黑龍江省各市重點高中自主招生二次函數(shù)大題練習題及答案.doc

二次函數(shù)練習題1（本題14分）已知如圖，拋物線與x軸相交于B（，0）、C（，0）(均大于0)兩點, 與y軸的正半軸相交于A點. 過A、B、C三點的P與y軸相切于點A，其面積為 .（1）請確定拋物線的解析式；（2）M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交P于點D若AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MBMD的值（先畫出符合題意的示意圖再求解）2若x1、x2是關于一元二次方程ax2+bx+c（a0）的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關系：x1+x2=，x1x2=把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關系定理如果設二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0），B（x2，0）利用根與系數(shù)關系定理可以得到A、B兩個交點間的距離為：AB=|x1x2|=；參考以上定理和結論，解答下列問題：設二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點為C，顯然ABC為等腰三角形（1）當ABC為直角三角形時，求b24ac的值；（2）當ABC為等邊三角形時，求b24ac的值3.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+與直線y=x交于點A，點B在直線y=x+上，BOA=90拋物線y=ax2+bx+c過點A，O，B，頂點為點E（1）求點A，B的坐標；（2）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點E的坐標；（3）設直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線BC交拋物線于點D，過點E作FEx軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M試判斷OD與CF是否平行，并說明理由4.如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=p，x1x2=q，請根據(jù)以上結論，解決下列問題：（1）已知關于x的方程x2+mx+n=0，（n0），求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2）已知a、b滿足a215a5=0，b215b5=0，求的值；（3）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值5.如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c （a0）上（1）求拋物線的解析式（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標（3）如圖2，若點N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足PODNOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）6.如圖，在水平地面點A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，在地面上落點為B有人在直線AB上點C（靠點B一側）豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶，試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi)已知AB4米，AC3米，網(wǎng)球飛行最大高度OM=5米，圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.3米（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計）（1）如果豎直擺放5個圓柱形桶時，網(wǎng)球能不能落入桶內(nèi)？（2）當豎直擺放圓柱形桶多少個時，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)？AMBC0.5OD7.已知拋物線上有不同的兩點E和F（1）求拋物線的解析式（2）如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且PMQ45，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D設AD的長為m（m0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關系式BAMCDOPQxy（3）當m，n為何值時，PMQ的邊過點F8.（本題滿分10分）A、B兩個水管同時開始向一個空容器內(nèi)注水如圖是A、B兩個水管各自的注水量y（m3）與注水時間x（h）之間的函數(shù)圖像，已知B水管的注水速度是1m3/h，1小時后，A水管的注水量隨時間的變化是一段拋物線，其頂點是（1，2），且注水9小時，容器剛好注滿請根據(jù)圖像所提供的信息解答下列問題：（1）.