線性代數(shù)練習(xí)題2.pdf

模擬題 1 模擬題 1 一 填空題 每小題 3 分 共 30 分 1 設(shè) 則 1 0 0 0 2 0 0 0 3 A 1 A 2 設(shè) 21 12 A E為二階單位陣 且滿足2BABE 則B 3 設(shè) 則 3400 4 300 0020 0022 A 2 A 4 方陣滿足 則A 2 2AAE 0 1 A 5 若矩陣A與B等價(jià) 且 則 3R A R B 6 已知向量組 1 1 2 1 2 2 0 t 3 0 4 5 的秩為2 則t 7 向量空間V的維數(shù)為 則中任意mV1m 個(gè)向量 121 m 必線性 8 設(shè)四元非齊次線性方程組AXb 的系數(shù)矩陣的秩為3 且已知它的兩個(gè)解為 則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 A 12 1 1 2 1 T 0AX X 9 兩向量正交的條件是t 12 1 6 0 1 3t 10 已知三階方陣A的特征值為1 2 3 則 32 57AAA 二 10分 求行列式 1222 2222 2232 2224 A 的值 三 10分 設(shè) 且滿足 101 020 101 A 2 AXEAXX 求矩陣 四 16分 設(shè)線性方程組 123 123 2 123 1xxx xxx xxx 問(wèn) 取何值時(shí) 1 有唯一解 2 無(wú)解 3 有無(wú)窮解 并求其通解 五 15分 設(shè) 1211 0120 2211 3120 A 1 寫(xiě)出A的列向量組 1234 2 判斷 1234 的線性相關(guān)性 3 求 123 4 的秩 和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 六 15分 已知二次型 222 12312323 2334f x x xxxxx x 1 寫(xiě)出f所對(duì)應(yīng)的矩陣A 2 求A的特征值和特征向量 3 求一個(gè)正交變換將f化為標(biāo)準(zhǔn)形 七 4分 設(shè)為正交陣 且A1A 證明1 是的特征值 A 模擬題 2模擬題 2 一 填空題 每小題 3 分 共 30 分 1 設(shè) 則 3400 4 300 0020 0022 A AA 2 設(shè)A為階方陣 且n5A 則 1T AA A 3 設(shè)階方陣與nAB可逆 且 則ABAE 1 A 4 已知向量組 1 1 2 1 2 2 0 t 3 0 4 5 線性相關(guān) 則t 5 設(shè) AB為4階方陣 等價(jià)于AB 且0B 則 R A 6 向量空間 22 0 nn VxxxxxR 的維數(shù)為 7 設(shè) 四 元 非 齊 次 線 性 方 程 組AXb 的 系 數(shù) 矩 陣的 秩 為3 且 它 的 三 個(gè) 解 向 量 滿 足 則 A 132 11 01 12 21 AXb 的通解是X 8 若為正交陣 且A0A 則A 9 若三階方陣的三個(gè)特征值為1 則A2 3 1 A 的特征值為 10 設(shè) 則當(dāng) 滿足條件 222 20 20 At t t時(shí) 3R A 二 12分 求行列式 2310 421 2121 4321 D 1的值 AXAX 三 12分 求矩陣方程 a b 其中 220 213 010 A 四 16分 取什么值時(shí) 線性方程組 12345 12345 2345 12345 1 323 2263 5433 xxxxx xxxxxa xxxx xxxxx b 有解 在有解的情形 求一般解 五 15分 設(shè) 1234 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 TTT T A 1 求向量組的秩 2 判別向量組的線性相關(guān)性 3 求向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 六 15分 設(shè) 1 寫(xiě)出的二次型 101 030 100 A f 2 求的特征值和特征向量 3 求一個(gè) 正交相似變換矩陣 將 A PA化為對(duì)角陣 模擬題 3模擬題 3 一 填空題 每小題4分 共40分 1 1 2 3 4 000 000 000 000 a a a a 2 設(shè)A是矩陣 且mm 3A B是n n 矩陣 且3B 則 0 0 A B 3 1 EAEAA 1 E是A的同階單位方陣 4 已知是3元非齊次線性方程組 TT xx 5 4 3 2 0 1 21 bAx 的兩個(gè)解向量 則對(duì)應(yīng)齊次線性方程 組有一個(gè)非零解0 Ax 時(shí) 線性方程組 123 123 123 0 0 20 xxx xxx xxx 有非零解 或5 當(dāng) 6 設(shè)向量組線性相關(guān) 則 1 2 2 4 T a T aa 7 設(shè)向量組 12 s 線性無(wú)關(guān) 則向量組 12 s 線性相關(guān)的充分必要條件是 8 設(shè)初等矩陣滿足 則P 111213212223 212223111213 313233313233 aaaaaa