091550_高等代數(shù)(北大版第三版)習(xí)題答案.pdf

高等代數(shù) 北大 第三版 答案高等代數(shù) 北大 第三版 答案 目錄目錄 第一章多項式 第二章行列式 第三章線性方程組 第四章矩陣 第五章二次型 第六章線性空間 第七章線性變換 第八章 第一章多項式 第二章行列式 第三章線性方程組 第四章矩陣 第五章二次型 第六章線性空間 第七章線性變換 第八章 矩陣 第九章歐氏空間 第十章雙線性函數(shù)與辛空間 注 矩陣 第九章歐氏空間 第十章雙線性函數(shù)與辛空間 注 答案分三部分 該為第一部分該為第一部分 其他請搜索 謝 謝 第一章多項式第一章多項式 1 用 xg除 xf 求商 xq與余式 xr 1 123 13 223 xxxgxxxxf 2 2 52 24 xxxgxxxf 解 1 由帶余除法 可得 9 2 9 26 9 7 3 1 xxrxxq 2 同理可得75 1 2 xxrxxxq 2 qpm 適合什么條件時 有 1 qpxxmxx 32 1 2 qpxxmxx 242 1 解 1 由假設(shè) 所得余式為 0 即0 1 2 mqxmp 所以當(dāng) 0 01 2 mq mp 時有qpxxmxx 32 1 2 類似可得 01 0 2 2 2 mpq mpm 于是當(dāng)0 m時 代入 2 可得1 qp 而當(dāng) 02 2 mp時 代入 2 可得1 q 綜上所訴 當(dāng) 1 0 qp m 或 2 1 2 mp q 時 皆有qpxxmxx 242 1 3 求 g x除 f x的商 q x與余式 1 53 258 3f xxxx g xx 2 32 12f xxxx g xxi 解1 432 261339109 327 q xxxxx r x 2 2 2 52 98 q xxixi r xi 4 把 f x表示成 0 xx 的方冪和 即表成 2 010200 n n cc xxc xxcxx 的形式 1 5 0 1f xxx 2 42 0 23 2f xxxx 3 432 0 2 1 37 f xxixi xxi xi 解 1 由綜合除法 可得 2345 1 5 1 10 1 10 1 5 1 1 f xxxxxx 2 由綜合除法 可得 42234 2311 24 2 22 2 8 2 2 xxxxxx 3 由綜合除法 可得 432 2 1 3 7 xixi xxi 234 75 5 1 2 ixii xii xixi 5 求 f x與 g x的最大公因式 1 43232 341 1f xxxxxg xxxx 2 4332 41 31f xxxg xxx 3 42432 101 4 264 21f xxxg xxxxx 解 1 1f x g xx 2 1f x g x 3 2 2 21f x g xxx 6 求 u x v x使 u x f xv x g xf x g x 1 432432 242 22f xxxxxg xxxxx 2 43232 421659 254f xxxxxg xxxx 3 4322 441 1f xxxxxg xxx 解 1 因為 2 2 2 f x g xxr x 再由 11 212 f xq x g xr x g xqx r xr x 解得 22121 212 1 r xg xqx r xg xqxf xq x g x qxf xq x qx g x 于是 2 12 1 1 1 1 1 2 u xqxx v xq x qxxx 2 仿上面方法 可得 1f x g xx 且 2 1122 1 3333 u xxv xxx 3 由 1f x g x 可得 32 1 32u xxv xxxx 設(shè) 32 1 22f xxt xxu 與 32 g xxtxu 的最大公因式是一個二次多項 式 求 t u的值 解因為 322 11 212 2 f xq x g xr xxtxuxxu g xqx r xr x 2 2 2 24 3 xtxxuutxut 且由題設(shè)知最大公因式是二次多項式 所以余式 2 r x為 0 即 24 0 3 0 ut ut 從而可解得 1 1 0 2 u t 或 2 2 2 3 u t 證明 如果 d xf x d xg x 且 d x為 f x與 g x的組合 那么 d x是 f x 與 g x的一個最大公因式 證易見 d x是 f x與 g x的公因式 另設(shè) x 是 f x與 g x的任一公因式 下證 xd x 由于 d x是 f x與 g x的一個組合 這就是說存在多項式 s x與 t x 使 d xs x f xt x g x 從而由 xf xxg x 可得 xd x 得證 證明 f x h x g x h xf x g x h x h x的首系數(shù)為 證因為存在多項式 u x v x使 f x g xu x f xv x g x 所以 f x g x h xu x f x h xv x g x h x 上式說明 f x g x h x是 f x h x與 g x h x的一個組合 另一方面 由 f x g xf x知 f x g x h xf x h x 同理可得 f x g x h xg x h x 從 而 f x g x h x是 f x h x與 g x h x的 一 個 最 大 公 因 式 又 因 為 f x g x h x的首項系數(shù)為 所以 f x h x g x h xf x g x h x 如果 f x g x不全為零 證明 1 f xg x f x g xf x g x 證存在 u x v x使 f x g xu x f xv x g x 又因為 f x g x不全為 所以 0f x g x 