直接寫出A、B注水量y（m3）與注水時間x（h）之間的函數(shù)解解析式，并注明自變量的取值范圍；yA= ( ) ， yB=2).求容器的容量；3).根據(jù)圖象，通過計算回答，當yAyB時，直接寫出x的取值范圍9已知x1、x2是關于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的兩個實數(shù)根，使得（3x1-x2）（x1-3x2）=-80成立求實數(shù)a的所有可能值9.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當0x200時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)（）當0x200時，求v與x之間的函數(shù)的表達式v(x)；（）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）f(x)=xv(x)可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）10.在中，的長分別是，且.（1）求證：；（2）若2，拋物線與直線交于點和點，且的面積為6（是坐標原點）.求的值；（3）若，拋物線與軸的兩個交點中，一個交點在原點的右側，試判斷拋物線與軸的交點是在軸的正半軸還是負半軸，說明理由.11.拋物線與軸交于兩點，與軸交于點.（1）請求出拋物線頂點的坐標（用含的代數(shù)式表示），兩點的坐標；（2）經(jīng)探究可知，與的面積比不變，試求出這個比值；（3）是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由.12.已知為整數(shù)，給出如下三個關于方程： 若方程有兩個相等的實數(shù)根，方程有且僅有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的值13.某寄宿制學校的一間宿舍里住著若干名學生，其中一人擔任舍長元旦時，該宿舍里的每名學生互贈一張賀卡，且每人又贈給宿舍樓的每位管理員一張賀卡，每位管理員也回贈舍長一張賀卡，這樣共用去了51張賀卡，問這間宿舍里住有多少名學生？14.在平面直角坐標系中，平行四邊形如圖放置，點為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為且；將平行四邊形繞點順時針旋轉得平行四邊形，與相交于點（）當時，求的周長；（）若拋物線同時過四個點、求的值；點是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，以點為圓心的圓 始終與直線相切，求的半徑的取值范圍 15、已知拋物線過點，且與直線只有一個交點 求拋物線的解析式； 若直線與拋物線相交于兩點，則在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是等腰三角形? 若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由16.如圖,RtAOB中,A90,以O為坐標原點建立直角坐標系,使點A在x軸正半軸上,OA2,AB8,點C為AB邊的中點,拋物線的頂點是原點O,且經(jīng)過C點. （1）填空:直線OC的解析式為 ; 拋物線的解析式為 ; （2）現(xiàn)將該拋物線沿著線段OC移動,使其頂點M始終在線段OC上（包括端點O、C）,拋物線與y軸的交點為D,與AB邊的交點為E; 是否存在這樣的點D,使四邊形BDOC為平行四邊形？如存在,求出此時拋物線的解析式;如不存在,說明理由; 設BOE的面積為S,求S的取值范圍.BOACxyBOACxy17.已知關于x的方程（1）若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若這個方程有一個根為1，求k的值；（3）若以方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)的圖象上，求滿足條件的m的最小值18（本題滿分13分）如圖,設拋物線C1:, C2:,C1與C2的交點為A, B,點A的坐標是,點B的橫坐標是2. （1）求的值及點B的坐標； （2）點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側作正三角形DHG. 記過C2頂點的直線為,且與x軸交于點N. 若過DHG的頂點G,點D的坐標為(1, 2)，求點N的橫坐標； 若與DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標的取值范圍.xyAOBFED19、如圖，二次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)圖象相交于點，已知點的坐標為，點在第三象限內(nèi)，且的面積為（為坐標原點）. 