代數結構 (非作業(yè)部分的課后習題答案).doc

第四章 代數結構P86：8、（1）a*b=a*a2=a2*a=b*a；同理可證b*c=c*b和c*d=d*c；a*c=a*b2=a*a4=a*(a*a*a*a) =(a*a)*(a*a)*a=b2*a=c*a同理可證b*d；a*d=a*c2=a*b4=a*a8=(a*a)* (a*a)*(a*a)* (a*a)*a=b4*a=c2*a=d*a綜三所證，對任意x,yA，都有x*y=y*x成立，故*是可交換運算。10、(Z,)，其中Z+為正整數集，為普通乘法運算，幺元為1。運算在Z+上封閉，運算可結合、可交換。除幺元1外，代數系統(tǒng)(Z,)中每個元素都沒有逆元。11、證明：由于k可交換，故只需證明：任選a,b,cNk，都有：=和=成立= = = (因為為整數)= = = = (因為是整數)= = = 又由是可交換運算可知: = = =故對可分配.P87：14、(A,*)到(A,)的同構映射f為：f(e)=e，f(b)=c, f(a)=a, f(c)=b；或者 f(e)=e，f(b)=c, f(a)=b, f(c)=a；15. (N5, 5)的所有自同構映射為f1、f2、f3和f4，其中f1(k)=k, kN5； f2(0)=0，f2(1)=4，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；f3(0)=0，f3(1)=3，f3(2)=1，f3(3)=4，f3(4)=2；f4(0)=0，f4(1)=2，f4(2)=4，f4(3)=1，f4(4)=3；16、(N5, 5)的所有自同構映射為f1和f2，其中f1(k)=k, kN5； f2(0)=0，f2(1)=1，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；17、由f的定義可知：f(a)=(a (mod3)，故f(a6b) = f()= = = f(a)3f(b) = ()3()= = = = f(a6b)19、不妨設q為（A,*）的零元，假設f(q)=q，下面證明q是代數系統(tǒng)(B,)的零元。任選bB，由f是滿同態(tài)可知：存在aA，使得f(a)=b.故，qb=f(q)f(a)=f(q*a)=f(a)=b；而且，bq=f(a)f(q)=f(a*q)=f(a)=b;因此，q為代數系統(tǒng)(B,)的零元。結論得證。20、(N4, 4)的所有自同態(tài)映射為：f1(k)=k, kN4； f2(0)=0，f2(1)=3，f2(2)=2，f2(3)=1；f3(0)=0，f3(1)=2，f3(2)=0，f3(3)=2；f4(0)=0，f4(1)=0，f4(2)=0，f4(3)=0；P96:1、(1)(3)(4)(5)不是半群，都不滿足結合律。(2)是半群。2、(1)和(2)為獨異點。(3)和(4)不是獨異點，因為沒有幺元。4、（0,2,4,4）是不含幺元的有限半群。5、(0,2,4,6,8),(0,4,8)是(N8,8)的兩個子半群。6、(N4,4)的所有子獨異點為：(N4,4), (0,4), (0,2,4)。8、(1,4,6,10), (1,2,4,6,8,10), (1,2,4,5,6,8,9,10), (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)9、062=260=0A; 064=460=0A; 264=462=2A; 262=4A; 464=4A; 060=0A;因此，6在A上封閉并且4為(A,6)中的幺元。顯然，由(N6,6)是獨異點可知：6可結合。故(A,6)是獨異點，但由于(N6,6)的幺元為1，與(A,6)的幺元不同，故(A,6)不是(N6,6)的子獨異點。10、滿足條件的同態(tài)映射f為：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=3,f(3)=0,f(4)=1，f(5)=3。P105：12、證明: 不妨設e是(G,*)的幺元。因為 (a*b)*(b-1*a-1) = a*(b*b-1)*a-1=a*a-1=e；故b-1*a-1是a*b的逆元。由題目條件可知：a-1*b-1也是a*b的逆元。故b-1*a-1=a-1*b-1。進而(a*b)*(a-1*b-1)=e而 (b*a)*(a-1*b-1)=b*(a*a-1)*b-1=e；故(a*b)*(a-1*b-1)=(b*a)*(a-1*b-1),右乘(b*a)可得：a*b=b*a。14、(a*b)4=(a*b)2*(a*b)2=b2*a2*b2*a2；而由條件，(a*b)4=b4*a4；故 b4*a4=b2*a2*b2*a2；上式左乘(b2)-1和右乘(a2)-1,故b2*a2=a2*b2；而由題目條件，可知：(a*b)2=(a*b)*(a*b)=a2*b2；即(a*b)*(a*b)=a2*b2；將上式左乘a-1和右乘b-1，可得：b*a=a*b；故(G,*)是交換群。