高中數(shù)學導數(shù)練習題.pdf

專題專題 8 導數(shù) 文 導數(shù) 文 經典例題剖析經典例題剖析 考點一 求導公式 考點一 求導公式 例 1 fx 是 3 1 21 3 f xxx 的導函數(shù) 則 1 f 的值是 解析 2 2 xxf 所以 3211 f 答案 3 考點二 導數(shù)的幾何意義 考點二 導數(shù)的幾何意義 例 2 已知函數(shù) yf x 的圖象在點 1 1 Mf 處的切線方程是 1 2 2 yx 則 1 1 f f 解析 因為 2 1 k 所以 2 1 1 f 由切線過點 1 1 Mf 可得點 M 的縱坐標為 2 5 所以 2 5 1 f 所以 31 1 ff 答案 3 例 3 曲線 32 242yxxx 在點 13 處的切線方程是 解析 443 2 xxy 點 13 處切線的斜率為5443 k 所以設切 線方程為bxy 5 將點 13 帶入切線方程可得2 b 所以 過曲線上點 13 處的切線方程為 025 yx 答案 025 yx 點評 以上兩小題均是對導數(shù)的幾何意義的考查 考點三 導數(shù)的幾何意義的應用 考點三 導數(shù)的幾何意義的應用 例 4 已知曲線 C xxxy23 23 直線kxyl 且直線l與曲線 C 相切于點 00 y x0 0 x 求直線l的方程及切點坐標 解 析 直 線 過 原 點 則 0 0 0 0 x x y k 由 點 00 y x在 曲 線 C 上 則 0 2 0 3 00 23xxxy 23 0 2 0 0 0 xx x y 又263 2 xxy 在 00 y x處 曲 線C的 切 線 斜 率 為 263 0 2 00 xxxfk 26323 0 2 00 2 0 xxxx 整理得 032 00 xx 解得 2 3 0 x或0 0 x 舍 此時 8 3 0 y 4 1 k 所以 直線l的方程為xy 4 1 切點坐標是 8 3 2 3 答案 直線l的方程為xy 4 1 切點坐標是 8 3 2 3 點評 本小題考查導數(shù)幾何意義的應用 解決此類問題時應注意 切點既在曲線上又在 切線上 這個條件的應用 函數(shù)在某點可導是相應曲線上過該點存在切線的充分條件 而不 是必要條件 考點四 函數(shù)的單調性 考點四 函數(shù)的單調性 例 5 已知 13 23 xxaxxf在 R 上是減函數(shù) 求a的取值范圍 解析 函數(shù) xf的導數(shù)為 163 2 xaxxf 對于Rx 都有 0 xf時 xf 為減函數(shù) 由 Rxxax 0163 2 可得 01236 0 a a 解得3 a 所以 當3 a時 函數(shù) xf對Rx 為減函數(shù) 1 當3 a時 9 8 3 1 3133 3 23 xxxxxf 由函數(shù) 3 xy 在 R R 上的單調性 可知當3 a是 函數(shù) xf對Rx 為減函數(shù) 2 當3 a時 函數(shù) xf在 R R 上存在增區(qū)間 所以 當3 a時 函數(shù) xf在 R R 上不是單調遞減函數(shù) 綜合 1 2 3 可知3 a 答案 3 a 點評 本題考查導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用 對于高次函數(shù)單調性問題 要有求導意識 考點五 函數(shù)的極值 考點五 函數(shù)的極值 例 6 設函數(shù) 32 2338f xxaxbxc 在1x 及2x 時取得極值 1 求 a b 的值 2 若對于任意的 0 3 x 都有 2 f xc 成立 求 c 的取值范圍 解析 1 2 663fxxaxb 因為函數(shù) f x在1x 及2x 取得極值 則有 1 0 f 2 0 f 即 6630 24 1230 ab ab 解得3a 4b 2 由 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 當 01 x 時 0fx 當 12 x 時 0fx 當 23 x 時 0fx 所以 當1x 時 f x取得極大值 1 58fc 又 0 8fc 3 98fc 則當 03x 時 f x的最大值為 3 98fc 因為對于任意的 03x 有 2 f xc 恒成立 所以 2 98cc 解得 1c 或9c 因此c的取值范圍為 1 9 答案 1 3a 4b 2 1 9 點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值 求可導函數(shù) xf的極值步驟 求導數(shù) xf 求 0 xf的根 將 0 xf的根在數(shù)軸上標出 得出單調區(qū)間 由 xf 在各 區(qū)間上取值的正負可確定并求出函數(shù) xf的極值 考點六 函數(shù)的最值 考點六 函數(shù)的最值 例 7 已知a為實數(shù) axxxf 4 2 求導數(shù) xf 2 若 01 f 求 xf 在區(qū)間 2 2 上的最大值和最小值 解析 1 axaxxxf44 23 423 2 axxxf 2 04231 af 2 1 a 14343 2 xxxxxf 令 0 xf 即 