線性代數(shù)習(xí)題及答案(復(fù)旦版).doc

線性代數(shù)習(xí)題及答案習(xí)題一1. 求下列各排列的逆序數(shù).(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)321； (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n-1)321)= 0+1+2 +(n-1)=;(4) (13(2n-1)(2n)(2n-2)2)=0+1+(n-1)+(n-1)+(n-2)+1+0=n(n-1).2. 略.見教材習(xí)題參考答案.3. 略.見教材習(xí)題參考答案.4. 本行列式的展開式中包含和的項.解： 設(shè) ，其中分別為不同列中對應(yīng)元素的行下標，則展開式中含項有展開式中含項有.5. 用定義計算下列各行列式.(1)； (2).【解】(1) D=(-1)(2314)4!=24; (2) D=12.6. 計算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 證明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【證明】(1) (2) (3) 首先考慮4階范德蒙行列式:從上面的4階范德蒙行列式知，多項式f(x)的x的系數(shù)為但對（*）式右端行列式按第一行展開知x的系數(shù)為兩者應(yīng)相等，故(4) 對D2n按第一行展開，得據(jù)此遞推下去，可得(5) 對行列式的階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.當n=2時，可直接驗算結(jié)論成立，假定對這樣的n-1階行列式結(jié)論成立，進而證明階數(shù)為n時結(jié)論也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成兩個n階行列式相加：但由歸納假設(shè)從而有8. 計算下列n階行列式.(1) (2) ；(3). (4)其中 ；(5).【解】(1) 各行都加到第一行，再從第一行提出x+(n-1),得將第一行乘（-1）后分別加到其余各行，得(2) 按第二行展開(3) 行列式按第一列展開后，得(4)由題意，知 .(5) . 即有 由 得 .9. 計算n階行列式.【解】各列都加到第一列，再從第一列提出，得將第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 計算階行列式（其中）.就.【解】行列式的各列提取因子,然后應(yīng)用范德蒙行列式.11. 已知4階行列式;試求與，其中為行列式的第4行第j個元素的代數(shù)余子式.【解】同理 12. 用克萊姆法則解方程組.(1) (2) 【解】方程組的系數(shù)行列式為故原方程組有惟一解，為13. 和為何值時，齊次方程組有非零解?【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式即故或時，方程組有非零解.14. 問：齊次線性方程組有非零解時，a,b必須滿足什么條件？【解】該齊次線性方程組有非零解，a,b需滿足即(a+1)2=4b.15. 求三次多項式，使得【解】根據(jù)題意，得這是關(guān)于四個未知數(shù)的一個線性方程組，由于故得于是所求的多項式為16. 求出使一平面上三個點位于同一直線上的充分必要條件.【解】設(shè)平面上的直線方程為ax+by+c=0 (a,b不同時為0)按題設(shè)有則以a,b,c為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為上式即為三點位于同一直線上的充分必要條件.習(xí)題 二1. 計算下列矩陣的乘積.（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）.【解】(1) (2); (3) (10);(4) (5); (6) .2. 設(shè)，求(1);(2) ；(3) 嗎?【解】(1) (2) (3) 由于ABBA,故(A+B)(A-B)A2-B2.3. 舉例說明下列命題是錯誤的.(1) 若， 則； (2) 若， 則或；(3) 若， 則.【解】(1) 以三階矩陣為例，取,但A0(2) 令,則A2=A,但A0且AE(3) 令則AX=AY,但XY.4.設(shè), 求A2，A3，Ak.【解】5. ，求并證明：.【解】今歸納假設(shè)那么所以，對于一切自然數(shù)k,都有6. 已知，其中求及.【解】因為|P|= -10,故由AP=PB,得而7. 設(shè)，求|. 解：由已知條件，的伴隨矩陣為又因為，所以有，且，即 于是有 .8.已知線性變換利用矩陣乘法求從到的線性變換.【解】已知從而由到的線性變換為9. 設(shè)，為階方陣，且為對稱陣，證明：也是對稱陣.【證明】因為n階方陣A為對稱陣，即A=A,所以 (BAB)=BAB=BAB,故也為對稱陣.10.設(shè)A，B為n階對稱方陣，證明：AB為對稱陣的充分必要條件是AB=BA.【證明】已知A=A,B=B，若AB是對稱陣，即(AB)=AB.則 AB=(AB)=BA=BA,反之，因AB=BA,則(AB)=BA=BA=AB,所以，AB為對稱陣.11. A為n階對稱矩陣，B為n階反對稱矩陣，證明：(1) B2是對稱矩陣.(2) AB-BA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.