求實數(shù)的值； 求二次函數(shù)（）的解析式； 設拋物線與軸的另一個交點為，點為線段上的動點（與不重合），過點作交于，連接，設的長為，的面積為，求與的函數(shù)關系式； 在的基礎上，試說明是否存在最大值；若存在，請求出的最大值，并求出此時點的坐標；若不存在，說明理由.20（15分）已知拋物線yax2bxc經(jīng)過點（1，2）（1）若a1，拋物線頂點為A，它與x軸交于兩點B、C，且ABC為等邊三角形，求b的值；（2）若abc4，且abc，求|a|b|c|的最小值21（13分）已知為整數(shù)，方程有兩個不相等的實數(shù)根，方程有兩個相等的實數(shù)根，方程沒有實數(shù)根，求的值1（2011隨州）已知函數(shù)，若使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42已知二次函數(shù)的x與y的部分對應值如下表：x-3-2-10123y111-1-115且方程的兩根分別為、，下面說法錯誤的是( ) A；B；C當時，；D當時，有最小值3函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)是：A4B3C1D04已知是方程的兩根，且，則的值等于 （ ）A5 B.5 C. 9 D.95如圖，已知正方形ABCD的邊長為4 ，E是BC邊上的一個動點，AEEF， EF交DC于F, 設BE=，F(xiàn)C=，則當點E從點B運動到點C時,關于的函數(shù)圖象是( )1Oxy第6題圖6二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（ ）yxOB.yxOA.yxOC.yxOD.7方程x2+2x1=0的根可看成函數(shù)y=x+2與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，用此方法可推斷方程x3+x1=0的實根x所在范圍為（ ）A B C Dyxo8、二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點所在象限是:A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 9、若為正數(shù)，已知關于的一元二次方程有兩個相等的實根，則方程的根的情況是（ ）A、沒有實根 B、有兩個相等的實根 C、有兩個不等的實根 D、根的情況不確定10二次函數(shù)的圖象如何移動就得到的圖象（ ）A向左移動1個單位，向上移動3個單位.B. 向左移動1個單位，向下移動3個單位.C. 向右移動1個單位，向上移動3個單位.D. 向右移動1個單位，向下移動3個單位.1如果函數(shù)y=b與函數(shù)的圖象恰好有三個交點，則b= 2關于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是 3已知 ，則的最大值是 4、函數(shù)中，自變量的取值范圍是_.5已知關于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是 6函數(shù)的最小值為 7二次函數(shù)的圖象如圖所示，是圖象上的一點，且，則的值為 8.將半徑為4cm的半圓圍成一個圓錐，在圓錐內(nèi)接一個圓柱（如圖示），當圓柱的側面的面積最大時，圓柱的底面半徑是_cm. 9、若二次方程組 有唯一解，則k的所有可能取值為10已知RtABC的三個頂點A、B、C均在拋物線上且斜邊AB平行于x軸，設斜邊上的高為h，則h的取值為11 二次函數(shù)yax2+(ab）xb的圖象如圖所示，那么化簡的結果是12設x1、x2 是一元二次方程x2+4x3=0的兩個根，2x1(2x22+5x26)+a =2，則a= .13已知方程在實數(shù)范圍內(nèi)恒有解，并且恰有一個解 大于1小于2，則的取值范圍是 二次函數(shù)答案1.（1）解：根據(jù)題意知：圓半徑PA=，取BC中點為E，連接PB，PE，則且PB=PA=，PO=OA=2，由勾股定理和圓性質知：BE=CE=從而知： 將B，C兩點坐標代入拋物線方程，可得：拋物線的解析式是： （2）根據(jù)題意OAB=ADB，所以AOB和ABD相似有兩種情況 ABD和AOB對應，此時AD是P的直徑則AB=，AD=5，BD=2MA：AD=AB：BD 即MA= 又MA：MD=MB：MA即MBMD=MA2= BAD和AOB對應，此時BD是P的直徑，所以直線MB過P點B（1，0），P（ 直線MB的解析式是： M點的坐標為（0，） AM= 由MABMDA 得MA：MD=MB：MAMBMD=MA2= 2. 拋物線與x軸的交點；根與系數(shù)的關系；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質（1）當ABC為直角三角形時，由于AC=BC，所以ABC為等腰直角三角形，過C作CEAB于E，則AB=2CE根據(jù)本題定理和結論，得到AB=，根據(jù)頂點坐標公式，得到CE=|=，列出方程，解方程即可求出b24ac的值；（2）當ABC為等邊三角形時，解直角ACE，得CE=AE=，據(jù)此列出方程，解方程即可求出b24ac的值解：（1）當ABC為直角三角形時，過C作CEAB于E，則AB=2CE拋物線與x軸有兩個交點，=b24ac0，則|b24ac|=b24aca0，AB=，又CE=|=，b24ac0，b24ac=4；（2）當ABC為等邊三角形時，由（1）可知CE=，b24ac0，b24ac=12本題考查了等腰直角三角形等邊三角形的性質，拋物線與x軸的交點及根與系數(shù)的關系定理，綜合性較強，難度中等3.