0143 xx 解得1 x或 3 4 x 則 xf和 xf 在區(qū)間 2 2 上隨x的變化情況如下表 x 2 1 2 1 3 4 1 3 4 2 3 4 2 xf 0 0 xf 0 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 0 2 9 1 f 27 50 3 4 f 所以 xf在區(qū)間 2 2 上的最大值為 27 50 3 4 f 最 小值為 2 9 1 f 答案 1 423 2 axxxf 2 最大值為 27 50 3 4 f 最小值為 2 9 1 f 點評 本題考查可導函數(shù)最值的求法 求可導函數(shù) xf在區(qū)間 ba 上的最值 要先求 出函數(shù) xf在區(qū)間 ba 上的極值 然后與 af和 bf進行比較 從而得出函數(shù)的最大最 小值 考點七 導數(shù)的綜合性問題 考點七 導數(shù)的綜合性問題 例 8 設函數(shù) 3 f xaxbxc 0 a 為奇函數(shù) 其圖象在點 1 1 f處的切線與直線 670 xy 垂直 導函數(shù) fx的最小值為12 1 求a b c的值 2 求函數(shù) f x的單調遞增區(qū)間 并求函數(shù) f x在 1 3 上的最大值和最小值 解析 1 f x為奇函數(shù) fxf x 即 33 axbxcaxbxc 0c 2 3fxaxb 的最小值為12 12b 又直線670 xy 的斜率為 1 6 因此 1 36fab 2a 12b 0c 2 3 212f xxx 2 6126 2 2 fxxxx 列表如下 x 2 2 2 2 2 2 fx 0 0 f x 增函數(shù) 極大 減函數(shù) 極小 增函數(shù) 所以函數(shù) f x的單調增區(qū)間是 2 和 2 1 10f 2 8 2f 3 18f f x在 1 3 上的最大值是 3 18f 最小值是 2 8 2f 答案 1 2a 12b 0c 2 最大值是 3 18f 最小值是 2 8 2f 點評 本題考查函數(shù)的奇偶性 單調性 二次函數(shù)的最值 導數(shù)的應用等基礎知識 以 及推理能力和運算能力 導數(shù)導數(shù)強化訓練強化訓練 一 選擇題 1 已知曲線 2 4 x y 的一條切線的斜率為 1 2 則切點的橫坐標為 A A 1 B 2 C 3 D 4 2 曲線13 23 xxy在點 1 1 處的切線方程為 B A 43 xy B 23 xy C 34 xy D 54 xy 3 函數(shù) 1 1 2 xxy在1 x處的導數(shù)等于 D A 1 B 2 C 3 D 4 4 已知函數(shù) 31 xfxxf則處的導數(shù)為在 的解析式可能為 A A 1 3 1 2 xxxf B 1 2 xxf C 2 1 2 xxf D 1 xxf 5 函數(shù)93 23 xaxxxf 已知 xf在3 x時取得極值 則a D A 2 B 3 C 4 D 5 6 函數(shù) 32 31f xxx 是減函數(shù)的區(qū)間為 D 2 2 0 0 2 7 若函數(shù) cbxxxf 2 的圖象的頂點在第四象限 則函數(shù) xf 的圖象是 A 8 函數(shù) 23 1 2 3 f xxx 在區(qū)間 0 6 上的最大值是 A A 32 3 B 16 3 C 12 D 9 x y o A x y o D x y o C x y o B 9 函數(shù)xxy3 3 的極大值為m 極小值為n 則nm 為 A A 0 B 1 C 2 D 4 10 三次函數(shù) xaxxf 3 在 x內是增函數(shù) 則 A A 0 a B 0 a C 1 a D 3 1 a 11 在函數(shù)xxy8 3 的圖象上 其切線的傾斜角小于 4 的點中 坐標為整數(shù)的點的個數(shù) 是 D A 3 B 2 C 1 D 0 12 函數(shù) xf的定義域為開區(qū)間 ba 導函數(shù) x f 在 ba內的圖象如圖所示 則函數(shù) xf在開區(qū)間 ba內有極小值點 A A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 二 填空題 13 曲線 3 xy 在點 1 1處的切線與x軸 直線2 x所圍成的三角形的面積為 14 已 知 曲 線 3 14 33 yx 則 過 點 2 4 P 改 為 在 點 2 4 P 的 切 線 方 程 是 15 已知 n fx是對函數(shù) f x連續(xù)進行 n 次求導 若 65 f xxx 對于任意xR 都有 n fx 0 則 n 的最少值為 16 某公司一年購買某種貨物 400 噸 每次都購買x噸 運費為 4 萬元 次 一年的總存儲 費用為4x萬元 要使一年的總運費與總存儲費用之和最小 則x 噸 三 解答題 17 已知函數(shù) cbxaxxxf 23 當1 x時 取得極大值 7 當3 x時 取得極 小值 求這個極小值及cba 的值 a b x y xfy O a b x y xfy O 18 已知函數(shù) 93 23 axxxxf 1 求 