由消去律可得 1 f xg x u xv x f x g xf x g x 所以 1 f xg x f x g xf x g x 11 證明 如果 f x g x不全為零 且 u x f xv x g xf x g x 那么 1u x v x 證 由上題證明類似可得結(jié)論 12 證明 如果 1 1f x g xf x h x 那么 1f x g x h x 證由假設(shè) 存在 11 u x v x及 22 ux v x使 11 1u x f xv x g x 1 22 1ux f xv x h x 2 將 1 2 兩式相乘 得 121212 12 1 u x ux f xv x ux g xu x v x h xf x v x v x g x h x 所以 1f x g x h x 13 設(shè) 11 mn f xfx g xgx都是多項式 而且 1 ij f x gx 1 2 1 2 im jn 求證 1212 1 mn f x fxfx g x gxgx 證 由于 11 12 1 1 1 1 n f x g x f x gx f x gx 反復(fù)應(yīng)用第 12 題結(jié)論 可得 112 1 n f x g x gxgx 同理可證 212 12 1 1 n mn fx g x gxgx fx g x gxgx 從而可得 1212 1 mn f x fxfx g x gxgx 14 證明 如果 1f x g x 那么 1f x g xf xg x 證由題設(shè)知 1f x g x 所以存在 u x v x使 1u x f xv x g x 從而 1u x f xv x f xv x f xv x g x 即 1u xv xf xv xf xg x 所以 1f xf xg x 同理 1g xf xg x 再由 12 題結(jié)論 即證 1f x g xf xg x 15 求下列多項式的公共根 32432 221 21f xxxxg xxxxx 解由輾轉(zhuǎn)相除法 可求得 2 1f x g xxx 所以它們的公共根為 13 2 i 16 判別下列多項式有無重因式 1 5432 57248f xxxxxx 2 42 443f xxxx 解1 432 2 5202144 2 fxxxxx f xfxx 所以 f x有2x 的三重因式 2 3 484fxxx 1f xfx 所以 f x無重因式 17 求t值 使 32 31f xxxtx 有重根 解易知 f x有三重根1x 時 3t 若令 322 31 xxtxxaxb 比較兩端系數(shù) 得 2 2 32 2 1 ab taab a b 由 1 3 得 32 2310aa 解得a的三個根為 123 1 1 1 2 aaa 將a的三個根 分別代入 1 得 123 1 1 4bbb 再將它們代入 2 得t的三個根 123 5 3 3 4 ttt 當(dāng) 1 2 3t 時 f x有 3 重根1x 當(dāng) 3 5 4 t 時 f x有 2 重根 1 2 x 18 求多項式 3 xpxq 有重根的條件 解令 3 f xxpxq 則 2 3fxxp 顯然當(dāng)0p 時 只有當(dāng) 3 0 qf xx 才有三重根 下設(shè)0p 且a為 f x的重根 那么a也為 f x與 fx 的根 即 3 2 0 30 apaq ap 由 1 可得 2 a apq 再由 2 有 2 3 p a 所以 3 3 2 p apq q a p 兩邊平方得 2 2 2 9 43 qp a p 所以 32 4270pq 綜上所敘即知 當(dāng) 32 4270pq 時 多項式 3 xpxq 有重根 19 如果 242 1 1xaxbx 求 a b 解 令 f x 42 1axbx fx 3 42axbx 由題設(shè)知 1 是 f x的根 也是 fx 的根 此即 10 420 ab ab 解得1 2ab 20 證明 2 1 2 n xx x n 不能有重根 證 因為 f x的導(dǎo)函數(shù) 21 11 1 2 1 n fxxxx n 所以 1 n f xfxx n 于是 11 1 nn f xfxfxxfxxfx nn 從而 f x無重根 21 如果 是 fx 的一個 k 重根 證明 是 2 xa g xfxfaf xf a 的一個 k 3 重根 證因為 1 22 2 xa g xfxfxfa xa gxfx 由于 是 fx 的k重根 故 是 gx 的1k 重根 代入驗算知 是 g x的根 現(xiàn)在設(shè) 是 g x的s重根 則 是 g x 的1s 重根 也是 gx 的 s 2 重根 所以213sksk 得證 22 證明 0 x是 f x的k重根的充分必要條件是 1 000 0 k f xfxfx 而 0 0 k fx 證 必要性 設(shè) 0 x是 f x的k重根 從而是 fx 的1k 重根 是 fx 的2k 重根 是 2 0 k fx 的一重根 并且 0 x不是 k fx的根 于是 1 000 0 k f xfxfx 而 0 0 k fx 充分 性 由 1 0 0 k fx 而 0 0 k fx 知 0 x是 1 k fx 的一 重根 又 由于 2 0 0 k fx 知 0 x是 2 k fx 的二重根 依此類推 可知 0 x是 f x的k重根 23 舉例說明段語 是 fx 的m重根 那么 是 f x的1m 重根 是不對的 解 例如 設(shè) 1 1 1 1 m f xx m 那么 m fxx 以 0 為m重根 但 0 不是 f x的根 24 證明 如果 1 n xf x 那么 1 nn xf x 證 要證明 1 nn xf x 