第02章習(xí)題分析與解答.doc

第二章 質(zhì)點動力學(xué)習(xí)題解答第二章 質(zhì)點動力學(xué)習(xí)題解答2-1 如題圖2-1中(a)圖所示,質(zhì)量為m 的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運動,當(dāng)物體剛脫離斜面時,它的加速度的大小為(D)(A) gsin (B) gcos (C) gtan (D) gcot 2-2 用水平力FN把一個物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止當(dāng)FN逐漸增大時,物體所受的靜摩擦力Ff的大小(A)(A) 不為零,但保持不變(B) 隨FN成正比地增大(C) 開始隨FN增大,達(dá)到某一最大值后,就保持不變(D) 無法確定2-3 一段路面水平的公路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率(C)(A) 不得小于(B) 必須等于習(xí)題2-4圖(C) 不得大于 (D) 還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定2-4 如習(xí)題2-4圖所示，一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過程中，則(B)(A) 它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心,其速率保持不變(B) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C) 它受到的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心(D) 它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加Aa習(xí)題2-5圖B2-5 習(xí)題2-5圖所示，系統(tǒng)置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降機內(nèi),A、B 兩物體質(zhì)量相同均為m，A所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計,若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計空氣阻力，則繩中張力為(A) (A) 5/8mg(B) 1/2mg(C) mg(D) 2mg2-6 對質(zhì)點組有以下幾種說法：(1) 質(zhì)點組總動量的改變與內(nèi)力無關(guān)；(2) 質(zhì)點組總動能的改變與內(nèi)力無關(guān)；(3) 質(zhì)點組機械能的改變與保守內(nèi)力無關(guān)下列對上述說法判斷正確的是(C)(A) 只有(1)是正確的(B) (1)、(2)是正確的(C) (1)、(3)是正確的 (D) (2)、(3)是正確的2-7 有兩個傾角不同、高度相同、質(zhì)量一樣的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有兩個一樣的物塊分別從這兩個斜面的頂點由靜止開始滑下，則(D)(A) 物塊到達(dá)斜面底端時的動量相等(B) 物塊到達(dá)斜面底端時動能相等(C) 物塊和斜面(以及地球)組成的系統(tǒng),機械能不守恒(D) 物塊和斜面組成的系統(tǒng)水平方向上動量守恒2-8 對功的概念有以下幾種說法：(1) 保守力作正功時,系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢能增加；(2) 質(zhì)點運動經(jīng)一閉合路徑,保守力對質(zhì)點作的功為零；(3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反,所以兩者所作功的代數(shù)和必為零下列上述說法中判斷正確的是(C)(A) (1)、(2)是正確的(B) (2)、(3)是正確的(C) 只有(2)是正確的(D) 只有(3)是正確的習(xí)題2-9圖2-9 如圖所示,質(zhì)量分別為m1和m2的物體A和B，置于光滑桌面上，A和B之間連有一輕彈簧。另有質(zhì)量為m1和m2的物體C和D分別置于物體A與B之上，且物體A和C、B和D之間的摩擦因數(shù)均不為零。