【證明】因A=A,B= -B,故(B2)=BB= -B(-B)=B2;(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB= -BA-A(-B)=AB-BA;(AB+BA)=(AB)+(BA)=BA+AB= -BA+A(-B)= -(AB+BA).所以B2是對稱矩陣，AB-BA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.12. 求與A=可交換的全體二階矩陣.【解】設(shè)與A可交換的方陣為,則由=,得.由對應(yīng)元素相等得c=0,d=a,即與A可交換的方陣為一切形如的方陣，其中a,b為任意數(shù).13. 求與A=可交換的全體三階矩陣.【解】由于A=E+,而且由可得由此又可得所以即與A可交換的一切方陣為其中為任意數(shù).14.求下列矩陣的逆矩陣.(1) ； (2) ；(3)； (4)；(5)； (6)，未寫出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) .15. 利用逆矩陣，解線性方程組【解】因,而故16. 證明下列命題：(1) 若A，B是同階可逆矩陣，則（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，則A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3) 若AA=E,則（A*）=(A*)-1.【證明】（1） 因?qū)θ我夥疥嘽，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同階，故可得|A|B|B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|B|(AB) *. |A|0,|B|0, (AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,從而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.于是A* (A-1) *=|A|A-1|A|-1A=E,所以 (A-1) *=(A*)-1.(3) 因AA=E，故A可逆且A-1=A.由(2)(A*)-1=(A-1) *,得(A*)-1=(A) *=(A*).17.已知線性變換求從變量到變量的線性變換.【解】已知且|A|=10,故A可逆，因而所以從變量到變量的線性變換為18.解下列矩陣方程.(1) ；(2)；(3) ；(4) .【解】(1) 令A(yù)=;B=.由于故原方程的惟一解為同理(2) X=; (3) X=; (4) X=19. 若 (k為正整數(shù))，證明：.【證明】作乘法從而E-A可逆，且20.設(shè)方陣A滿足A2A2EO，證明A及A2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1.【證】因為A2-A-2E=0,故由此可知，A可逆，且同樣地由此知，A+2E可逆，且21. 設(shè)，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故22. 設(shè).其中， 求.【解】因可逆，且故由得23. 設(shè)次多項式，記,稱為方陣的次多項式.(1)， 證明，；(2) 設(shè)， 證明，.【證明】(1)即k=2和k=3時，結(jié)論成立.今假設(shè)那么所以，對一切自然數(shù)k，都有而(2) 由(1)與A=P -1BP,得B=PAP -1.且Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,又24. ，證明矩陣滿足方程.【證明】將A代入式子得故A滿足方程.25. 設(shè)階方陣的伴隨矩陣為，證明：(1) 若，則；(2) .【證明】（1） 若|A|=0，則必有|A*|=0，因若| A*|0，則有A*( A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,這與| A*|0是矛盾的，故當|A| =0，則必有| A*|=0.(2) 由A A*=|A|E，兩邊取行列式，得|A| A*|=|A|n,若|A|0，則| A*|=|A|n-1若|A|=0,由(1)知也有| A*|=|A|n-1.26.設(shè).求(1) ; (2); (3) ；(4)k (為正整數(shù)).【解】(1); (2) ;(3) ; (4).27. 用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并求其逆矩陣.（1）； （2）;（3）.【解】(1) 對A做如下分塊 其中的逆矩陣分別為所以A可逆，且同理(2)(3) 習(xí)題 三1. 略.見教材習(xí)題參考答案.2. 略.見教材習(xí)題參考答案.3. 略.見教材習(xí)題參考答案.4. 略.見教材習(xí)題參考答案.5.，證明向量組線性相關(guān).【證明】因為所以向量組線性相關(guān).6. 設(shè)向量組線性無關(guān)，證明向量組也線性無關(guān)，這里【證明】 設(shè)向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得把代入上式，得.又已知線性無關(guān)，故該方程組只有惟一零解，這與題設(shè)矛盾，故向量組線性無關(guān).7. 