（1）由直線y=x+與直線y=x交于點A，列出方程組，通過解該方程組即可求得點A的坐標；根據(jù)BOA=90得到直線OB的解析式為y=x，則，通過解該方程組來求點B的坐標即可；（2）把點A、B、O的坐標分別代入已知二次函數(shù)解析式，列出關于系數(shù)a、b、c的方程組，通過解方程組即可求得該拋物線的解析式；（3）如圖，作DNx軸于點N欲證明OD與CF平行，只需證明同位角CMN與DON相等即可解：（1）由直線y=x+與直線y=x交于點A，得，解得，點A的坐標是（3，3）BOA=90，OBOA，直線OB的解析式為y=x又點B在直線y=x+上，解得，點B的坐標是（1，1）綜上所述，點A、B的坐標分別為（3，3），（1，1）（2）由（1）知，點A、B的坐標分別為（3，3），（1，1）拋物線y=ax2+bx+c過點A，O，B，解得，該拋物線的解析式為y=x2x，或y=（x）2頂點E的坐標是（，）；（3）OD與CF平行理由如下：由（2）知，拋物線的對稱軸是x=直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，C（，）設直線BC的表達式為y=kx+b（k0），把B（1，1），C（，）代入，得，解得，直線BC的解析式為y=x+直線BC與拋物線交于點B、D，x+=x2x，解得，x1=，x2=1把x1=代入y=x+，得y1=，點D的坐標是（，）如圖，作DNx軸于點N則tanDON=FEx軸，點E的坐標為（，）點F的縱坐標是把y=代入y=x+，得x=，點F的坐標是（，），EF=+=CE=+=，tanCFE=，CFE=DON又FEx軸，CMN=CFE，CMN=DON，ODCF，即OD與CF平行4. 根與系數(shù)的關系；根的判別式（1）先設方程x2+mx+n=0，（n0）的兩個根分別是x1，x2，得出+=，=，再根據(jù)這個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案（2）根據(jù)a、b滿足a215a5=0，b215b5=0，得出a，b是x215x5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值（3）根據(jù)a+b+c=0，abc=16，得出a+b=c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根據(jù)c240，即可求出c的最小值解：（1）設方程x2+mx+n=0，（n0）的兩個根分別是x1，x2，則：+=，=，若一個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，則這個一元二次方程是：x2+x+=0；（2）a、b滿足a215a5=0，b215b5=0，a，b是x215x5=0的解，當ab時，a+b=15，ab=5，=47當A=B時，原式=2；（3）a+b+c=0，abc=16，a+b=c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，c240，c20，c是正數(shù)，c3430，c343，c4，正數(shù)c的最小值是4本題考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法5.（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而得出答案即可；（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進而將二次函數(shù)以一次函數(shù)聯(lián)立求出交點即可；（3）首先求出直線AB的解析式，進而由P1ODNOB，得出P1ODN1OB1，進而求出點P1的坐標，再利用翻折變換的性質得出另一點的坐標解：（1）A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c （a0）上，解得：，故拋物線的解析式為：y=x23x；（2）設直線OB的解析式為y=k1x（ k10），由點B（4，4）得4=4 k1，解得k1=1直線OB的解析式為y=x，AOB=45B（4，4），點B向下平移m個單位長度的點B的坐標為（4，0），故m=4平移m個單位長度的直線為y=x4解方程組 解得：，點D的坐標為（2，2）（3）直線OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0）點A關于直線OB的對稱點A的坐標為（0，3）設直線AB的解析式為y=k2x+3，此直線過點B（4，4）4k2+3=4，解得 k2=直線AB的解析式為y=x+3NBO=ABO，點N在直線AB上，設點N（n，n+3），又點N在拋物線y=x23x上，n+3=n23n解得 n1=，n2=4（不合題意，舍去），點N的坐標為（，）如圖，將NOB沿x軸翻折，得到N1OB1，則 N1 （，），B1（4，4）O、D、B1都在直線y=x上過D點做DP1N1B1，P1ODNOB，P1ODN1OB1，P1為O N1的中點=，點P1的坐標為（，）將P1OD沿直線y=x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P1到y(tǒng)軸距離，點到y(tǒng)軸距離等于P1到x軸距離，此點坐標為：（，）綜上所述，點P的坐標為（，）和（，）此題主要考查了翻折變換的性質以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質等知識，利用翻折變換的性質得出對應點關系是解題關鍵6. 