計算坐標與坐標方位角的基本公式.doc

二 計算坐標與坐標方位角的基本公式控制測量的主要目的是通過測量和計算求出控制點的坐標，控制點的坐標是根據(jù)邊長及方位角計算出來的。下面介紹計算坐標與坐標方位角的基本公式，這些公式是礦山測量工中最基本最常用的公式。一、坐標正算和坐標反算公式1坐標正算根據(jù)已知點的坐標和已知點到待定點的坐標方位角、邊長計算待定點的坐標，這種計算在測量中稱為坐標正算。如圖55所示，已知A點的坐標為、，A到B的邊長和坐標方位角分別為和，則待定點B的坐標為 （51） 式中 、坐標增量。由圖55可知 （52）式中 水平邊長；坐標方位角。將式（5-2）代入式（5-1），則有 （53） 當A點的坐標、和邊長及其坐標方位角為已知時，就可以用上述公式計算出待定點B的坐標。式（52）是計算坐標增量的基本公式，式（53）是計算坐標的基本公式，稱為坐標正算公式。從圖55可以看出是邊長在x軸上的投影長度，是邊長在y軸上的投影長度，邊長是有向線段，是在實地由A量到B得到的正值。而公式中的坐標方位角可以從0到360變化，根據(jù)三角函數(shù)定義，坐標方位角的正弦值和余弦值就有正負兩種情況，其正負符號取決于坐標方位角所在的象限，如圖56所示。從式（52）知，由于三角函數(shù)值的正負決定了坐標增量的正負，其符號歸納成表53。 圖55 坐標計算 圖56 坐標增量符號 表53 坐標增量符號表坐標方位角（）所在象限坐標增量的正負號 xy09090180180270270360 例1 已知A點坐標=100.00m，=300.10m；邊長=100m，方位角=330。求B點的坐標、。解：根據(jù)公式（53）有 2、坐標反算由兩個已知點的坐標計算出這兩個點連線的坐標方位角和邊長，這種計算稱為坐標反算。由式（51）有 （54）該式說明坐標增量就是兩點的坐標之差。在圖55中 表示由A點到達B點的縱坐標之差稱縱坐標增量； 表示由A點到B點的橫坐標之差稱橫坐標增量。坐標增量也有正負兩種情況，它們決定于起點和終點坐標值的大小。在圖55中如果A點到B點的坐標已知，需要計算AB邊的坐標方位角和邊長時，則有 (55)或 公式（55）稱為坐標反算公式。應當指出，使用公式（55）中第一式計算的角是象限角R，應根據(jù)x、y的正負號，確定所在象限，再將象限角換算為方位角。因此公式（55）中的第一式還可表示為： 例2已知=300m, =500m,=500m,=300m,求A、B二點連線的坐標方位角和邊長。解：由公式（5-5）有因為為正 、為負，直線AB位于第四象限。所以根據(jù)第四象限的坐標方位角與象限角的關(guān)系得：AB邊長為：坐標正算公式和坐標反算公式都是礦山測量中最基本的公式，應用十分廣泛。在測量計算時，由于公式中各元素的數(shù)字較多，測量規(guī)范對數(shù)字取位及計算成果作了規(guī)定。例如圖根控制點要求邊長計算取至毫米；角度計算取至秒；坐標計算取至厘米。二、坐標方位角的推算公式由公式（5-2）知，計算坐標增量需要邊長和該邊的坐標方位角兩個要素，其中邊長是在野外直接測量或通過三角學的公式計算得到的，坐標方位角則是根據(jù)已知坐標方位角和水平角推算出來的。下面介紹坐標方位角的推算公式。如圖5-7所示，箭頭所指的方向為“前進”方向，位于前進方向左側(cè)的觀測角稱為左觀測角，簡稱左角；位于前進方向右側(cè)的角稱為右觀測角，簡稱右角。1.觀測左角時的坐標方位角計算公式在圖57與58中，已知AB邊的方位角為，為左觀測角，需要求得BC邊的方位角。是外業(yè)觀測得到的水平角，從圖上可以看出已知方位角與左觀測角之和有兩種情況：即大于180或小于180。圖57中為大于180的情況，圖58中為小于180的情況。 圖57坐標方位角推算 圖58坐標方位角推算從圖57可知，BC邊的坐標方位角為從圖58可知，BC邊的坐標方位角為綜上所述兩式則有 （56）式（5-6）是按照邊的前進方向，根據(jù)后一條邊的已知方位角計算前一條邊方位角的基本公式。公式說明：導線前一條邊的坐標方位角等于后一條邊的坐標方位角加上左觀測角，其和大于180時應減去180，小于180時應加上180。 2.觀測右角時的坐標方位角計算公式 從圖5-7 或圖5-8可以看出 將該式代入式(5- 6),得 當方位角大于360時，應減去360，方向不變。所以上式變?yōu)?（57）上式說明：導線中，前一條邊的坐標方位角等于后一條邊的坐標方位角減去右觀測角，其差大于180時應減去180，小于180時應加上180。使用式（5-6）與(5-7)時，還應注意相應兩條邊的前進方向必須一致，計算結(jié)果大于360時，則應減去360，方向不變。例3 圖5-9 為一條支導線，已知A點的坐標方