就是要證明 1 0f 這是因為我們可以把 n x看作為一個變 量 由題設(shè)由 1 n xf x 所以 1 0 n f 也就是 1 0f 得證 25 證明 如果 233 12 1 xxf xxfx 那么 12 1 1 xf xxfx 證 因為 2 1xx 的兩個根為 和 2 其中 22 cossin 33 i 所以 和 2 也是 33 12 f xxfx 的根 且 3 1 于是 12 2 12 1 1 0 1 1 0 ff ff 解之得 12 1 0 1 0ff 得證 26 求多項式1 n x 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)和在實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解 解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) 21 1 1 nn xxxxx 其中 22 cossin 33 i 在實數(shù)域內(nèi) 0 jnj jn 所以 當(dāng)n為奇數(shù)時 有 11 212222 22 1 1 1 1 1 nn nnn xxxxxxxx 其中 21 2cos 1 2 jnjjj jn j nn 皆為實數(shù) 當(dāng)n是偶數(shù)時 有 11 212222 22 1 1 1 1 1 1 nn nnn xxxxxxxxx 27 求下列多項式的有理根 1 32 61514xxx 2 42 4751xxx 3 5432 614113xxxxx 解利用剩余除法試根 可得 1 有一個有理根 2 2 有兩個有理根 11 22 即有 2 重有理根 1 2 3 有五個有理根3 1 1 1 1 即一個單有理根 3 和一個 4 重有理根1 28 下列多項式在有理數(shù)域上是否可約 1 2 1x 2 432 8122xxx 3 63 1xx 4 1 p xpxp 為奇素數(shù) 5 4 41 xkxk 為整數(shù) 解 1 因為1 都不是它的根 所以 2 1x 在有理數(shù)域里不可約 2 利用艾森斯坦判別法 取2p 則此多項式在有理數(shù)域上不可約 3 首先證明 命題設(shè)有多項式 f x 令1xy 或1xy 得 1 g yf y 或 1 g yf y 則 f x與 g y或者同時可約 或者同時不可約 事實上 若 f x可約 即 12 f xf x fx 從而 12 1 1 1 g yf yf yfy 這就是說 g y也可約 反之亦然 現(xiàn)在我們用它來證明 63 1xx 在有理數(shù)域上不可約 令1xy 則多項式變?yōu)?6365432 1 1 1615211893yyyyyyyy 利用艾森斯坦判別法 取3p 即證上式不可約 因而 63 1xx 也不可約 4 設(shè) 1 p f xxpx 令1xy 則 1 g yf y 1122221 ppppp pppp yC yC yCyCp yp 由于p是素數(shù) 因而 1 2 1 i p p Cip 但 2 pp 所以由艾森斯坦判別法 即證 g y 在有理數(shù)域上不可約 因而 f x也在有理數(shù)域上不可約 5 已知 4 41f xxkx 令1xy 可得 432 1 46 44 42g yf yyyykyk 利用艾森斯坦判別法 取2p 即證 g y在有理數(shù)域上不可約 因而 f x也在有理數(shù)域 上不可約 29 用初等對稱多項式表求出下列對稱多項式 1 222222 121213132323 x xx xx xx xx xx x 2 121323 xxxxxx 3 222 121323 xxxxxx 4 222222222222 121314232434 x xx xx xx xx xx x 5 1232313 12 x xxx xxx xx 6 121223231313 xxx xxxx xxxx x 解 1 對稱多項式的首項為 2 12 x x 其方冪為 2 1 0 即 2 11 00 12312 又因為 222222 12121313232312123 3x xx xx xx xx xx xx x x 所以 原式 123 3 2 同理可得 121323 xxxxxx 222222 121213132323123 2x xx xx xx xx xx xx x x 1233 123 32 原式 222222 112211332233 2 2 2 xx xxxx xxxx xx 42 12 x x 由此可知多項式時六次對稱多項式 且首項為 42 12 x x 所以 的方冪之積為 指數(shù)組對應(yīng) 的方冪乘積 420 22 12 411 3 13 330 3 2 321 123 222 2 3 原式 22332 121321233 abcd 1 只要令 123 0 0 xxx 則原式左邊0 另一方面 有 123 2 1 0 代入 1 式 得4b 再令 123 1 2xxx 得27d 令 123 1 1xxx 得 22ac 2 令 123 1 xxx 得 36ac 3 由 2 3 解得4 18ac 因此 原式 22332 121321233 441827 4 原式 222222222222 121314232434 x xx xx xx xx xx x 指數(shù)組對應(yīng) 的方冪乘積 2200 2 2 2110 13 1111 4 設(shè)原式 2 2134 ab 令 1234 1 0 xxxx 得2a 再令 1234 1 xxxx 得2b 因此原式 2 2134 22 1 原式 222333 