解：（1）以點O為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖）M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）設拋物線的解析式為，拋物線過點M和點B，則，即拋物線解析式為當x時，y；當x時，y即P（1，），Q（，）在拋物線上當豎直擺放5個圓柱形桶時，桶高5且，網(wǎng)球不能落入桶內(nèi)（2）設豎直擺放圓柱形桶m個時網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)，由題意，得，m解得，mm為整數(shù)，m的值為8，9，10，11，12當豎直擺放圓柱形桶8，9，10，11或12個時，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi) AMBC0.5OxyDPQAMBC0.5OxyDPQ7.解：（1）拋物線的對稱軸為 拋物線上不同兩個點E和F的縱坐標相同，點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，則，且k2拋物線的解析式為（2）拋物線與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），AB，AMBM在PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，MBCDAMPMQ45，在BCM中，BMCBCMMBC180，即BMCBCM135，在直線AB上，BMCPMQAMD180，即BMCAMD135BCMAMD故BCMAMD，即，故n和m之間的函數(shù)關系式為（m0）（3）F在上， ，化簡得，k11，k23即F1（2，0）或F2（4，8）MF過M（2，2）和F1（2，0），設MF為， 則解得，直線MF的解析式為直線MF與x軸交點為（2，0），與y軸交點為（0，1）若MP過點F（2，0），則n413，m；若MQ過點F（2，0），則m4（2）6，nMF過M（2，2）和F1（4，8），設MF為， 則解得，直線MF的解析式為直線MF與x軸交點為（，0），與y軸交點為（0，）若MP過點F（4，8），則n4（），m；若MQ過點F（4，8），則m4，n故當或時，PMQ的邊過點F 8.解：1.說明： yB的分段函數(shù)式中自變量的取值范圍只要在x=1處連續(xù)即給全分2.容器的總空量是時，3.9.解：由已知有 或由根與系數(shù)關系知故（舍）或所求的實數(shù)9解：（）由題意：當 當再由已知得故函數(shù)的表達式為 （）依題意并由（）可得當時，當時，其最大值為6020=1200 當時，當，取得最大值 綜上，當時，的最大值為即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時10.（1）證明： （2）且 故 由，得要使 拋物線與直線有交點，則方程中 得過作于，設為直線與坐標軸的交點，則 又 過分別作軸、軸的平行線交于點 則又即 故 即由方程得 得或（3）且又，即，即拋物線與軸的兩個交點中有一個在原點右側，故而拋物線與軸交點為 當時，交軸于負半軸 當時，交軸于正半軸11.解：（1）拋物線頂點的坐標為（1，m）拋物線與軸交于兩點，當時，解得兩點的坐標為（）、（）. （2）當時，點的坐標為. 過點作軸于點，則=3m. （3）存在使為直角三角形的拋物線.過點作于點，則為，在中，在中，如果是，且那么即解得，存在拋物線使得是； 如果是，且那么即解得，存在拋物線，使得是；如果是，且，那么即整理得此方程無解.以為直角的直角三角形不存在.綜上所述，存在拋物線和使得是. 12.解：依題意得或 由（1）得代入（2）、（3）得或無解又m，n為整數(shù)，或 當時，；當時，（舍），則 13.解：這間宿舍住著名學生，名管理員，由題意得， 化簡得，則，必為完全平方數(shù) 設，則，其中和具有相同的奇偶性，且， 或 或 由方程組得，不合題意，舍去；由方程組得，此時，原方程為，解得（舍去）；由方程組得，此時，原方程為，解得（舍去）；綜上所述， 答：這間宿舍里住有6名學生 14（）解：依題意得：中， 由勾股定理得：； 又四邊形為平行四邊形， ；繞順時針旋轉得到，由旋轉的性質可知：，又， ， ； 又 ，即的周長為（）依題意得：，（） 拋物線同時經(jīng)過、四點， （解法一）設拋物線的解析式，在拋物線上，即； 又也在拋物線上，解得； （解法二）：設拋物線的解析式為， 把、四點的坐標代入得： 可求得： （解法三）：依題意：點與，點與都關于拋物線的對稱軸對稱， 的中點橫坐標與中點的橫坐標相同， ， 即 依題意：的半徑；當點到線段的距離 最大時，的半徑最大的長度為定值， 此時的面積最大連接，則，10分點在拋物線上，設， ， ， 當時，的最大值為；此時點到線段的距離為； 15、解：（1）（2）Q16.(1）y=2x; y=x2; (2)設解析式為, 則可得 解得（舍去）,所以 S= =而所以.17.解: （1）由題意得0化簡得 0，解得k5 （2）將1代入方程，整理得，解這個方程得 ，. （3）設方程的兩個根為，根據(jù)題意得又由一元二次方程根與系數(shù)的關系得，那么，所以，當k2時m取得最小值5 18.解：（1） 點A在拋物線C1上， 把點A坐標代入得 =1. 圖1 拋物線C1的解析式為, 設