數(shù)值期末復習題.doc

數(shù)值分析分章復習第1章 引論要點：誤差基本概念誤差分類：截斷誤差；舍入誤差。誤差量化：絕對誤差；相對誤差；有效數(shù)字設計數(shù)值計算方法應注重的原則：注重算法穩(wěn)定性；減少運算量；避免相近數(shù)相減；避免絕對值小的數(shù)作分母復習題：1、 設均具有5位有效數(shù)字，試估計由這些數(shù)據(jù)計算，的絕對誤差限2、 已知2.153是2.1542的近似數(shù)，問該近似數(shù)有幾位有效數(shù)字？它的絕對誤差和相對誤差各是多少？3、 已知數(shù) e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182, 那末x具有多少位有效數(shù)字4、 要使的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取多少位有效數(shù)字5、 設準確值，以作為的近似值，其有效數(shù)字多少6、 設按遞推公式計算到，若取27.982(五位有效數(shù)字),試問計算將有多大誤差?7、 當時，為使計算更精確，應如何變形8、 分析下面Matlab程序所描述的數(shù)學表達式，并給出運行結果a=1 2 3 4;n=length(a);t=a(n);x=10;for i=n:-1:2t=x*t+a(i-1);end9、 對于積分。（1）試給出遞推計算式（2）分析遞推式的數(shù)值穩(wěn)定性；（3）給出初始值的估計。10、 數(shù)值計算中，影響算法優(yōu)劣的主要因素有哪些？第2章 插值法要點：（1）多項式插值基本概念 （2）拉格朗日插值多項式；基本拉格朗日插值多項式性質 （3）差商表建立；差商與導數(shù)間關系（4）Newton插值多項式 （5）Hermit插值多項式復習題：1、 給定數(shù)表x12345f(x)0-5-632（1）寫出差商表；（2）用一次Newton插值多項式計算的近似值；（3）用三次Newton插值多項式計算的近似值。2、 給定函數(shù)指定節(jié)點處的函數(shù)值（如下表）x3579f(x)273-2（1） 寫出的Lagrange插值函數(shù)（2） 將寫成降冪形式：3、 已知函數(shù)，在0,1內三點0，1/2，1的函數(shù)值，求其二次插值的余項；4、 求可導函數(shù)不超過2次的多項式，使其滿足條件：，并寫出其誤差估計。5、 求一個次數(shù)不高于3次的多項式，使它滿足。 請直接寫出其誤差估計式。6、 試利用函數(shù)在點處函數(shù)值近似計算在點處近似值7、 設，取節(jié)點為，0，1，2。（1）試給出的三次插值多項式；（2）估計余項。8、 若f(x)=x7x31，計算：f20,21,22,23,24,25,26,27，f20,21,22,23,24,25,26,27,289、 已知單調連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù)：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法計算，x約為多少時f(x)=1。(計算時小數(shù)點后保留5位)。10、 已知函數(shù),計算函數(shù)的2階均差另外，試計算3階均差和4階均差第3章 函數(shù)逼近之曲線擬合要點：（1）曲線擬合的最小二乘法基本概念 （2）擬合函數(shù)空間中基函數(shù)的確定 （3）法方程組的形成及求解復習題：1、 試對如下已知數(shù)據(jù)進行線性擬合。012345613245652、 依據(jù)下表，求形如的擬合函數(shù)19253138440.05260.0310.02040.01360.01023、 對下面給定的數(shù)據(jù)表求直線擬合12341.92.32.83.24、 已知實驗數(shù)據(jù)如下123458.52.39.613.330.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式，并計算均方誤差第4章 數(shù)值積分要點：（1）數(shù)值積分公式的代數(shù)精確度概念，代數(shù)精確度所蘊含的余項表達式 （2）插值型求積公式的構造及余項表達式 （3）插值型求積公式關于代數(shù)精確度的結論及證明 （4）梯形公式、Simpson公式的形式及余項表達式 （5）復合梯形公式、復合Simpson公式及其余項表達式 （6）掌握如何根據(jù)要求的精度依據(jù)復合梯形（或Simpson）公式的余項確定積分區(qū)間a,b的等分次數(shù)n （7）Newton-Cotes求積分公式的特點以及代數(shù)精確度的結論 （8）高斯型求積公式的概念復習題：1、 已知求積公式為(1) 確定它的代數(shù)精度，并指出它是否為Gauss公式；(2) 用此求積公式計算定積分2、 對于2結點插值型求積公式。（1）如果求積分公式是兩結點牛頓科特斯求積公式，請給出求積系數(shù)，求積結點，并給出積分余項表達式（2）若使其具有最高的代數(shù)精度，試確定求積系數(shù)與求積結點？