略.見教材習(xí)題參考答案.8. .證明：如果，那么線性無關(guān).【證明】已知,故R(A)=n,而A是由n個n維向量組成的，所以線性無關(guān).9. 設(shè)是互不相同的數(shù)，rn.證明：是線性無關(guān)的.【證明】任取n-r個數(shù)tr+1,tn使t1,tr,tr+1,tn互不相同，于是n階范德蒙行列式從而其n個行向量線性無關(guān)，由此知其部分行向量也線性無關(guān).10. 設(shè)的秩為r且其中每個向量都可經(jīng)線性表出.證明：為的一個極大線性無關(guān)組.【證明】若 (1)線性相關(guān)，且不妨設(shè) (tr) (2)是(1)的一個極大無關(guān)組，則顯然（2）是的一個極大無關(guān)組，這與的秩為r矛盾，故必線性無關(guān)且為的一個極大無關(guān)組.11. 求向量組=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關(guān)組.【解】把按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.當k=1時，的秩為為其一極大無關(guān)組.當k1時，線性無關(guān)，秩為3，極大無關(guān)組為其本身.12. 確定向量,使向量組與向量組=(0,1,1),=(1,2,1),=(1,0,-1)的秩相同，且可由線性表出.【解】由于而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又要使可由線性表出，需b-a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設(shè)要求，即=(2,2,0).13. 設(shè)為一組n維向量.證明：線性無關(guān)的充要條件是任一n維向量都可經(jīng)它們線性表出.【證明】充分性: 設(shè)任意n維向量都可由線性表示，則單位向量，當然可由它線性表示，從而這兩組向量等價，且有相同的秩，所以向量組的秩為n，因此線性無關(guān).必要性：設(shè)線性無關(guān)，任取一個n維向量,則線性相關(guān)，所以能由線性表示.14. 若向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組,線性表出，也可由向量組,線性表出，則向量組,與向量組,等價.證明：由已知條件，且向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組,線性表出，即兩向量組等價，且，又，向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組,線性表出，即兩向量組等價，且，所以向量組,與向量組,等價.15. 略.見教材習(xí)題參考答案.16. 設(shè)向量組與秩相同且能經(jīng)線性表出.證明與等價.【解】設(shè)向量組 (1)與向量組 (2)的極大線性無關(guān)組分別為 (3)和 (4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即因（4）線性無關(guān)，故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是|aij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.17. 設(shè)A為mn矩陣，B為sn矩陣.證明：.【證明】因A,B的列數(shù)相同，故A,B的行向量有相同的維數(shù)，矩陣可視為由矩陣A擴充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量線性表示，故同理故有又設(shè)R(A)=r,是A的行向量組的極大線性無關(guān)組,R（B）=k, 是B的行向量組的極大線性無關(guān)組.設(shè)是中的任一行向量，則若屬于A的行向量組，則可由表示，若屬于B的行向量組，則它可由線性表示，故中任一行向量均可由,線性表示，故所以有.18. 設(shè)A為sn矩陣且A的行向量組線性無關(guān)，K為rs矩陣.證明：BKA行無關(guān)的充分必要條件是R(K)=r.【證明】設(shè)A=(As,Ps(n-s),因為A為行無關(guān)的sn矩陣，故s階方陣As可逆.()當B=KA行無關(guān)時，B為rn矩陣.r=R(B)=R(KA)R(K),又K為rs矩陣R(K)r, R(K)=r.()當r=R(K)時，即K行無關(guān)，由B=KA=K(As,Ps(n-s)=(KAs,KPs(n-s)知R(B)=r,即B行無關(guān).19. 略.見教材習(xí)題參考答案.20. 求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關(guān)組.(1)； (2).【解】(1) 矩陣的行向量組的一個極大無關(guān)組為;(2) 矩陣的行向量組的一個極大無關(guān)組為.21. 略.見教材習(xí)題參考答案.22. 集合V1()R且0是否構(gòu)成向量空間?為什么?【解】由（0,0,0）V1知V1非空，設(shè))則因為所以,故是向量空間.23. 試證：由,生成的向量空間恰為R3.【證明】把排成矩陣A=(),則,所以線性無關(guān)，故是R3的一個基，因而生成的向量空間恰為R3.24. 