123123123123 x x xx x xx x xx x x 222222 122313123 x xx xx xx x x 由于 3332 1231232231323 2x x xx x xx x x 2222222 122313213 2x xx xx x 所以原式 222 131322333 22 2 原式 222222223 123123123123 2 x x xx x xx x xx x x 222222222 122313123123123 333 x xx xx xx x xx x xx x x 222222 121213231323123 2x xx xx xx xx xx xx x x 其中 222223 12312312323 2 2x x xx x xx x x 222222 1223123213 3x xx xx x x 222 121223123 x xx xx x 所以 原式 22 121322333 2 30 用初等對稱多項式表出下列 n 元對稱多項式 1 4 1 x 2 2 123 x x x 3 22 12 x x 4 22 1234 x x x x 12 12 n lll n ax xx 表示所有由 12 12 n lll n ax xx經(jīng)過對換得到的項的和 解 1 因為多項式的首項為 4 1 x 所以 指數(shù)組對應(yīng) 的方冪乘積 4000 0 4 1 3100 0 2 12 2200 0 2 2 2110 0 13 1111 0 4 設(shè)原式 422 1122134 abcd 令 1234 1 1 0 n xxxxx 得2b 123 1 0 n xxxx 得4a 1234 1 0 n xxxxx 得4c 12345 1 1 0 n xxxxxx 得4d 所以原式 422 1122134 4244 2 同理可得原式 134 4 3 原式 2 1134 22 4 原式 24156 49 31 設(shè) 123 a a a是方程 32 56730 xxx 的三個根 計算 222222 112222331133 aa aaaa aaaa aa 解因為 1123 2122313 3123 aaa a aa aa a a a a 由根和系數(shù)的關(guān)系 可得 123 673 555 再將對稱多項式化為初等多項式并計算 可得 222222 112222331133 aa aaaa aaaa aa 2233 11132 1679 625 32 證明 三次方程 32 123 0 xa xa xa 的三個根成等差數(shù)列的充分必要條件為 3 1123 29270aa aa 證設(shè)原方程的三個根為 123 則它們成等差數(shù)列的充分必要條件為 123213312 2 2 2 0 將上式左端表為初等對稱多項式 得 3 1232133121123 2 2 2 2927 故三根成等差數(shù)列的充分必要條件為 3 1123 29270aa aa 二 補充題及參考解答二 補充題及參考解答 1 設(shè) 11 f xaf xbg x g xcf xdg x 且0adbc 證明 11 f x g xf x g x 證設(shè) d xf x g x 則由已知 得 11 d xf x d xg x 其次 設(shè) x 是 1 f x與 2 gx的任一公因式 只需證明 xd x 即可 因為 11 f xaf xbg x g xcf xdg x 所以 11 11 db f xf xg x adbcadbc ca g xf xg x adbcadbc 又因為 11 fgfg 從而 xd x 故 d x也是 1 f x與 1 g x的最大 公因式 2 證明 只要 f xg x f x g xf x g x 的次數(shù)都大于零 就可以適當(dāng)選擇適合等式 u x f xv x g xf x g x 的 u x與 v x 使 g xf x u xv x f x g xf x g x 證存在多項式 1 u x 1 v x 使 11 u x f xv x g xf x g x 從而 11 1 f xg x u xv x f x g xf x g x 1 1 若 1 u x的次數(shù)滿足 1 g x u x f x g x 則 1 f x v x f x g x 事實上 采用反證法 若 1 f x v x f x g x 則 1 式左邊的第一項次數(shù)小于 g xf x f x g xf x g x 而第二項的次數(shù)大于或等于 g xf x f x g xf x g x 這樣 1 式左端的次數(shù) 0 g xf x f x g xf x g x 但 1 式右端的次 數(shù)為零 矛盾 所以 11 g xf x u xv x f x g xf x g x 此時 1 u x 1 v x即為所求 2 若 1 g x u x f x g x 則用 g x f x g x 除 1 u x 可得 1 g x u xs xr x f x g x 其中 g x r x f x g x 注意到 0r x 是不可能的 事實上 若 0r x 則 1 g x u xs x f x g x 代入 1 式得 1 1 g xg x s xv x f x g xf x g x 矛盾 再將 1 g x u xs xr x f x g x 代入 1 式 可得 1 1 f xf xg x r xs xv x f x g xf x g xf x g x 令 1 f x u xr x v xs xv x f x g x 再利用本題 1 的證明結(jié)果 即證 3 證明 如果 f x與 