首先用外力沿水平方向相向推壓A和B，使彈簧被壓縮，然后撤掉外力，則在A和B彈開的過程中，對A、B、C、D以及彈簧組成的系統(tǒng)，有(D)(A) 動量守恒,機械能守恒(B) 動量不守恒,機械能守恒(C) 動量不守恒,機械能不守恒 (D) 動量守恒,機械能不一定守恒12習(xí)題2-10圖m2-10 如習(xí)題2-10圖所示,子彈射入放在水平光滑地面上靜止的木塊后而穿出。以地面為參考系，下列說法中正確的說法是(C)(A) 子彈減少的動能轉(zhuǎn)變?yōu)槟緣K的動能(B) 子彈-木塊系統(tǒng)的機械能守恒(C) 子彈動能的減少等于子彈克服木塊阻力所作的功(D) 子彈克服木塊阻力所作的功等于這一過程中產(chǎn)生的熱OabR=4mb=6ms習(xí)題2-14圖2-11 質(zhì)量為的物體放在質(zhì)量為的物體之上，置于傾角為的斜面上，整個系統(tǒng)處于靜止，若所有接觸面的摩擦系數(shù)均為，則斜面給物體的摩擦力為（ M+m gsin ）。2-12 在合外力F=3+4x的作用下，質(zhì)量為的物體沿x軸運動，若t=0時物體的狀態(tài)為x=0，=0，則物體運動了3m時其加速度大小為（ a=5ms-2 ），速度大小為（ =3ms-1 ）。2-13 一質(zhì)量為的質(zhì)點在力F=5m5-2t 的作用下（式中t為時刻），從靜止開始(t=0)作直線運動，則當(dāng)t=5s時質(zhì)點的速率等于（ 0 ）。2-14 質(zhì)量m=2kg的物體，從靜止開始沿固定的14圓弧軌道下滑，如題圖2-14所示。已知圓弧軌道半徑為，物體滑至軌道末端b時的速率為b=6ms，求摩擦力的功。分析 根據(jù)動能定理，在小球下落過程中，摩擦力與重力在軌道切線方向的分力做功，軌道法向分量與軌道支持力不做功。2-15：刪除。2-16 一質(zhì)量為10 kg的質(zhì)點，在力F=120t+40(N)作用下，沿一直線運動。在t=0時，質(zhì)點在x0=5m處，其速度為0=6m/s。求這質(zhì)點在以后任意時刻的速度和位置。分析這是在變力作用下的動力學(xué)問題由于力是時間的函數(shù),而加速度adv/dt,這時,動力學(xué)方程就成為速度對時間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點的速度v (t)；由速度的定義vdx /dt,用積分的方法可求出質(zhì)點的位置解因加速度adv/dt,在直線運動中,根據(jù)牛頓運動定律有依據(jù)質(zhì)點運動的初始條件,即t0 0 時v0 6.0 m-1 ,運用分離變量法對上式積分,得v6.0+4.0t+6.0t2 又因vdx /dt,并由質(zhì)點運動的初始條件：t0 0 時x0 5.0 m,對上式分離變量后積分,有x 5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3 2-17 質(zhì)量為m的摩托車,在恒定的牽引力F的作用下工作,它所受的阻力與其速率的平方成正比,它能達(dá)到的最大速率是vm。試計算從靜止加速到vm/2所需時間以及所走過的路程。分析該題依然是運用動力學(xué)方程求解變力作用下的速度和位置的問題,求解方法與前兩題相似,只是在解題過程中必須設(shè)法求出阻力系數(shù)k由于阻力Fr kv2 ,且Fr又與恒力F 的方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至與恒力大小相等時,加速度為零,此時速度達(dá)到最大因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來但在求摩托車所走路程時,需對變量作變換解設(shè)摩托車沿x 軸正方向運動,在牽引力F和阻力Fr 同時作用下,由牛頓定律有 (1)當(dāng)加速度a dv/dt 0 時,摩托車的速率最大,因此可得kF/vm2 (2)由式(1)和式(2)可得 (3)根據(jù)始末條件對式(3)積分,有則 又因式(3)中,再利用始末條件對式(3)積分,有。則 2-18 沿半球形碗的光滑的內(nèi)面，質(zhì)量為m的小球以角速度w在一水平面內(nèi)作勻速圓周運動，如題圖2-18所示。碗半徑為R，求小球作勻速圓周運動的水平面離碗底高度為多少？