求由向量所生的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因為矩陣是一組基，其維數(shù)是3維的.25. 設(shè),證明:.【解】因為矩陣由此知向量組與向量組的秩都是2，并且向量組可由向量組線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價，從而也可由線性表出.所以.26. 在R3中求一個向量，使它在下面兩個基下有相同的坐標.【解】設(shè)在兩組基下的坐標均為()，即即求該齊次線性方程組得通解 (k為任意實數(shù))故27. 驗證為R3的一個基，并把用這個基線性表示.【解】設(shè)又設(shè),即記作 B=AX.則因有,故為R3的一個基，且即.習(xí)題四1. 用消元法解下列方程組.(1) (2) 【解】(1) 得所以(2) 解-2得 x2-2x3=0- 得 2x3=4得同解方程組由得 x3=2,由得 x2=2x3=4,由得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.2. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.(1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程組得基礎(chǔ)解系為.(2) 系數(shù)矩陣為 其基礎(chǔ)解系含有個解向量.基礎(chǔ)解系為(3) 得同解方程組取得基礎(chǔ)解系為(-2，0，1，0，0)T,(-1，-1，0，1，0).(4) 方程的系數(shù)矩陣為 基礎(chǔ)解系所含解向量為n-R(A)=5-2=3個取為自由未知量 得基礎(chǔ)解系 3. 解下列非齊次線性方程組.(1) (2) (3) (4) 【解】（1） 方程組的增廣矩陣為得同解方程組(2) 方程組的增廣矩陣為得同解方程組即令得非齊次線性方程組的特解xT=(0，1，0，0)T.又分別取得其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為 方程組的解為(3) 方程組無解.(4) 方程組的增廣矩陣為分別令得其導(dǎo)出組的解為令,得非齊次線性方程組的特解為：xT=(-16,23,0,0,0)T, 方程組的解為其中為任意常數(shù).4. 某工廠有三個車間，各車間相互提供產(chǎn)品（或勞務(wù)），今年各車間出廠產(chǎn)量及對其它車間的消耗如下表所示.車間消耗系數(shù)車間123出廠產(chǎn)量（萬元）總產(chǎn)量（萬元）10.10.20.4522x120.20.20.30x230.500.1255.6x3表中第一列消耗系數(shù)0.1,0.2,0.5表示第一車間生產(chǎn)1萬元的產(chǎn)品需分別消耗第一，二，三車間0.1萬元，0.2萬元，0.5萬元的產(chǎn)品；第二列，第三列類同，求今年各車間的總產(chǎn)量.解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)列方程組有即 解之 5. 取何值時，方程組(1)有惟一解，(2)無解，(3)有無窮多解，并求解.【解】方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣為|A|=.(1) 當1且-2時，|A|0，R(A)=R(B)=3. 方程組有惟一解（2） 當=-2時，R(A)R(B), 方程組無解.(3) 當=1時R(A)=R(B)3,方程組有無窮解.得同解方程組 得通解為6. 齊次方程組當取何值時，才可能有非零解?并求解.【解】方程組的系數(shù)矩陣為|A|=當|A|=0即=4或=-1時，方程組有非零解.(i) 當=4時,得同解方程組(ii) 當=-1時,得 ()T=k(-2,-3,1)T.kR7. 當a,b取何值時，下列線性方程組無解，有惟一解或無窮多解？在有解時，求出其解.（1） (2) 【解】方程組的增廣矩陣為(1) (i) 當b-52時,方程組有惟一解(ii) 當b=-52,a-1時，方程組無解.(iii) 當b=-52，a=-1時，方程組有無窮解.得同解方程組 (*)其導(dǎo)出組的解為非齊次線性方程組（*）的特解為取x4=1, 原方程組的解為 (2) (i) 當a-10時，R(A)=R()=4,方程組有惟一解.(ii) 當a-1=0時,b-1時，方程組R(A)=20,則f為正定二次型.29. 試證：如果A,B都是n階正定矩陣，則A+B也是正定的.【證】A,B是正定矩陣，則存在正定二次型= xTAx = xTBx且A=A ， B=B(A+B)=(A+B)=A+B有= xT(A+B)x=xTAx+xTBx0 A+B為正定.30. 試證：如果A是n階可逆矩陣，則AA是正定矩陣.【證】A可逆 (AA)= A(A)= AA AA = AE A可知AA與E合同AA正定.31. 試證：如果A正定，則A,A，A*都是正定矩陣.【證】A正交，可知A=A 可逆陣C，使得A=CEC.(i) A=CECA=(CEC)A=CE(C)=CEC A與E合同，可知A為正定矩陣.(ii) (A-1)=(A)-1=A-1可知A-1為對稱矩陣.由A正交可知，A為點對稱矩陣其特征值設(shè)為且有0(i=1,2,n)Axi=xixi=A-1xiA-1xi=xi可知A-1的特征值為 ， (i=1,2,n) A-1正定.