g x互素 那么 m f x與 m g x也互素 證由假設(shè) 存在 u x和 v x使 1u x f xv x g x 于是 1 mmmm u xf xv xg x 即證 4 證明 如果 121 s f xfxfx 的最大公因式存在 那么 121 ss f xfxfxfx 的最大公因式也存在 且當(dāng) 121 ss f xfxfxfx 全不為 零時有 121121 ssss f xfxfxfxf xfxfxfx 再利用上式證明 存在 12 s u x uxu x使 112212 sss u x f xux fxu x fxf xfxfx 證 因為 121 s f xfxfx 的最大公因式存在 設(shè)其為 1 d x 則 1121 s d xf xfxfx 于是 1 d x與 s fx的最大公因式也存在 不妨設(shè)為 1 s d xd xfx 則 i d xf x 1 2 is 若設(shè) x 是 121 ss f xfxfxfx 的任一公因式 則 1 xd x 這樣 x 為 1 d x與 s fx的一個公因式 又可得 xd x 即證 121 ss d xf xfxfxfx 下面用歸納法證明本題第二部分 當(dāng)2s 時結(jié)論顯然成立 假設(shè)命題對1s 也成立 即存在 121 s v x v xvx 使 112211 ss v x f xv x fxvx fx 1211 s f xfxfxd x 成立 再證命題對s也成立 事實上 存在 p x和 q x 使 11 ns d xd xfxp x d xq x fx 112211 ss p x v x f xv x fxvx fx s q x fx 令 ii u xp x v x 1 2 1 is s u xq x 即證 5 多項式 m x稱為多項式 f x g x的一個最小公因式 如果 1 f xm x g xm x 2 f x g x的任一公倍式都是 m x的倍式 我們以 f x g x表示首項系數(shù)是 1 的那個最小公倍式 證明 如果 f x g x的首項系 數(shù)都是 1 那么 f x g x f x g x f x g x 證令 f x g xd x 則 1 f xf x d x 1 g xg x d x 于是 11 f x g x f x g xg x f x f x g x 即 f x g x f x f x g x f x g x g x f x g x 設(shè) M x是 f x與 g x的任一公倍式 下面證明 f x g x M x f x g x 由倍式的定義 有 M xf x s xg x t x 即 11 f x d x s xf x s xg x t xg x d x t x 消去 d x得 11 f x s xg x t x 于是 11 g xf x s x 由于 11 1f x g x 因而 1 g xs x或者 1 s xg x q x 所以 1 1 f x M xf x s xf x g x q xq x f x g x f x g x M x f x g x 即證 6 證明 設(shè) p x是次數(shù)大于零的多項式 如果對于任何多項式 f x g x 由 p xf x g x 可以推出 p xf x或者 p xg x 那么 p x是不可約多項式 證采用反證法 設(shè) p x可約 則有 12 p xp xpx 那么由假設(shè)可得 1 p xp x或 2 p xpx 這是不可能的 因為后面兩個多項式的次數(shù)低于 p x的次數(shù) 于是得證 7 證明 次數(shù)0 且首項系數(shù)為 1 的多項式 f x是一個不可約多項式的方冪的充分必要 條件為 對任意的多項式 g x必有 1f x g x 或者對某一正整數(shù) m m f xgx 證必要性 設(shè) s f xpx 其中 p x是不可約多項式 則對任意多項式 g x 有 1 1p x g x 或 2 p xg x 對于 1 有 1f x g x 對于 2 有 ss pxgx 此即 s f xgx 再讓ms 即必要性得證 充分性 設(shè) f x不是某一個多項式的方冪 則 12 12 n n f xpx pxpx 其中1 1 2 i nin 是正整數(shù) 若 1 g xp x 則由題設(shè)知 f x與 g x滿足 1f x g x 或 m f xgx m為某一 正整數(shù) 但這是不可能的 即證 8 證明 次數(shù)0 且首項系數(shù)為 1 的多項式 f x是某一不可約多項式的方冪的充分必要 條件是 對任意的多項式 g x h x 由 f xg x h x 可以推出 f xg x 或者 對某一正整數(shù) m m f xhx 證 必要性 設(shè) f xg x h x 則對多項式 h x 有 1 1f x h x 于是 f xg x 2 m f xhx m為某一正整數(shù) 必要性成立 充分性 對任意多項式 g x 有 1f x g x 或 1f x g xd x 若 1 f xf x d x 那么 1 f xf x g x 但 1 f xf x 再由充分性假設(shè) 可得 m f xgx m為某一正整數(shù) 于是由第 7 題的充分條件 即證 9 證明 nn m xaxb 不能有不為零的重數(shù)大于 2 的根 證 設(shè) nn m f xxaxb 則 1 n mm fxxnxnm a 又因為 fx 的非零根都是多項式 m g xnxnm a 的根 而 g x的m個根都是單 根 因而 fx 沒有不為零且重數(shù)大于 2 的根 10 證明 如果 n f xf x 