242垂徑定理一.ppt

24 1 2垂直于弦的直徑 1 人教版九年級上冊 問題 你知道趙州橋嗎 它的主橋是圓弧形 它的跨度 弧所對的弦的長 為37 4m 拱高 弧的中點(diǎn)到弦的距離 為7 2m 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎 趙州橋主橋拱的半徑是多少 創(chuàng)設(shè)情境 由此你能得到圓的什么特性 可以發(fā)現(xiàn) 圓是軸對稱圖形 任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸 不借助任何工具 你能找到圓形紙片的圓心嗎 探究 AM BM AB是 O的一條弦 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系 與同伴說說你的想法和理由 作直徑CD 使CD AB 垂足為M 右圖是軸對稱圖形嗎 如果是 其對稱軸是什么 小明發(fā)現(xiàn)圖中有 由 CD是直徑 CD AB 垂徑定理 如圖 小明的理由是 連接OA OB 則OA OB 在Rt OAM和Rt OBM中 OA OB OM OM Rt OAM Rt OBM AM BM 點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對稱 O關(guān)于直徑CD對稱 當(dāng)圓沿著直徑CD對折時 點(diǎn)A與點(diǎn)B重合 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦 并且平分弦所對的兩條弧 CD AB CD是直徑 AE BE O A B C D E 歸納 老師提示 垂徑定理是圓中一個重要的定理 三種語言要相互轉(zhuǎn)化 形成整體 才能運(yùn)用自如 下列圖形是否具備垂徑定理的條件 是 不是 是 不是 深化 垂徑定理的幾個基本圖形 CD過圓心 CD AB于E AE BE 鞏固 1 如圖 AB是 O的直徑 CD為弦 CD AB于E 則下列結(jié)論中不成立的是 A COE DOE B CE DE C OE AE 2 如圖 OE AB于E 若 O的半徑為10cm OE 6cm 則AB cm O A B E 解 連接OA OE AB AB 2AE 16cm 3 如圖 在 O中 弦AB的長為8cm 圓心O到AB的距離為3cm 求 O的半徑 O A B E 解 過點(diǎn)O作OE AB于E 連接OA 即 O的半徑為5cm 4 如圖 CD是 O的直徑 弦AB CD于E CE 1 AB 10 求直徑CD的長 解 連接OA CD是直徑 OE AB AE 1 2AB 5 設(shè)OA x 則OE x 1 由勾股定理得 x2 52 x 1 2 解得 x 13 OA 13 CD 2OA 26 即直徑CD的長為26 1 兩條輔助線 半徑 圓心到弦的垂線段 歸納 2 一個Rt 半徑 圓心到弦的垂線段 半弦 O A B C 3 兩個定理 垂徑定理 勾股定理 解決有關(guān)弦的問題 經(jīng)常是過圓心作弦的垂線 或作垂直于弦的直徑 連結(jié)半徑等輔助線 為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件 例1 如圖 已知在 O中 弦AB的長為8厘米 圓心O到AB的距離為3厘米 求 O的半徑 解 連結(jié)OA 過O作OE AB 垂足為E 則OE 3厘米 AE BE AB 8厘米 AE 4厘米在RtAOE中 根據(jù)勾股定理有OA 5厘米 O的半徑為5厘米 例2 已知 如圖 在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中 大圓的弦AB交小圓于C D兩點(diǎn) 求證 AC BD 證明 過O作OE AB 垂足為E 則AE BE CE DE AE CE BE DE 所以 AC BD E 如圖 小明的理由是 連接OA OB 則OA OB 在 OAM和 OBM中 OA OB OM OM AM BM OAM OBM AMO BMO CD AB O關(guān)于直徑CD對稱 當(dāng)圓沿著直徑CD對折時 點(diǎn)A與點(diǎn)B重合 垂徑定理的逆定理 平分弦 不是直徑 的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的兩條弧 你能利用垂徑定理解決求趙州橋拱半徑的問題嗎 37 4m 7 2m A B O C D 關(guān)于弦的問題 常常需要過圓心作弦的垂線段 這是一條非常重要的輔助線 圓心到弦的距離 半徑 弦構(gòu)成直角三角形 便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題 解 如圖 用AB表示主橋拱 設(shè)AB所在的圓的圓心為O 半徑為r 經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D 與AB交于點(diǎn)C 則D是AB的中點(diǎn) C是AB的中點(diǎn) CD就是拱高 AB 37 4m CD 7 2m AD 1 2AB 18 7m OD OC CD r 7 2 解得r 27 9 m 即主橋拱半徑約為27 9m CD AB AB是 O的一條弦 且AM BM 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系 與同伴說說你的想法和理由 過點(diǎn)M作直徑CD 右圖是軸對稱圖形嗎 如果是 其對稱軸是什么 小明發(fā)現(xiàn)圖中有 由 CD是直徑 AM BM 判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的