15、證明：因為(G,*)是群，故(G,*)中只有一個等冪元e，即a*aa,b*bb。而在*的運算表中，每行元素都不同，并且a*e=a,故a*a=b,b*b=a，a*b=a,b*a=b,進而,a3=a*a*a=a*b=e,b3=b*b*b=b*a=e命題得證。16、證明：因為(G,*)是群，故G中每個元素都有逆元。下面證明：若xy,則x-1y-1。假設xy,但是x-1=y-1則有：x-1*x=x-1*y=e,這與群的性質：每行元素都不相同矛盾，故若xy,則x-1y-1。不妨設G-e中共有n對不同的互逆元素：xi和yi,1in。假設對所有1in，都有xiyi,則G中共有2n+1個元素，這與(G,*)是偶階群矛盾，故存在1kn，使得xk=yk。因此xk-1=xk,故xk*xk=e，命題成立。17、證明：*1到4的同構映射： f(e)=0; f(a)=1;f(b)=3;f(c)=2; *2到4的同構映射： g(e)=0; g(a)=2;g(b)=1;g(c)=3;18、解：（先求互逆元素，再將互逆元素對應起來）6到7的同構映射：f(0)= 1;f(3)=6;f(1)=2; f(5)=4; f(2)=3; f(4)=5;P112：4、因為偶數+偶數偶數，故+運算對E集合具有封閉性。因此(E,+)是(Z,+)的子群。5、0是(N7,7)的幺元。0的階數是1；1、2、3、4、5、6的階數都是7；6、(N17-0,17)中1的階數為1；2的階數為8；3的階數為16；4的階數是4；5的階數是16；6的階數是16；7的階數為16；8的階數為8；9的階數為8；10的階數為16；11的階數為16；12的階數為16；13的階數為4；14的階數為16；15的階數為8；16的階數為2；(N17-0,17)的所有2階子群：(16,162,17)=(1,16,17)(N17-0,17)的所有4階子群：(4,42,43,44,17)=(13,132,133,134,17)(1,4,16,13,17)(N17-0,17)的所有8階子群：(9,92,93,94,95,96,97,98,17)=(15,152,153,154,155,156,157,158,17)=(1,2,4,8,9,13,15,16,17)7、證明：不妨設(G,*)是任意一個偶數階群，e為(G,*)的幺元。（1）假設對G-e中任意元素a,a-1a； 不妨設G-e中有k對互逆的元素ai和bi,其中1ik且若ij,則aiaj。由群的消去律可知：若ij,則bibj。由于G中每個元素都有逆元,故ai:1ikbi:1ik=G-e；假設對G-e中任意一個元素1ik,都有aibi；則|ai:1ikbi:1ik|=2k；故G中共有2k+1個元素，這與G有偶數個元素的前提矛盾；故G-e中存在元素a，使得a-1=a；進而，*在e,a上封閉，故(e,a,*)是(G,*)的子群。（2）不妨設2階子群的數目為s，分別為(Ai,*)，1is；則G-e中共存在s個元素x1,x2,.,xs,使得xi=xi-1；由于G-e中每個元素都有逆元，故G-e-xi: 1is由若干對互不相等互逆元素構成；假設這些互不相等的互逆元素共有k對；則G中元素數目為1+s+2k，而G中共有偶數個數因此，s必為奇數。8、證明：設 (G,*)為任意一個有限群。因為G中每個元素都有逆元，則G中所有元素由若干對互逆的元素構成。不妨設G中共有n對不同的互逆元素ai和bi，1in。若ai=bi，則ai*ai=ai*ai-1=e,若aibi，則ai*aie，且bi*bie故ai和bi的階數都大于2。若其中k對互逆的兩個元素不同，不妨設為(a1,b1),.,(ak,bk)，aibi；則ai: 1i kbi: 1i k為G中所有階數大于2的元素的集合。而當1ijk時，有：aiaj；否則aibi=ajbj，根據消去律，bi=bj，則與假設(ai,bi)和(aj,bj)是不同的互逆元素矛盾。因此，|ai: 1i kbi: 1i k|=2k；即G中階數大于2的元素個數為偶數。9、證明：若n4,則G中必存在兩個元素a和b滿足：ab,ae,且be；則由題目條件和結合律可知：(a*b)*a=(a*b)*a*e=(a*b)*a*(b*b)=(a*b)*(a*b)*b=e*b=b；a*(a*b)=(a*a)*b=e*b=b；(a*b)*b=a*(b*b)=a*e=a；b*(a*b)=(e*b)*(a*b)=(a*a)*b)*(a*b)=(a*(a*b)*(a*b)=a*(a*b)*(a*b)=a*e=a；(a*b)*e=a*b；e*(a*b)=a*b:a*a=e;b*b=e;因此可知：*運算對e,a,b,a*b封閉，故(e,a,b,a*b,*)是(G,*)的4階群。10、證明：假設p不是k的整數倍，則存在正整數n，p=nk+s，其中0sk。由ak=e可知：ank=(ak)n=en=e；進而，e=ap=ank+s=ank*as=as；而sk，這與k是a的階數矛盾。故p是k的倍數。