那么 f x的根只能是零或單位根 證設(shè)a是 f x的任一個根 由 n f xf x知 a也是 n f xf x的根 即 0 n f x 所以 n a也是 f x的根 以此類推下去 則 2 nn a aa都是 f x的根 若 f x是m次多項式 則 f x最多只可能有m個相異的根 于是存在k 使 k nn aa 1 0 k nnn aa 因此 f x的根a或者為 0 或者為單位根 11 如果 fxf x 證明 f x有n重根 其中 nf x 證設(shè) 12 s a aa是 fx 的s個不同的根 且它們的重數(shù)分別為 12 s 由于 fx 是 1n 次多項式 因而 12 1 s n 其次 由 fxf x 所以 12 s a aa分別為 f x的 12 1 1 1 s 重根 但 12 1 1 1 s n 所以1nsn 從而1s 這就是說 fx 只可能有一個根 1 a 且重數(shù)為 1 1n 故 f x有n重根 11 設(shè) 12 n a aa是n個不同的數(shù) 而 12 n F xxaxaxa 證明 1 1 1 n i ii F x xa F a 2 任意多項式 f x用 F x除所得的余式為 1 n i i ii f a F x xa F a 證1 令 1 n i ii F x g x xa F a 則 1g xn 但 12 1 n g ag ag a 所以 1g x 即證得 1 1 n i ii F x xa F a 2 對于任意的多項式 f x 用 F x除得 f xq x F xr x 0 1 r xr xn 或 當(dāng) 0r x 時 結(jié)論顯然成立 當(dāng) 1r xn 時 若令 1 n i i ii f a F x k x xa F a 則 1k xn 于是 iii r af ak a 1 2 in 即證得 1 n i i ii f a F x r xk x xa F a 12 設(shè) 12 n a aa與 F x同上題 且 12 n b bb是任意n個數(shù) 顯然 1 n i i ii bF x L x xa F a 適合條件 ii L ab 1 2 in 這稱為拉格朗日 Lagrange 插值公式 利用上面的公式 1 一個次數(shù)4 的多項式 f x 它適合條件 2 3 3 1 4 0 5 2ffff 2 一個二次多項式 f x 它在0 2 x 處與函數(shù)sin x有相同的值 3 一個次數(shù)盡可能低的多項式 f x 使 0 1 1 2 2 5 3 10ffff 解1 設(shè) 2 3 4 5 F xxxxx 且 2 3 3 1 4 0 5 2ffff 將它們代入 L x 即 f x 可得 3 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 23 24 25 3 32 34 35 xxxxxxxx f x xx 0 2 3 4 5 2 2 3 4 5 4 42 43 45 5 52 53 54 xxxxxxxx xx 32 217203 42 326 xxx 2 已知 sin00 0 f sin1 22 f sin0 f 設(shè) 2 F xx xx 與上題類似 可得 2 4 f xx x 3 同理 設(shè) 1 2 3 F xx xxx 可得 2 1f xx 14 設(shè) f x是一個整系數(shù)多項式 試證 如果 0 f與 1 f都是奇數(shù) 那么 f x不能有整 數(shù)根 證設(shè)a是 f x的一個整數(shù)根 則 1 f xxa f x 由綜合法知商式 1 f x也為整系數(shù) 多項式 于是 1 1 0 0 1 1 1 faf fa f 又因為a與1 a 中必有一個為偶數(shù) 從而 0 f與 1 f中至少有一個為偶數(shù) 與題設(shè)矛盾 故 f x無整數(shù)根 15 設(shè) 12 n x xx是方程 1 1 0 nn n xa xa 的根 證明 2 n xx的對稱多項式可以表成 1 x與 121 n a aa 的多項式 證設(shè) 2 n f xx是關(guān)于 2 n xx的任意一個對稱多項式 由對稱多項式的基本定理 有 211 nn f xxg 1 其中 1 1 2 1 in 是 2 n xx的初等對稱多項式 由于 111 2211 1112 nnn x x x 2 其中 i 為 12 n x xx的初等對稱多項式 但是 11 22 1 11 1 n nn a a a 3 將 3 代入 2 可知 i 是 1121 n x a aa 的一個多項式 不妨記為 1121 iin p x a aa 1 2 1 in 4 再將 4 代入 1 式右端 即證 2 n f xx可表為 1121 n x a aa 的多項式 16 設(shè) 12 n f xxxxxxx 1 1 1 nnn n xx 令 12 kkk kn sxxx 0 1 2 k 1 證明 11 011 kkk kk xfxs xs xsxsf xg x 其中 g x的次數(shù)n 或 0g x 2 由上式證明牛頓 Newton 公式 1 11221 1 1 1 0 kk kkkkk ssssk 對1kn 1122 1 0 n kkknk n ssss 對kn 證1 由假設(shè) 1 n i i f x fx xx 1 1 1 k n k i i x xfxf x xx 111 11 kkk nn ii ii ii xxx f xf x xxxx 1 1 n kkk ii i xx xxf xg x 其中 1 1 k n i i i x g xf x xx 