分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動時,必須使鋼球受到一與向心加速度相對應(yīng)的力(向心力),而該力是由碗內(nèi)壁對球的支持力FN 的分力來提供的,由于支持力FN 始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨而變的取圖示Oxy 坐標(biāo),列出動力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度解取鋼球為隔離體,其受力分析如圖(b)所示在圖示坐標(biāo)中列動力學(xué)方程 (1) (2)且有 (3)由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見,h 隨的變化而變化rRm習(xí)題2-18圖q 習(xí)題2-19圖2-19 火車在平直軌道上以勻加速度a向前行駛。在車中用懸線掛一小球，懸線與豎直方向成q 角而靜止，如圖2-19所示，試分別以地面和車廂為參照系求q 角。分析 以地面為參照系，是慣性參照系，直接運動用牛頓第二定律；以車廂為參照系，由于車廂加速運動，不是慣性參照系，因此不能直接運動牛頓第二定律。以地面：小球受到重力和拉力的作用，其合力產(chǎn)生加速度am1m2 習(xí)題2-20圖m1m2a1習(xí)題2-21圖即：最終結(jié)果為以車為參考系，小球相對于車廂靜止，慣性力為F，則慣性力、拉力以及重力的合力平衡，結(jié)果同樣是2-20 如圖2-20所示，繩從圓柱體中m1中的小孔內(nèi)穿過，已知繩與圓柱體有摩擦，且圓柱體相對于繩子向下滑動的加速度為a。求m2 對地的加速度及繩子的張力。分析：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度相等，其對于m1則為牽連加速度，又知m1對繩子的相對加速度為a，故可求得m1對地加速度。解：設(shè) m1對地加速度為a2，繩的加速度為a1，則： 又因繩的質(zhì)量不計，所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力，由牛頓定律，有 聯(lián)立、式，得習(xí)題2-22圖(b)(a)2-21 如圖2-21所示，升降機以向上的加速度a1運動，升降機內(nèi)有一輕定滑輪。質(zhì)量分別為m1和m2的兩物體，由繞過定滑輪的輕繩連接,如圖所示。若m1m2，求兩物體相對升降機的加速度和繩的張力。分析 m1向下運動，相對于地面的加速度為升降機加速度與相對于升降機的加速度矢量和，m2向上運動。分別列出動力學(xué)方程，聯(lián)立求解。解： m1： m2：上兩式聯(lián)立：，2-22 一質(zhì)量為m 的小球最初位于如圖2-22(a)所示的A 點,然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑試求小球到達(dá)點C時的角速度和對圓軌道的作用力分析該題可由牛頓第二定律求解在取自然坐標(biāo)的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度a,與其相對應(yīng)的外力F是重力的切向分量mgsin,而與法向加速度an相對應(yīng)的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcos由此,可分別列出切向和法向的動力學(xué)方程Fmdv/dt和Fnman 由于小球在滑動過程中加速度不是恒定的,因此,需應(yīng)用積分求解,為使運算簡便,可轉(zhuǎn)換積分變量 倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球為系統(tǒng)的機械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡便但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力解小球在運動過程中受到重力P 和圓軌道對它的支持力FN 取圖(b)所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得 (1) (2)由,得,代入式(1),并根據(jù)小球從點A 運動到點C 的始末條件,進(jìn)行積分,有得 則小球在點C 的角速度為由式(2)得 由此可得小球?qū)A軌道的作用力為負(fù)號表示FN 與en 反向2-23 一架以3.0 102 ms-1 的速率水平飛行的飛機,與一只身長為0.20 m、質(zhì)量為0.50 kg 的飛鳥相碰設(shè)碰撞后飛鳥的尸體與飛機具有同樣的速度,而原來飛鳥對于地面的速率甚小,可以忽略不計試估計飛鳥對飛機的沖擊力(碰撞時間可用飛鳥身長被飛機速率相除來估算)根據(jù)本題的計算結(jié)果,你對于高速運動的物體(如飛機、汽車)與通常情況下不足以引起危害的物體(如飛鳥、小石子)相碰后會產(chǎn)生什么后果的問題有些什么體會？