aaaaaaP aaaaaa P 9 設(shè) 0 是n階可逆陣的一個(gè)特征值 則逆矩陣A 1 A 必有一個(gè)特征值 10 設(shè)4元 二 次 型 1234 T f x x x xX AX 的 秩 為4 正 慣 性 指 數(shù) 為3 則 其 規(guī) 范 形 為 12 12 12 n n n n abaa aaba D aaab 二 10分 計(jì)算n階行列式 1 三 10分 解矩陣方程 X 120 012 121 21 10 02 四 10分 求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 1234 1211 0120 221 3120 五 12分 a為何值時(shí) 方程組 123 123 123 1 0 1 3 1 a xxx xa xx xxa xa 1 有唯一解 2 無(wú)解 3 有無(wú)窮多個(gè)解 并求其通解 六 12分 求一個(gè)正交變換把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 222 12312313 32f x x xxxxx x 七 6分 設(shè)A為方陣 且 證明 2 32AAE 02AE 可逆 并求其逆陣 模擬題 4模擬題 4 一 填空題 每小題4分 共40分 1 對(duì)于矩陣 當(dāng)a 21 1 A a 時(shí) A不可逆 2 設(shè)A是階方陣 且n 1 2AaA 則 3 設(shè)矩陣 則行列式 56 78 A T AA 4 設(shè)是矩陣 Amn B是pm 矩陣 則 T BA 是 矩陣 5 設(shè)A是矩陣 且秩為2 則4 5 A的三階子式的值為 6 設(shè) 1104 1321 0 1105 1106 ij AAA ij a 11213141 AAAA是的代數(shù)余子式 則 7 設(shè) 二 次 型 222 12312312231 3 222f x x xxxxax xbx xx x 經(jīng) 正 正 交 變 換XPY 化 成 2 2 2 2 3 fyy 則二次型的矩陣A的特征值為 8 向量空間 n R中任何個(gè)向量1n 12 n1 必線性 9 設(shè)向量組 22 1 22 T 與 22 22 T a 正交 則a 10 設(shè) 222 12312323 22f x x xxxxkx x 是正定二次型 則的取值范圍為 k 二 10分 計(jì)算4階行列式 4 1111 1111 1111 1111 a a D b b 三 10分 設(shè) 110 011 101 A A2XXA 求X 四 12分 a為何值時(shí) 方程組 123 123 2 123 22 2 2 xxx xxxa xxxa 1 有唯一解 2 無(wú)解 3 有無(wú)窮多個(gè)解 并求其通解 五 10分 設(shè)向量組 求向量組的秩 該向量組是否線性相關(guān) 求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 1234 112 0 1 1 1 123 1 3 六 12分 設(shè)二次型 222 12312323 32 f x x xxxxx x 1 寫(xiě)出二次型f的矩陣A 2 求A的特征值和特征向量 3 求一個(gè)正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形 七 6分 證明 如果向量組 123 線性無(wú)關(guān) 則向量組 1223 31 也線性無(wú)關(guān) 模擬題 5模擬題 5 一 填空題 每題 3 分 共 30 分 1 設(shè)有階方陣4A 且B2 A 1 B 則BA 2 設(shè)A BC為同階方陣 且ACAB 則當(dāng) A時(shí) 必有CB 3 設(shè) 則 222 111 cba cba cba A 100 001 010 P PA 4 11 EAAEAE為與A同階的單位矩陣 5 設(shè)A 為 3 3 階方陣 BA等價(jià)于B且0 B 則 AR 6 設(shè) 向 量 組 T 2 1 1 1 3 3 2 2 1 0 3 線 性 無(wú) 關(guān) 則 應(yīng) 滿 足 條 件 7 設(shè)有齊次線性方程組oxA A是nm 矩陣 rAR 且 1 是方程組的 一個(gè)基礎(chǔ)解系 則 2 k k 又當(dāng) r時(shí)方程組只有零解 8 若A為正交矩陣 則A A與 對(duì) 角 方 陣相 似 則 n 2 1 A為階 方 陣 n 9 設(shè)A的個(gè) 特 征 值 為 n 10 設(shè)3 是方陣A的一個(gè)特征值 則方陣EA 2 2 1 必有一個(gè)特征值為 二 8 分 計(jì)算階行列式n xaa axa aax Dn 三 12 分 設(shè) 113 122 214 A 1 2 3 3 2 1 B 求使XAXB 四 18 分 設(shè)有非齊次線性方程組 問(wèn)當(dāng) 224 222 022 321 321 321 xxx xxx xxx 為何值時(shí)方程組有唯一解 無(wú)解 有無(wú)窮多組解 在有無(wú)窮多組解時(shí)求它的通解 