是一個次數(shù)n 的多項式 故 11 011 kkk kk xfxs xs xsxsf xg x 2 由于 1 1 1 nnn n f xxx 11121 11 1 1 kknnn n xfxxnxnx 因此得等式 11 0111 1 kknnn kkn s xs xsxsxxg x 1121 11 1 1 knnn n xnxnx 當(dāng)kn 時 比較上式兩端含 n x的系數(shù) 首先由于 g xn g x 不含有 n x的項 所以等 式左端含 n x的系數(shù)為 1 11221 10 1 1 0 kk kkkkk sssss 而右端含 n x的項只有一項 它的系數(shù)為 1 k k nk 所以 1 11221 10 1 1 1 kkk kkkkkk sssssnk 注意到 0 sn 即證得 1 11221 1 1 1 0 kk kkkkk ssss 當(dāng)kn 時 等式 右端所有項的次數(shù)都大于n 所以含 n x的系數(shù)為 0 而左端含 n x的項的 系數(shù)為 11 1 n kknk n sss 因此 11 1 0 n kknk n sss 得證 17 根據(jù)牛頓公式 用初等對稱多項式表示 23456 s s s s s 解 1 當(dāng)6n 時 由上題可得 2112 20ss 而 11 s 所以 2 212 2s 同理可得 3 31123 33s 422 41121324 4424s 5322 5112131214235 555555s 6432223 61121312142 66962s 2 324151236 366126 2 當(dāng)5n 時 2345 s s s s同 1 所給 且 643222 6112131214123 669612s 32 152243 6263 3 當(dāng)4n 時 234 s s s同 1 所給 6 s同 2 所給 且 5322 511213121423 55555s 4 當(dāng)4n 時 23 s s同 1 所給 56 s s同 3 所給 且 422 4112132 442s 5 當(dāng)2n 時 2 s同 1 所給 456 s s s同 4 所給 且 3 3112 3s 18 證明 如果對于某一個 6 次方程有 13 0ss 那么 752 75 2 sss 證這時6n 并注意 11 0s 且 13 30s 所以 3 0 于是 22 2s 5235 55s 即 55 5s 而 71 62 53 44 35 56 1 sssssss 25 7 故 752 25 75 2 sss 19 求一個n次方程使 121 0 n sss 解設(shè)此方程為 1 1 1 0 nnn n xx 由題設(shè)及牛頓公式 可得 121 0 n 故所求方程為 1 0 nn n x 或0 n xa 20 求一個n次方程使 12 0 n sss 解 設(shè)此方程為 1 1 1 0 nnn n xx 由題設(shè)及牛頓公式可得 11k k k 2 3 kn 即 1 k k k 2 3 kn 所以 2 21 1 2 3 31 1 3 1 1 n n n 故所求方程為 2 12 11 1 1 0 2 n nnnn xxx n 第二章行 列 式第二章行 列 式 1 求以下 9 級排列的逆序數(shù) 從而決定它們的奇偶性 1 134782695 2 217986354 3 987654321 解 1 所求排列的逆序數(shù)為 1011033110134782695 所以此排列為偶排列 2 所求排列的逆序數(shù)為 1810345401217986354 所以此排列為偶排列 3 所求排列的逆序數(shù)為 36 2 199 12345678987654321 所以此排列為偶排列 2 選擇i與k使 1 1274i56k9 成偶排列 2 1i25k4897 成奇排列 解 1 當(dāng)3 8 ki時 所求排列的逆序數(shù)為 1001131400 1274856399561274 ki 故當(dāng)3 8 ki時的排列為偶排列 2 當(dāng)6 3 ki時 所求排列的逆序數(shù)為 511011010 1325648974897251 ki 故當(dāng)6 3 ki時的排列為奇排列 3 寫出把排列 12345 變成排列 25341 的那些對換 解 12345 253412543121435 4 35 22 1 4 決定排列 211 nn的逆序數(shù) 并討論它的奇偶性 解 因為 1 與其它數(shù)構(gòu)成1 n個逆序 2 與其它數(shù)構(gòu)成2 n個逆序 nn與1 構(gòu)成 1 個逆序 所以排列 211 nn的逆序數(shù)為 時排列為奇排列 當(dāng) 時 排列為偶排列 故當(dāng) 34 24 14 4 2 1 1221211 kkn kkn nn nnnn 5 如果排列 nn xxxx 121 的逆序數(shù)為k 排列 121 xxxx nn 的逆序數(shù)是多 少 解 因為比 i x 大的數(shù)有 i xn 個 所以在 121 xxxx nn 與 nn xxxx 121 這兩個排列中 由 i x 與比它的 各數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和為 i xn 因而 由 i x 構(gòu)成的逆序總數(shù) 恰為 2 1 121 nn n 而排列 nn xxxx 121 的逆序數(shù)為k 故排列 121 xxxx nn 的逆序數(shù) 為 k nn 2 1 6 在 6 階行列式中 