分析由于鳥與飛機之間的作用是一短暫時間內(nèi)急劇變化的變力,直接應(yīng)用牛頓定律解決受力問題是不可能的如果考慮力的時間累積效果,運用動量定理來分析,就可避免作用過程中的細(xì)節(jié)情況在求鳥對飛機的沖力(常指在短暫時間內(nèi)的平均力)時,由于飛機的狀態(tài)(指動量)變化不知道,使計算也難以進(jìn)行；這時,可將問題轉(zhuǎn)化為討論鳥的狀態(tài)變化來分析其受力情況,并根據(jù)鳥與飛機作用的相互性(作用與反作用),問題就很簡單了解以飛鳥為研究對象,取飛機運動方向為x 軸正向由動量定理得式中F為飛機對鳥的平均沖力,而身長為20cm 的飛鳥與飛機碰撞時間約為t l /v,以此代入上式可得鳥對飛機的平均沖力為式中負(fù)號表示飛機受到的沖力與其飛行方向相反從計算結(jié)果可知,2.25 105 N的沖力大致相當(dāng)于一個22 t 的物體所受的重力,可見,此沖力是相當(dāng)大的若飛鳥與發(fā)動機葉片相碰,足以使發(fā)動機損壞,造成飛行事故2-24 質(zhì)量為m 的物體,由水平面上點O 以初速為v0 拋出,v0與水平面成仰角若不計空氣阻力,求：(1) 物體從發(fā)射點O 到最高點的過程中,重力的沖量；(2) 物體從發(fā)射點到落回至同一水平面的過程中,重力的沖量分析重力是恒力,因此,求其在一段時間內(nèi)的沖量時,只需求出時間間隔即可由拋體運動規(guī)律可知,物體到達(dá)最高點的時間,物體從出發(fā)到落回至同一水平面所需的時間是到達(dá)最高點時間的兩倍這樣,按沖量的定義即可求得結(jié)果另一種解的方法是根據(jù)過程的始、末動量,由動量定理求出解1物體從出發(fā)到達(dá)最高點所需的時間為則物體落回地面的時間為于是,在相應(yīng)的過程中重力的沖量分別為解2根據(jù)動量定理,物體由發(fā)射點O 運動到點A、B 的過程中,重力的沖量分別為2-25 Fx 304t(式中Fx 的單位為N,t 的單位為s)的合外力作用在質(zhì)量m10 kg 的物體上,試求：(1) 在開始2 內(nèi)此力的沖量；(2) 若沖量I 300 Ns,此力作用的時間；(3) 若物體的初速度v1 10 ms-1 ,方向與Fx 相同,在t6.86s時,此物體的速度v2 。分析本題可由沖量的定義式,求變力的沖量,繼而根據(jù)動量定理求物體的速度v2解(1) 由分析知(2) 由I 300 30t 2t2 ,解此方程可得t 686 s(另一解不合題意已舍去)(3) 由動量定理,有I m v2- m v1由(2)可知t 686 s 時I 300 Ns ,將I、m 及v1代入可得習(xí)題2-27圖 2-26 A、B 兩船在平靜的湖面上平行逆向航行,當(dāng)兩船擦肩相遇時,兩船各自向?qū)Ψ狡椒€(wěn)地傳遞50 kg 的重物,結(jié)果是A 船停了下來,而B 船以3.4 ms-1的速度繼續(xù)向前駛?cè)、B 兩船原有質(zhì)量分別為0.5103 kg 和1.0 103 kg,求在傳遞重物前兩船的速度(忽略水對船的阻力)分析由于兩船橫向傳遞的速度可略去不計,則對搬出重物后的船A 與從船B 搬入的重物所組成的系統(tǒng)來講,在水平方向上無外力作用,因此,它們相互作用的過程中應(yīng)滿足動量守恒；同樣,對搬出重物后的船B 與從船A 搬入的重物所組成的系統(tǒng)亦是這樣由此,分別列出系統(tǒng)、的動量守恒方程即可解出結(jié)果解設(shè)A、B兩船原有的速度分別以vA 、vB 表示,傳遞重物后船的速度分別以vA 、vB 表示,被搬運重物的質(zhì)量以m 表示分別對上述系統(tǒng)、應(yīng)用動量守恒定律,則有 (1) (2)由題意知vA 0, vB 3.4 ms-1 代入數(shù)據(jù)后,可解得也可以選擇不同的系統(tǒng),例如,把A、B 兩船(包括傳遞的物體在內(nèi))視為系統(tǒng),同樣能滿足動量守恒,也可列出相對應(yīng)的方程求解 