代數(shù)精度為多少？ 3、 分別用梯形公式和二點Gauss公式計算積分，比較二者的精度4、 對于積分。（1）寫出梯形公式與辛普森公式；（2）請直接指出這兩個公式的代數(shù)精度；（3）問區(qū)間0,1應分為多少等分，用復化辛普森公式才能使誤差不超過5、 確定下列公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出所得公式的代數(shù)精確度。6、 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其代數(shù)精度7、 試設計求積公式，使之代數(shù)精度盡量高，并指出其所具有的代數(shù)精度。8、 求積公式具有多少次代數(shù)精確度9、 試設計求積公式，使之代數(shù)精度盡量高，并指出其所具有的代數(shù)精度。10、 試確定下列求積公式的代數(shù)精確度 11、 試確定常數(shù),使求積公式 有盡可能高的代數(shù)精度,并指出代數(shù)精度是多少,該公式是否是Gauss型?并用此公式計算積分（結果保留5位小數(shù)）12、 求出二點Gauss求積公式中系數(shù)，及節(jié)點，。并用此公式計算積分（結果保留5位小數(shù)）13、 試證明高斯求積公式的求積系數(shù)恒為正14、 確定常數(shù)及使求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度，是否為Gauss型求積公式？并用上述所得公式計算積分的近似值（計算過程保留6位小數(shù)）.15、 求積公式的代數(shù)精確度為多少階16、 利用復合梯形公式近似計算定積分，要求計算誤差不小于，試估計區(qū)間等分數(shù)第5章 線性方程組直接解法要點：（1）利用列主元高斯消去法求解線性方程組 （2）矩陣的Doolittle分解 （3）利用系數(shù)矩陣的Doolittle分解求解線性方程組復習題：1、 試用Doolittle三角分解法求解方程組2、 設，（1）求的Doolittle三角分解；（2）利用的Doolittle三角分解式求解3、 用列主元高斯消元法解線性方程組。4、 利用Doolittle三角分解方法求解方程組 5、 用Doolittle分解法解方程組6、 設，對作Doolittle三角分解，其中是單位下三角矩陣，是上三角矩陣7、 用矩陣的直接三角分解法（A=LU）解方程組8、 用列主元素高斯消去法求解線性方程組第6章 線性方程組迭代解法要點：（1）線性方程組迭代格式：Jacobi迭代，G-S迭代 （2）矩陣范數(shù)計算，矩陣譜半徑計算（3）線性方程組迭代格式的收斂性判斷 （4）Jacobi迭代，G-S迭代收斂的判斷 （5）線性方程組的性態(tài)復習題：1、 已知線性方程組為（1）寫出Jacobi迭代格式和Seidel迭代格式；（2）寫出Jacobi迭代矩陣和Seidel迭代矩陣；（3）判別這兩種迭代法的收斂性。2、 設方程組試問，是否可以適當調整方程的排列順序，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂？說明收斂原因3、 對方程組，驗證Jacobi迭代法的收斂性，若發(fā)散，則說明理由，并調整方程順序使得Jacobi迭代收斂。4、 設方程組，分別寫出雅可比迭代格式和高斯-塞德爾迭代格式，并討論它們的收斂性5、 已知方程組（1）寫出解此方程組的雅可比法迭代公式；（2）證明當時，雅可比迭代法收斂；6、 對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及Jacobi迭代法和G-S迭代法的迭代公式，并說明收斂的理由7、 設，試給出的范圍確保方程組的Jacobi迭代法及GaussSeidel迭代法收斂的充分必要條件8、 已知求，9、 設，求和10、 ，試計算和 這里p=1,2,11、 線性方程組用Jacobi迭代法是否收斂，為什么？其中12、 設線性方程組: ，（1） 試給出Gauss-Seidel迭代格式（2） 討論由Gauss-Seidel迭代所產生的向量序列是否收斂，為什么？第7章 非線性方程求根要點：（1）迭代公式局部收斂性及收斂性判斷（2）迭代公式收斂階概念（3）Newton迭代公式及收斂性定理復習題：1、 建立一個迭代公式計算數(shù) ，要求分析所建迭代公式的收斂性2、 對于方程，（3） 證明在區(qū)間-1.9，-1內有唯一實根（4） 討論迭代格式 的收斂性如何？（5） 寫出求解該實根的牛頓迭代公式3、 為求在1.5附近的一個根，現(xiàn)將方程改寫成等價形式，且建立相應的迭代公式：（1）；（2）。試分析每一種迭代的收斂性4、 對于方程在0.5附近的根。（1） 選取一個不動點迭代公式，判別其收斂性，并指出收斂階。（2） 給出求解該實根的牛頓迭代公式5、 應用牛頓法于方程，導出求的迭代公式6、 對于非線性證明方程（1） 證明在區(qū)間(1,)有一個單根.并大致估計單根的取值范圍.（2） 寫出Newton 迭代求解該根的迭代公式7、 據(jù)理證明是方程的一個二重根，并構造計算的具有平方收斂階的Newton 迭代8、 求方程在