651456423123 aaaaaa 256651144332 aaaaaa這兩項應(yīng)帶有 什么符號 解 在 6 階行列式中 項 651456423123 aaaaaa前面的符號為 11 1 44 312645234516 同理項 256651144332 aaaaaa前面的符號為 111 46234165341562 所以這兩項都帶有正號 7 寫出 4 階行列式中所有帶有負(fù)號并且因子 23 a 的項 解 所求的各項應(yīng)是 44322311 aaaa 41342312 aaaa 42312314 aaaa 8 按定義計算行列式 1 000 0010 0200 1000 n n 2 000 1000 0200 0010 n n 3 n n 000 0001 0020 0100 解 1 所給行列式的展開式中只含有一個非零項 11 21nnn aaa 它前面的符號應(yīng)為 2 1 21 1 11 nn nn 所以原行列式 12 1 n nn 2 所給行列式的展開式中只含有一個非零項 1 12312nnn aaaa 它前面的符號應(yīng)為 1123 11 nn 所以原行列式 n n 1 1 3 3 所給行列式的展開式中只含有一個非零項 nnnnn aaaa 1 12 21 1 它前面的符號應(yīng)為 2 21 2121 11 nn nnn 所以原行列式 n nn 2 21 1 9 由行列式定義證明 0 000 000 000 21 21 21 54321 54321 ee dd cc bbbbb aaaaa 解 行列式展開的一般項可表示為 54321 54321jjjjj aaaaa 列標(biāo) 543 jjj只可 以在 1 2 3 4 5 中取不同的值 故三個下標(biāo)中至少有一個要取 3 4 5 列中 之一數(shù) 從而任何一個展開式中至少要包含一個 0 元素 故所給行列式展開式中 每一項的乘積必為 0 因此原行列式值為 0 10 由行列式定義計算 x x x xx xf 111 123 111 212 中 4 x與 3 x的系數(shù) 并說明理由 解 含有 4 x的展開項只能是 44332211 aaaa 所以 4 x的系數(shù)為 2 同理 含有 3 x的展開項只能是 44332112 aaaa 所以 3 x的系 數(shù)為 1 11 由0 111 111 111 證明 奇偶排列各半 證 由題設(shè) 所給行列式的展開式中的每一項的絕對值等于 1 而 行列式的值為 0 這說明帶正號與帶負(fù)號的項的項數(shù)相等 根據(jù)行列式的定義 其展開式中的每一項的符號是由該乘積中各因子下標(biāo)排列的逆序數(shù)所決定的 即 當(dāng)該乘積中各因子的第一個下標(biāo)排成自然順序 且第二個下標(biāo)所成排列為偶排列 時 該項前面所帶的符號為正 否則為負(fù)號 所以 由帶正號的項與帶負(fù)號的 項數(shù)相等即說明奇偶排列各半 12 設(shè) 1 1 2 11 1 2 2 22 1 1 2 11 12 1 1 1 1 n nnn n n n aaa aaa aaa xxx xP 其中 121 n aaa 是互不相同的數(shù) 1 由行列式定義 說明 xP是一個1 n次多項式 2 由行列式性質(zhì) 求 xP的根 解 1 因為所給行列式的展開式中只有第一行含有x 所以若行列式的第一 行展開時 含有 1 n x的對應(yīng)項的系數(shù)恰為 1 1 n 乘一個范德蒙行列式 2 1 2 11 2 3 2 33 2 2 2 22 2 1 2 11 1 1 1 1 n nnn n n n aaa aaa aaa aaa 于是 由 121 n aaa 為互不相同的的數(shù)即知含有 1 n x的對應(yīng)項的系數(shù)不為 0 因 而 xP為一個1 n次的多項式 2 若用 121 n aaa 分代替 x時 則由行列式的性質(zhì)知所給行列式的值為0 即 0 i aP 故 xP至少有1 n個根 121 n aaa 又因為 xP是一個 1 n次的多項式 所以 121 n aaa 必是 xP的全部根 13 計算下面的行列式 1 621721342 4435431014 327427246 2 yxyx xyxy yxyx 3 3111 1311 1131 1113 4 3214 2143 1432 4321 5 y y x x 1111 1111 1111 1111 6 2 22 2 222 2 222 2 222 2 321 321 321 321 dddd cccc bbbb aaaa 解 1 原式 62111 44312 32711 10 6217211000 4435432000 3274271000 5 555 10294 6211 3271 10 62110 44311 32710 10 2 原式 xyx yx yxy yx yxyx xyxyx yxyyx 0 0 1 2 22 22 22 33 2 2yx xyx yx yx 3 原式 4886 2000 0200 0020 1111 6 3116 1316 1136 1116 4 原式 1110 2220 3110 4321 10 32110 21410 14310 43210 20160 40 22 20 400 220 311 5 原式 y y x x y yy x xx 101 000 011 000 1111 00 1111 00 6 原式 2212 2212 2212 2212 523212 523212 523212 523212 2 2 2 2 2 2