(iii) 由A*=|A|A-1可知(A)1=|A|(A-1)=|A|A-1=A*由(ii)可知A-1為正定矩陣即存在一個正定二次型= xTA-1x有0 A正交|A|0= xTA*x=xT|A|A-1x=|A|(xTA-1x)即有時，xTA-1x0 |A|0,即有= xTA*x 0 A*為正定矩陣.習(xí)題 六1. 檢驗以下集合對于所指的線性運算是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.(1) 2階反對稱(上三角)矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(2) 平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：k；(3) 2階可逆矩陣的全體，對于通常矩陣的加法與數(shù)量乘法；(4) 與向量(1，1，0)不平行的全體3維數(shù)組向量，對于數(shù)組向量的加法與數(shù)量乘法.【解】（1）是.由于矩陣加法和數(shù)量乘法滿足線性空間定義中的1-8條性質(zhì)，因此只需考慮反對稱（上三角）矩陣對于加法和數(shù)量乘法是否封閉即可.下面僅對反對稱矩陣驗證：設(shè)A，B均為2階反對稱矩陣，k為任一實數(shù)，則(A+B)=A+B=-A-B=-(A+B),(kA)=kA=k(-A)=-(kA),所以2階反對稱矩陣的全體對于矩陣加法和數(shù)量乘法構(gòu)成一個線性空間.（2） 否.因為(k+l),而,所以這種數(shù)量乘法不滿足線性空間定義中的第7條性質(zhì).（3） 否.因為零矩陣不可逆（又因為加法和數(shù)量乘法都不封閉）.（4） 否.因為加法不封閉.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它們之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不屬于這個集合.2. 設(shè)U是線性空間V的一個子空間，試證：若U與V的維數(shù)相等，則U.【證明】設(shè)U的維數(shù)為m，且是U的一個基，因UV,且V的維數(shù)也是m，自然也是V的一個基，故U=V.3. 設(shè)是n維線性空間Vn的線性無關(guān)向量組，證明Vn中存在向量使成為Vn的一個基(對n-r用數(shù)學(xué)歸納法).【證明】對差n-r作數(shù)學(xué)歸納法.當n-r=0時，結(jié)論顯然成立.假定對n-r=k時，結(jié)論成立，現(xiàn)在考慮n-r=k+1的情形.因為向量組還不是V的一個基，它又是線性無關(guān)的，所以在V中必存在一個向量不能由線性表出，把添加進去所得向量組,必定還是線性無關(guān)的，此時n-(r+1)=(n-r)-1=(k+1)-1=k.由歸納法假設(shè), ,可以擴充為整個空間的一個基.根據(jù)歸納法原理，結(jié)論普遍成立.4. 在R中求向量(0,0,0,1)在基(1,1,0,1),(2,1,3,1), (1,1,0,0), (0,1,1,1)下的坐標.【解】設(shè)向量在基下的坐標為(),則即為解之得()=(1,0,-1,0).5. 在R中，取兩個基(1，2，1)，(2，3，3)，(3，7，1)；(3，1，4)，(5，2，1)，(1，1，6)，試求到的過渡矩陣與坐標變換公式.【解】取R中一個基（通常稱之為標準基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有所以由基到基的過渡矩陣為坐標變換公式為其中()與（）為同一向量分別在基與下的坐標.6. 在R4中取兩個基(1) 求由前一個基到后一個基的過渡矩陣；(2) 求向量()在后一個基下的坐標；(3) 求在兩個基下有相同坐標的向量.【解】(1) 這里A就是由基到基的過渡矩陣.(2) 設(shè),由于()=()A-1,所以因此向量在基下的坐標為(3) 設(shè)向量在這兩個基下有相同的坐標,那么 即 也就是解得,其中為任一非零實數(shù).7. 證明3階對稱矩陣的全體S構(gòu)成線性空間，且S的維數(shù)為6.【證明】首先，S是非空的（0S）,并且A,BS,kR,有(A+B)=A+B=A+B(kA)=kA=kA.這表明S對于矩陣的加法和數(shù)量乘法是封閉的.其次，這兩種矩陣運算滿足線性空間定義中的18條性質(zhì).故S是線性空間.不難驗證，下列6個對稱矩陣.構(gòu)成S的一個基，故S的維數(shù)為6.8. 說明平面上變換的幾何意義，其中(1)； (2) ；(3) ； (4) .【解】,T把平面上任一點變到它關(guān)于y軸對稱的點.,T把平面上任一點變到它在y軸的投影點.,T把平面上任一點變到它關(guān)于直線x=y對稱的點.,T把平面上任一點變到它繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90后所對應(yīng)的點.9. 設(shè)V是n階對稱矩陣的全體構(gòu)成的線性空間維數(shù)為，給定n階方陣P，變換T(A)PAP， A稱為合同變換，試證合同變換T是V中的線性變換.【證明】因為A,BV,kR,有T(A+B)=P(A+B)P=PAP+PBP=T(A)+T(B),T(kA)=P(kA)P=k(PAP)=kT(A).所以T是線性空間V的一個線性變換.10. 函數(shù)集合V3(a2x2+a1x+a0)exa2，a1,a0R對于函數(shù)的加法與數(shù)乘構(gòu)成3維線性