。 （浙江教育出版社解析幾何精編99版）解 設所求弦與雙曲線交點為M（x1，y1）、N（x2，y2）則相減得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)=0x1x2=2, y1y2=1剖析 上述解法是正確的，但求得的直線是雙曲線的一條漸近線，顯然與雙曲線無交點。錯誤原因是命題者設計題目時忽視了直線與雙曲線相交的隱含條件“0”。修正方法是：調(diào)整A點的坐標。例2 若長方體的對角線長為8cm，它的長、寬、高之和為14cm，求長方體的表面積。解 設長方體的長、寬、高分別為a、b、c厘米，則 即S表=132cm2剖析 命題者的意圖是考查學生整體思考的數(shù)學思想方法和長方體有關(guān)的知識，但在設計題目時忽視了隱含條件，即即對角線長大于8cm，所以上面題中的長方體是不存在的，修正方法是：調(diào)整長方體的對角線長。2 選擇支編擬不當例3 ABC的三個內(nèi)角是A、B、C，若cosAsinB,則C是（ ）A銳角. B.直角. C.鈍角. D.銳角、直角、鈍角者有可能.解 由cosAsinB可知A為銳角，又cosAsinBcosAcos(B)及余弦函數(shù)在（0，）上的單調(diào)性可得，故選C。剖析 命題者的意圖是通過上面解法選C，但上述解法是錯誤的。因為B不一定是銳角，也可能是負角。當B為鈍角時，C為銳角；當B為銳角時，C為鈍角；C不可能是直角。修正方法是：改“C是”為“ABC的形狀是”,選擇支的形式也相應修改。 3與條件相悖例4直線2xy1=0是ABC的一條內(nèi)角一部分線，點A（1，2）、B（1，1）是兩個頂點，求頂點C的坐標。 （任志鴻數(shù)學優(yōu)化設計）解 點A（1，2）、B（1，1）不滿足方程2xy1=0，所以直線2xy1=0是ACB的平分線，設A（1，2）關(guān)于直線2xy1=0的對稱點是A/(a，b )，則A/在直線BC上 解得，即A/（）所以直線BC的方程為x2y+3=0解方程組得C點坐標為（）剖析 上述解法沒有錯誤，但求得的直線BC的方程x2y+3=0剛好與ACB的平分線2xy1=0互相垂直，即此時A、B、C三點共線，這與題設“ABC”相矛盾。修正方法是：調(diào)整A點（或B點）的坐標或改ACB的平分線的方程。4賦值不當例5 已知是定義在R上的偶函數(shù)，若是奇函數(shù)，且=則的值等于（ ） （天津市2001年高考模擬試題）（A）2000 （B）2001 （C）2000 （D）2001解 =又= =，=，故選B分析 從上述解法可看出，但另一方面，是定義在R上的奇函數(shù)，故。錯誤原因是命題者對賦值不當。修正方法是：改“”為及選擇支。5條件不充分例6 國際上常用恩格爾系數(shù)（記作n）來衡量一個國家和地區(qū)人民生活水平的狀況，它的計算公式為，各種類型家庭的n如下表所示：家庭類型貧 困溫 飽小 康富 裕最富裕nn60%50%n60%40%n50%30%n40%n30%根據(jù)某市城區(qū)家庭抽樣調(diào)查統(tǒng)計，1996年至2001年間，每戶家庭消費支出總額每年平均增加680元，其中食品消費支出總額每年平均增加100元。（1）若1996年該市城區(qū)家庭剛達到小康，且該年每戶家庭消費支出總額為8600元，問2001年能否達到富裕？請說明理由。（2）若2001年比1996年的消費支出總額增加34%，而其中食品消費支出總額增加10%，問從哪一年起能達到富裕？請說明理由。(紹興市2002年高三模擬試題)解（1）由題意，1996年該市城區(qū)家庭剛達到小康，故n=50%，又1996年每戶家庭消費支出總額為8600元，所以1996年每戶家庭食品消費支出總額為860050%=4300元。到2001年該市城區(qū)每戶家庭的消費支出總額為8600+68050%=12000元，每戶家庭的食品消費支出總額為4300+5100=4800元。2001年的恩格爾系數(shù)，剛好達到富裕。（2）設1996年每戶家庭消費支出總額為a，食品消費支出總額為b，則設經(jīng)過x年可達到富裕，則由題意得恩格爾系數(shù)x6，即從2002年起可達到富裕。分析 這是一道經(jīng)濟學范疇內(nèi)的數(shù)學應用題，題（1）沒有錯誤。但題（2）在命題者所提供的“1996年至2001年間，每戶家庭消費支出總額每年平均增加680元，其中食品消費支出總額每年平均增加100元”的條件下，求得從2002年起能達到富裕，而從2001年起每戶家庭的消費支出總額和食品消費支出總額是否仍按原方式增長？題中沒有交待清楚，因此，題（2）的條件不充分。修正方法是：把“1996年至2001年間”