11、證明：由a*b=b*a可知：(a*b)2=(b*a)*(a*b)=b*(a*a)*b=b*b=b2；而由a是2階元素和b是3階元素可知：a2=e和b3e；故(a*b)6=(a*b)2)3=b6=b3*b3=e；由b是階元素可知：(a*b)2=b2e；進而，a*be；而(a*b)3=(a*b)2*(a*b)=b2*(b*a)=b3*a=ae；(a*b)4=(a*b)2*(a*b)2=b2*b2=b3*b=be；假設(a*b)5=e，則(a*b)6=(a*b)5*(a*b)=e*(a*b)=a*be,這與前面得到的結論(a*b)6=e矛盾，故(a*b)5e。綜上所證：(a*b)6=e，而當1k5時，(a*b)ke，故a*b是6階元素。13、證明：若aHK,bHK,則aH,bH,故a*bH；aK,bK,故a*bK；因此，a*bHK；故*運算對于HK是封閉的。故(HK,*)是(G,*)的子群。15、不一定。例如：（N17-0,17）為群，2和8的階數都為8，但16的階數為2。16、證明：由題目條件可知：a*a=e，b*b=e；由*運算滿足結合律和交換律可知：e*(a*b)=a*b；a*(a*b)=(a*a)*b=e*b=b；b*(a*b)=b*(b*a)=(b*b)*a=e*a=a； (a*b)*e=a*b；(a*b)*a=a*(a*b)=b；(a*b)*b=b*(a*b)=a；(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e；故*運算對e,a,b,a*b封閉，故(e,a,b,a*b,*)是(G,*)是子群。P118：1、設8階循環(huán)群的生成元為：a，則其包含的元素為a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8,因為8階循環(huán)群與(N8,8)同構，1是(N8,8)的生成元，故a8,的階數與1i,的階數相同。因此，a1的階數1的階數8；a2的階數=2的階數4；a3的階數=3的階數8；a4的階數=4的階數2；a5的階數=5的階數8；a6的階數=6的階數4；a7的階數=7的階數8；a8的階數=0的階數1；2、首先證明(G,)是群。任選a,bG, 顯然，abG，故運算在G上封閉。顯然運算可結合，1為(G,)的幺元。1與1互逆，1與1互逆，-i與i互逆。故(G,)是群。又因為i1=i；i2=1；i3=i；i4=1；故G是循環(huán)群。3、先證明(G,*)是群。任選a,bG, 顯然，a*bG，故運算*在G上封閉。顯然*運算可結合，1為(G,*)的幺元。1與1互逆，1與1互逆，(1+31/2i)/2與(1-31/2i)/2互逆，(-1-31/2i)/2與(-1+31/2i)/2互逆。即G中每個元素都有逆元。故(G,*)是群。令a=(1+31/2i)/2，則a2=(-1+31/2i)/2；a3=-1；a4=-(1+31/2i)/2；a5=(1-31/2i)/2；a6=1；故(1+31/2i)/2是(G,*)的生成元。因此，(G,*)是循環(huán)群。4、5是(N170,17)的生成元，1是(N170,17)的么元，(N16,16)的生成元是1，令A2=0,8；A4=0,4,8,12；A8=0,2,4,6,8,10,12,14容易驗證（A2, 16）（A4, 16）和（A8, 16）分別是(N16,16)的2階群、4階群和8階子群。由于(N170,17)與(N16,16)同構，故令B2=50,58=1,16；B4=50,54, 58, 512=1,13,16,4；B8=50,52,54, 56,58, 510,512, 514=1,8,13,2,16,9,4,15 故（B2, 17）（B4, 17）和（B8, 17）分別是(N170,17)的2階群、4階群和8階子群。5、設(A,*)是任意一個3階群。 不妨設A=e,a,b，其中e為么元。 由于a*e=a，而由群的運算表中每一行中各元素都不同可知有下面兩種情況成立： a*a=b和a*b=e；或者a*a=e和a*b=b；若a*a=e，a*b=b，則a*b*(b-1)=b*b-1；故a=e，這與A是3階群矛盾。故只能a*a=b和a*b=e成立。進而a3=a*a2=a*b=e，因此a是(A,*)的生成元，所以(A,*)是循環(huán)群。由于(A,*)是任意一個3階群，所以所有3階群都是循環(huán)群。8、證明：設(A,*)是任意一個偶階的循環(huán)群，設a為它的生成元，(A,*)的階數為n。假設(A,*)中至少存在兩個2階元素x和y。則存在in，jn，使得x=ai和y=aj。而x2=e，y2=e。故a2i=e和a2j=e，又n是令ak=e成立的最小正整數。故2i是n的倍數，且2j也是n的倍數。而由in和jn可知：2i2n和2j2n。因此，2i=n和2j=n，因此i=j，進而x=y，這與假設矛盾。故(A,*)中至多存在1個2階元素。而由課本P112 習題7的結論可知：(A