數(shù)列求和練習(xí)題.doc

數(shù)列求和1 公式法2錯(cuò)位相減3列項(xiàng)相消法4分組求和5倒敘相加法1. 求數(shù)列,的前項(xiàng)和. 2 已知，求的前n項(xiàng)和.3. 求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a為常數(shù))的前n項(xiàng)和。4. 求證：5. 求數(shù)列，的前n項(xiàng)和S6. 數(shù)列an：，求S2002.7. 求數(shù)5，55，555，555 的前n項(xiàng)和Sn8. 已知數(shù)列 是等差數(shù)列，且，求的值.9. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 求它的前n項(xiàng)的和.10. 在數(shù)列中， 證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出Sn的表達(dá)式.11. 數(shù)列為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n 項(xiàng)和為80，前2 n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54. 求其首項(xiàng)a1及公比q.12. 已知數(shù)列 求.13. 設(shè) 為等差數(shù)列，Sn 為數(shù)列的前n 項(xiàng)和，已知S7 = 7, S15 = 75. 記Tn 為數(shù)列的前n 項(xiàng)和，求Tn .14. 求數(shù)列的前項(xiàng)和15. 已知：.求.16. 求和.17. ，求。18. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項(xiàng)公式。19. 已知數(shù)列：，求的值。20. 求和:21. 求數(shù)列的前項(xiàng)和：求數(shù)列的前項(xiàng)和。23. 求證：24. 求的值。25. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求它的前n項(xiàng)和.26. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式求它的前n項(xiàng)和.27. 求和：28. 已知數(shù)列29. 求和30. 解答下列問題：（I）設(shè)（1）求的反函數(shù)（2）若（3）若31. 設(shè)函數(shù)求和： 32. 已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和，（I）求之間的關(guān)系式，并求的通項(xiàng)公式；（II）求證33.已知數(shù)列的各項(xiàng)分別為的前n項(xiàng)和.34已知數(shù)列滿足：的前n項(xiàng)和 .35設(shè)數(shù)列中， 中5的倍數(shù)的項(xiàng)依次記為 ，（I）求的值.（II）用k表示，并說明理由.（III）求和：36數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（I）求與的關(guān)系式，并求的通項(xiàng)公式；（II）求和37將等差數(shù)列的所有項(xiàng)依次排列，并如下分組：（），（），（），其中第1組有1項(xiàng)，第2組有2項(xiàng)，第3組有4項(xiàng)，第n組有項(xiàng)，記Tn為第n組中各項(xiàng)的和，已知T3=-48，T4=0，（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列Tn的通項(xiàng)公式；（III）設(shè)數(shù)列 Tn 的前n項(xiàng)和為Sn，求S8的值.38. 設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求和：39. （1）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列（i）當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值；（ii）求的所有可能值（2）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)()，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列40. 某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （?。?1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，nN,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1） 求a1的值；（2） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（3） 證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.42已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（）記，證明（）.答案1. 設(shè)則兩式相減得.2. 解：由 由等比數(shù)列求和公式得 13. 解：若a=0, 則Sn=0若a=1,則Sn=1+2+3+n= 若a0且a1則Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nanaSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1= Sn= 當(dāng)a=0時(shí)，此式也成立。Sn=解析：數(shù)列是由數(shù)列與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況。4. 證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 5. 解：=） Sn= = =6. 解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 （合并求和） 57. n解： 因?yàn)?55=n所以 Sn=5+55+555+555 = = =解析：根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，通項(xiàng)可以拆成兩項(xiàng)或三項(xiàng)的常見數(shù)列，然后再分別求和。另外：Sn=可以拆成：Sn=（1+2+3+n）+()8. 為等差數(shù)列，且1+17=5+13，. 由題設(shè)易知 =117.又為與的等差中項(xiàng)，.9. (裂項(xiàng)) 于是有 方程組兩邊相加，即得 10. 【證明】.化簡，得 Sn-1Sn= 2 Sn Sn-1兩邊同除以. Sn Sn-1，得 數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列. 11. 此數(shù)列為遞增等比數(shù)列. 故q 1. 依題設(shè)，有 ，得 代入，得 代入，得 代入，得 , 再代入，得a1 =2, 再代入，得 q = 3.12. 令 （裂項(xiàng)） 故有 =.13. 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則 ( I ) 解得代入（I）得 （II）數(shù)列是首項(xiàng)為 2，公差為的等差數(shù)列，14. 解： Sn= 15. 當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，綜上知，注意按的奇偶性討論！16. 17. 解：因?yàn)?所以 18. 解：()當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(i)n1時(shí)已知結(jié)論成立(ii)假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時(shí)，由得Sk1，即Sk1，故nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上，由(i)、(ii)可知Sn對(duì)所有正整數(shù)n都成立于是當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，又n1時(shí)，a1，所以an的通項(xiàng)公式an，n1，2，3，19. 解： （找通項(xiàng)及特征） （設(shè)制分組） （裂項(xiàng)） （分組、裂項(xiàng)求和） 20. 解:原式=21. 解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，22. 解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 23. 證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 24. 解：設(shè). 將式右邊反序得 （反序） 又 +得 （反序相加） 25. =26. 27. 注意：數(shù)列的第n項(xiàng)“n1”不是數(shù)列的通項(xiàng)公式，記這個(gè)數(shù)列為，其通項(xiàng)公式是28. 為等比數(shù)列，應(yīng)運(yùn)用錯(cuò)位求和方法：29. 而運(yùn)用反序求和方法是比較好的想法， ，+得30. （1）（2）是公差為9的等差數(shù)列，（3）31. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)=當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)32. （I），而，得的等差數(shù)列，（II）33.（1）（2）當(dāng) 當(dāng)時(shí)，1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)34當(dāng)而，得35（I） （II）（III）36（I）（II）37（I）設(shè)的公差為d，則，解、得 （II）當(dāng)時(shí)，在前n1組中共有項(xiàng)數(shù)為 第n組中的 （III）38. 解析：因?yàn)?，?9. （1）當(dāng)n=4時(shí), 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。 若刪去，則，即化簡得，得若刪去，則，即化簡得，得綜上，得或。當(dāng)n=5時(shí), 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去，則，即化簡得，因?yàn)?，所以不能刪去；當(dāng)n6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說：當(dāng)n6時(shí)，無論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))綜上所述，。（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡得 （*）由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾。故與同時(shí)不為0，所以由（*）得因?yàn)?，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如n項(xiàng)數(shù)列1，滿足要求。40. 解析：甲方