同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12習(xí)題課(2).ppt

二階微分方程的 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 習(xí)題課 二 二 微分方程的應(yīng)用 解法及應(yīng)用 一 兩類二階微分方程的解法 第十二章 一 兩類二階微分方程的解法 1 可降階微分方程的解法 降階法 令 令 逐次積分求解 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形 齊次 非齊次 代數(shù)法 歐拉方程 練習(xí)題 P327題2 3 6 7 4 2 8 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 解答提示 P327題2求以 為通解的微分方程 提示 由通解式可知特征方程的根為 故特征方程為 因此微分方程為 P327題3求下列微分方程的通解 提示 6 令 則方程變?yōu)?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 特征根 齊次方程通解 令非齊次方程特解為 代入方程可得 思考 若 7 中非齊次項(xiàng)改為 提示 原方程通解為 特解設(shè)法有何變化 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 P327題4 2 求解 提示 令 則方程變?yōu)?積分得 利用 再解 并利用 定常數(shù) 思考 若問題改為求解 則求解過程中得 問開方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 P327題8設(shè)函數(shù) 在r 0 內(nèi)滿足拉普拉斯方程 二階可導(dǎo) 且 試將方程化為以r為自變 量的常微分方程 并求f r 提示 利用對(duì)稱性 即 歐拉方程 原方程可化為 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 解初值問題 則原方程化為 通解 利用初始條件得特解 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 特征根 例1 求微分方程 提示 故通解為 滿足條件 解滿足 處連續(xù)且可微的解 設(shè)特解 代入方程定A B 得 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 處的銜接條件可知 解滿足 故所求解為 其通解 定解問題的解 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 且滿足方程 提示 則 問題化為解初值問題 最后求得 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考 設(shè) 提示 對(duì)積分換元 則有 解初值問題 答案 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 的解 例3 設(shè)函數(shù) 內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 試將x x y 所滿足的微分方程 變換為y y x 所滿足的微分方程 2 求變換后的微分方程滿足初始條件 數(shù) 且 解 上式兩端對(duì)x求導(dǎo) 得 1 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知 03考研 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 代入原微分方程得 2 方程 的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè) 的特解為 代入 得A 0 從而得 的通解 題目錄上頁下頁返回結(jié)束 由初始條件 得 故所求初值問題的解為 二 微分方程的應(yīng)用 1 建立數(shù)學(xué)模型 列微分方程問題 建立微分方程 共性 利用物理規(guī)律 利用幾何關(guān)系 確定定解條件 個(gè)性 初始條件 邊界條件 可能還要銜接條件 2 解微分方程問題 3 分析解所包含的實(shí)際意義 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例4 解 欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星 為使其擺脫地球 引力 初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度 試計(jì)算此速度 設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m 地球質(zhì)量為M 衛(wèi)星 的質(zhì)心到地心的距離為h 由牛頓第二定律得 G為引力系數(shù) 則有初值問題 又設(shè)衛(wèi)星的初速度 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 代入原方程 得 兩邊積分得 利用初始條件 得 因此 注意到 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 為使 因?yàn)楫?dāng)h R 在地面上 時(shí) 引力 重力 即 代入 即得 這說明第二宇宙速度為 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī) 例5 上的力F所作的功與經(jīng)過的時(shí)間t成正比 比例系數(shù) 提示 兩邊對(duì)s求導(dǎo)得 牛頓第二定律 為k 開方如何定 已知一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng) 作用在質(zhì)點(diǎn) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 一鏈條掛在一釘子上 啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m 另一端離釘子12m 如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦 力 求鏈條滑下來所需的時(shí)間 解 建立坐標(biāo)系如圖 設(shè)在時(shí)刻t 鏈條較長(zhǎng)一段 下垂xm 又設(shè)鏈條線密度為常數(shù) 此時(shí)鏈條受力 由牛頓第二定律 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 由初始條件得 故定解問題的解為 解得 當(dāng)x 20m時(shí) s 微分方程通解 思考 若摩擦力為鏈條1m長(zhǎng)的重量 定解問題的 數(shù)學(xué)模型是什么 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 摩擦力為鏈條1m長(zhǎng)的重量時(shí)的數(shù)學(xué)模型為 不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為 此時(shí)鏈條滑下來所需時(shí)間為 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 練習(xí)題 從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器 按探測(cè) 要求 需確定儀器的下沉深度y與下沉速度v之間的函 數(shù)關(guān)系 設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉 在下沉過程中還受到阻力和浮力作用 設(shè)儀器質(zhì)量為m 體積為B 海水比重為 儀器所受阻力與下沉速度成正 比 比例系數(shù)為k k 0 試建立y與v所滿足的微分 方程 并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) y v 95考研 提示 建立坐標(biāo)系如圖 質(zhì)量m體積B 由牛頓第二定律 重力 浮力 阻力 注意 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 初始條件為 用分離變量法解上述初值問題得 質(zhì)量m體積B 作業(yè)P3175 6 P3273 8 4 2 4 8 11 1 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 備用題 有特 而對(duì)應(yīng)齊次方程有解 微分方程的通解 解 故所給二階非齊次方程為 方程化為 1 設(shè)二階非齊次方程 一階線性非齊次方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 故 再積分得通解 復(fù)習(xí) 一階線性微分方程通解公式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 1 驗(yàn)證函數(shù) 滿足微分方程 2 利用 1 的結(jié)果求冪級(jí)數(shù) 的和 解 1 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 02考