五 12 分 已知向量組 3 1 2 1 1 6 5 1 4 2 7 4 3 1 3 1 求向量組的秩 2 判別向量組的線性相關(guān)性 3 求向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 4 用最大無(wú) 關(guān)組表示不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量 六 20 分 設(shè)有矩陣 101 030 101 A 1 求矩陣A的二次型f 2 求A的特征值和特征向量 3 求一個(gè)正交相似變換矩陣P 將A 化為對(duì)角矩陣 4 試問(wèn)f是否是正定二次型 模擬題 6模擬題 6 一 填空題 每題3分 共30分 1 設(shè)矩陣 則行列式 43 21 A T AA 2 設(shè)有階方陣3A B且2 A 3 B 則BA 3 已知 若 1 31 k A A不可逆 則 k 4 E 是 A 的同階單位方陣 11 AAEAE 5 若向量組 線性無(wú)關(guān) 則向量組 321 aaa 21 aa 32 aa 13 aa 為線性 關(guān)的向量組 6 已知向量組 T1 1 2 1 1 Tt0 0 2 2 T 2 5 4 0 3 的秩為 2 則 t 7 設(shè)有齊次線性方程組oxA A是nm 矩陣 rAR 且 1 2 是方程組的一個(gè) 基礎(chǔ)解系 則 k k 又當(dāng) r時(shí)方程組只有零解 8 設(shè)A為n階正交方陣 則 T AA 9 若三階方陣A的特征值為 1 2 3 則矩陣 2 A的特征值為 A與對(duì)角方陣相似 則 200 010 001 A 10 若三階方陣 二 8分 計(jì)算4階行列式 01 01 01 1110 xx xx xx D 三 12分 113 122 214 A 1 2 3 3 2 1 B 求使XAXB 四 18分 設(shè)有非齊次線性方程組問(wèn)當(dāng) 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 為何值時(shí)方程組有唯一解 無(wú)解 有無(wú)窮 多組解 在有無(wú)窮多組解時(shí)求它的通解 五 12分 已知向量組 3 2 0 1 1 1 3 2 1 2 9 5 6 5 3 1 求向量組的秩 2 判別向量組的線性相關(guān)性 3 求向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 六 20分 設(shè)有矩陣 求 1 矩陣 320 230 002 A f 2 求A的二次型A的特征值和特征向量 3 求一個(gè)正交相似變換矩陣P 將A化為對(duì)角矩陣 4 試問(wèn)f是否是正定二次型 模擬題 7模擬題 7 一 填空題 每題3分 共30分 1 設(shè)矩陣 則行列式 120 221 011 A T AA 2 設(shè)A為四階方陣 且2 A 則行列式 T A 2 3 已知 則當(dāng)滿足 01 100 01 b a A ba 時(shí) A可為逆陣 4 設(shè)n階方陣A與可逆且滿足BEAAB E為與A同階的單位方陣 則 1 A 5 向量 T a 2 2 2 2 1 1 T a 2 2 2 2 0 2 是否正交 6 設(shè) T2 5 0 1 1 T 4 3 2 3 2 T a3 1 1 3 線性相關(guān) 則 a 7 設(shè)A是秩為的矩陣 則齊次線性方程組243 oxA 的任意一個(gè)基礎(chǔ)解系中所含的解向量個(gè)數(shù) 均為 8 若三階方陣與矩陣相似 則B 300 020 321 A B 9 若三階方陣A有一個(gè)特征值為 則矩陣EAA 23 2 必有一個(gè)特征值為 10 若是正定二次型 則參數(shù)k的取值范圍為 32 2 3 2 2 2 1 22xkxxxxf 三 8分 計(jì)算行列式 44321 43321 43221 43211 4321 1 1 1 1 1 baaaa abaaa aabaa aaaba aaaa D 三 12分 設(shè) 求解矩陣方程 321 011 324 A AXAX 四 18分 非齊次線性方程組當(dāng) 2 321 321 321 2 2 22 xxx xxx xxx 為何值時(shí)有解 并求它的解 五 12分 設(shè)有向量組 T0 2 3 1 1 T 3 14 0 7 2 1 求向量組的秩 2 判別向量組的線性相關(guān)性 3 求向量組的一個(gè)最大無(wú) 關(guān)組 T1 0 1 2 3 T 2 6 1 5 4 六 20分 已知二次型 1 求二次型 32 2 3 2 2 2 1 4332xxxxxf f的矩陣A 2 求A的特 征值和特征向量 3 求一個(gè)正交變換 使化二次型f成標(biāo)準(zhǔn)形 4 試問(wèn)f是否是正定二次型 模擬題 8模擬題 8 一 填空題 每題3分 共30分 1 已知三階方陣A 且2 A 則A 2 設(shè)矩陣 12 1a A 則當(dāng) a時(shí) A可為逆矩陣 3 已知矩陣 則 220 112 011 A A的秩 A R 4 11 AAEAEE為