2-27 如圖2-27所示，一質(zhì)量為0.20 kg 的球,系在長為2.00 m 的細(xì)繩上,細(xì)繩的另一端系在天花板上把小球移至使細(xì)繩與豎直方向成30角的位置,然后從靜止放開求：(1) 在繩索從30角到0角的過程中,重力和張力所作的功；(2) 物體在最低位置時的動能和速率；(3) 在最低位置時的張力分析(1) 在計算功時,首先應(yīng)明確是什么力作功小球擺動過程中同時受到重力和張力作用重力是保守力,根據(jù)小球下落的距離,它的功很易求得；至于張力雖是一變力,但是,它的方向始終與小球運動方向垂直,根據(jù)功的矢量式,即能得出結(jié)果來(2) 在計算功的基礎(chǔ)上,由動能定理直接能求出動能和速率(3) 在求最低點的張力時,可根據(jù)小球作圓周運動時的向心加速度由重力和張力提供來確定解(1) 如圖所示,重力對小球所作的功只與始末位置有關(guān),即在小球擺動過程中,張力F 的方向總是與運動方向垂直,所以,張力的功(2) 根據(jù)動能定理,小球擺動過程中,其動能的增量是由于重力對它作功的結(jié)果初始時動能為零,因而,在最低位置時的動能為小球在最低位置的速率為(3) 當(dāng)小球在最低位置時,由牛頓定律可得2-28 一質(zhì)量為m 的質(zhì)點,系在細(xì)繩的一端,繩的另一端固定在平面上此質(zhì)點在粗糙水平面上作半徑為r 的圓周運動設(shè)質(zhì)點的最初速率是v0 當(dāng)它運動一周時,其速率為v0 /2求：(1) 摩擦力作的功；(2) 動摩擦因數(shù)；(3) 在靜止以前質(zhì)點運動了多少圈？分析質(zhì)點在運動過程中速度的減緩,意味著其動能減少；而減少的這部分動能則消耗在運動中克服摩擦力作功上由此,可依據(jù)動能定理列式解之解(1) 摩擦力作功為 (1)(2) 由于摩擦力是一恒力,且F mg,故有 (2)由式(1)、(2)可得動摩擦因數(shù)為(3) 由于一周中損失的動能為,則在靜止前可運行的圈數(shù)為圈ab習(xí)題2-29圖2-29 如圖2-29(a)所示,有一自動卸貨礦車,滿載時的質(zhì)量為m,從與水平成傾角30.0斜面上的點A 由靜止下滑設(shè)斜面對車的阻力為車重的0.25 倍,礦車下滑距離l 時,與緩沖彈簧一道沿斜面運動當(dāng)?shù)V車使彈簧產(chǎn)生最大壓縮形變時,礦車自動卸貨,然后礦車借助彈簧的彈性力作用,使之返回原位置A 再裝貨試問要完成這一過程,空載時與滿載時車的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？ 分析礦車在下滑和返回的全過程中受到重力、彈力、阻力和支持力作用若取礦車、地球和彈簧為系統(tǒng),支持力不作功,重力、彈力為保守力,而阻力為非保守力礦車在下滑和上行兩過程中,存在非保守力作功,系統(tǒng)不滿足機械能守恒的條件,因此,可應(yīng)用功能原理去求解在確定重力勢能、彈性勢能時,應(yīng)注意勢能零點的選取,常常選取彈簧原長時的位置為重力勢能、彈性勢能共同的零點,這樣做對解題比較方便解取沿斜面向上為x 軸正方向彈簧被壓縮到最大形變時彈簧上端為坐標(biāo)原點O礦車在下滑和上行的全過程中,按題意,摩擦力所作的功為W (0.25mg 0.25mg)(l x) (1)式中m和m 分別為礦車滿載和空載時的質(zhì)量,x 為彈簧最大被壓縮量根據(jù)功能原理,在礦車運動的全過程中,摩擦力所作的功應(yīng)等于系統(tǒng)機械能增量的負(fù)值,故有W -E -(EPE )由于礦車返回原位時速度為零,故E0；而EP(m -m) g(l x) sin,故有W -(m -m) g(l x) sin (2)由式(1)、(2)可解得2-30一質(zhì)量為m 的地球衛(wèi)星,沿半徑為3RE 的圓軌道運動,RE 為地球的半徑已知地球的質(zhì)量為mE求：(1) 衛(wèi)星的動能；(2) 衛(wèi)星的引力勢能；(3) 衛(wèi)星的機械能分析根據(jù)勢能和動能的定義,只需知道衛(wèi)星的所在位置和繞地球運動的速率,其勢能和動能即可算出由于衛(wèi)星在地球引力作用下作圓周運動,由此可算得衛(wèi)星繞地球運動的速率和動能由于衛(wèi)星的引力勢能是屬于系統(tǒng)(衛(wèi)星和地球)的,要確定特定位置的勢能時,必須規(guī)定勢能的零點,通常取衛(wèi)星與地球相距無限遠(yuǎn)時的勢能為零