xf的單調減區(qū)間 2 若 xf在區(qū)間 2 2 上的最大值為 20 求它在該區(qū)間上的最小值 19 設0 t 點 P t 0 是函數(shù)cbxxgaxxxf 23 與的圖象的一個公共點 兩函數(shù)的圖象在點 P 處有相同的切線 1 用t表示cba 2 若函數(shù) xgxfy 在 1 3 上單調遞減 求t的取值范圍 20 設函數(shù) 32 f xxbxcx xR 已知 g xf xfx 是奇函數(shù) 1 求b c的值 2 求 g x的單調區(qū)間與極值 21 用長為 18 cm 的鋼條圍成一個長方體形狀的框架 要求長方體的長與寬之比為 2 1 問 該長方體的長 寬 高各為多少時 其體積最大 最大體積是多少 22 已知函數(shù) 32 11 32 f xxaxbx 在區(qū)間 11 13 內各有一個極值點 1 求 2 4ab 的最大值 1 當 2 48ab 時 設函數(shù) yf x 在點 1 1 Af 處的切線為l 若l在點A處穿 過函數(shù) yf x 的圖象 即動點在點A附近沿曲線 yf x 運動 經過點A時 從l的一側進入另一側 求函數(shù) f x的表達式 強化訓練答案 強化訓練答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 D 6 D 7 A 8 A 9 A 10 A 11 D 12 A 四 填空題 13 3 8 14 044 xy 15 7 16 20 五 解答題 17 解 baxxxf 23 2 據題意 1 3 是方程023 2 baxx的兩個根 由韋達定理得 3 31 3 2 31 b a 9 3 ba cxxxxf 93 23 71 f 2 c 極小值 252393333 23 f 極小值為 25 9 3 ba 2 c 18 解 1 963 2 xxxf 令0 x f 解得 31 xx或 所以函數(shù) xf的單調遞減區(qū)間為 3 1 2 因為 218128 2 aaf 2218128 2 aaf 所以 2 2 ff因為在 1 3 上0 x f 所以 xf在 1 2 上單調遞增 又由 于 xf在 2 1 上單調遞減 因此 2 f和 1 f分別是 xf在區(qū)間 2 2 上的最大值和最小 值 于是有2022 a 解得 2 a 故 293 23 xxxxf 因此 72931 1 f 即函數(shù) xf在區(qū)間 2 2 上的最小值為 7 19 解 1 因為函數(shù) xf xg的圖象都過點 t 0 所以0 tf 即0 3 att 因為 0 t所以 2 ta 0 0 2 abccbttg 所以即 又因為 xf xg在點 t 0 處有相同的切線 所以 tgtf 而 23 2 3 22 btatbxxgaxxf 所以 將 2 ta 代入上式得 tb 因此 3 tabc 故 2 ta tb 3 tc 2 3 23 223223 txtxttxxyttxxtxxgxfy 當0 3 txtxy時 函數(shù) xgxfy 單調遞減 由0 y 若tx t t 3 0 則 若 3 0 t xtt 則 由題意 函數(shù) xgxfy 在 1 3 上單調遞減 則 3 3 1 3 3 1 t tt t 或所以 39 3 3 3 tt t t或即或 又當39 t時 函數(shù) xgxfy 在 1 3 上單調遞減 所以t的取值范圍為 3 9 20 解 1 32 f xxbxcx 2 32fxxbxc 從而 322 32 g xf xfxxbxcxxbxc 32 3 2 xbxcb xc 是一 個奇函數(shù) 所以 0 0g 得0c 由奇函數(shù)定義得3b 2 由 知 3 6g xxx 從而 2 36g xx 由此可知 2 和 2 是函數(shù) g x是單調遞增區(qū)間 2 2 是函數(shù) g x是單調遞減區(qū)間 g x在2x 時 取得極大值 極大值為4 2 g x在2x 時 取得極小值 極小值為4 2 21 解 設長方體的寬為x m 則長為x2 m 高為 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故長方體的體積為 2 3 06935 42 3322 xmxxxxxV 從而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令 0 xV 解得0 x 舍去 或1 x 因此1 x 當10 x時 0 xV 當 2 3 1 x時 0 xV 故在1 x處 xV取得極大值 并且這個極大值就是 xV的最大值 從而最大體積 332 1619 mxVV 此時長方體的長為 2 m 高為 1 5 m 答 當長方體的長為 2 m 時 寬為 1 m 高為 1 5 m 時 體積最大 最大體積為 3 3m 22 解 1 因為函數(shù) 32 11 32 f xxaxbx 在區(qū)間 11 13 內分別有一個極值點 所以 2 fxxaxb 0 在 11 13 內分別有一個實根 設兩實根為 12 xx 12 xx 則 2 21 4xxab 且 21 04xx 于是 2 044ab 2 0416ab 且當 1 1x 23x 即2a