2007大連理工數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班筆記_數(shù)分部分.pdf

大連理工大學(xué) 考研數(shù)學(xué)專業(yè)共享群 資料 deepfish 編輯 第 1 頁(yè) 共 9 頁(yè) 2007 年大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系考研輔導(dǎo)班題集年大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系考研輔導(dǎo)班題集 數(shù)分部分?jǐn)?shù)分部分 一 極限一 極限 1 2 lim 0 nn n xx 求證 1 lim0 nn n xx n 2 設(shè) 1 nn aa 2 nn aa 有極限 求證 n a有極限 3 數(shù)列 n a收斂 則 n a中一定有最大或最小值 4 設(shè) f xC a b min 1 xa b f x 求證 1 lim 1 b n n an dx f x 5 0 1 2 n xn 且lim0 n n x 求證 存在無限多下標(biāo) n 使得 1 2 1 nk xx kn 1 2 1 2 3 nn n a xx x 0 a 1 2 n 求lim n n x 7 11 1 0 1 1 2 n n cx xxcn cx 求lim n n x 8 lim n n xa lim n n yb 求證 1211 lim nnn n x yx yx y ab n L 9 設(shè)0 n x 1 2 n 且lim0 n n x 求證 存在無限多個(gè)下標(biāo)n使得 k N 有 nn k xx 10 0 k P 1 2 k 若 0 lim0 n n n P PP L 而lim n n SS 求證 0110 0 lim nnn n n S PS PS P S PP L L 11 n x是方程 3 1 20 nn xx n 的唯一實(shí)根 求lim n n nx 12 如果 2 npn p xx n 對(duì)于 np 成立 則 n x是否為基本列 13 00 xy 10 sin nn xyx 0 1 2 n 其中0 為常數(shù) 求證 n x收斂 14 1 2 nnn yxx 1 2 n 若lim n n y 存在 求證 lim n n x 存在 15 設(shè)0 n a 1 2 n 求證 11 lim n n n n aa e a 二 函數(shù)極限二 函數(shù)極限 大連理工大學(xué) 考研數(shù)學(xué)專業(yè)共享群 資料 deepfish 編輯 第 2 頁(yè) 共 9 頁(yè) 16 f g是 上的周期函數(shù) lim 0 x f xg x 求證 f xg x 17 f x定義在 1 上 且在任何有限區(qū)間有界 若lim 1 x f xf xA 則 lim x f x A x 18 f x在 1 上連續(xù) 1x 有l(wèi)im n f xnA 求證 lim x f xA 19 f x在 1 上連續(xù)可微 且 22 1 fx xfx 1x 1 1f 求證 lim x f x 存在 且lim 1 4 x f x 20 11 1 0 1 2 nn n xxxn x 求 1 lim 2 n n x n 21 用 n x表示方程 2 1 n xxx 在 0 1 的實(shí)根 求lim n n x 22 1 1 0 x q 求lim n n nx 23 1 0 x 1 ln 1 nn xx 1 2 n 求lim n n nx 24 0 n a n N 求證 lim 1 n n n a 的充要條件是1l 有l(wèi)im0 n n n a l 25 若 1 inf0 n n x 求證 1 lim1 n n n x x 26 0 lim 0 x f x 0 2 x f xfo x x 求證 0 lim0 x f x x 三 連續(xù)三 連續(xù) 27 f x在 上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 0 1f 0 1f 令 0 0 0 x ef x x g x x x 則 g x有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 28 f x在 a b上連續(xù) 且 0 x a f xf t dt xa b 都成立 求證 0f x 29 對(duì)任意 x y 函數(shù)f滿足 01f xf yk xyk 求 證 f x x 在 a 上一致連續(xù) 34 設(shè) 0 f x dx 絕對(duì)收斂 求證 0 sinuf xuxdx 在 上一致連續(xù) 四 實(shí)數(shù)完備性四 實(shí)數(shù)完備性 35 f x在 a b上連續(xù) 0 f af b 36 f x在 a b上單調(diào)遞增 f aa f bb 求證 f x有不動(dòng)點(diǎn) 37 上的連續(xù)周期函數(shù)必一致連續(xù) 38 在有界區(qū)間 a b內(nèi) f一致連續(xù) f將 a b內(nèi)的 Cauchy 列映射為 Cauchy 列 39 f x在0 x 處可導(dǎo) 0 n a 0 n b n 求證 lim 0 nn n nn f bf a f ba 五 微分中值定理五 微分中值定理 40 求證 2 32AxBxAB 在 0 1 內(nèi)有零點(diǎn) 41 f x g x在 a b上可微 0g x 求證 a b 使得 f aff gg bg 42 f x在 0 1 上連續(xù) 0 1 內(nèi)可微 0 0 0 0 1 ff xx 求證 0 0 1 使得 1 1 ff ff 43 f x在 a 上連續(xù)可微 且lim x f xf a 求證 a 使得 0f 大連理工大學(xué) 考研數(shù)學(xué)專業(yè)共享群 資料 deepfish 編輯 第 4 頁(yè) 共 9 頁(yè) 44 設(shè) f x在 a 上有一階導(dǎo)數(shù) 0f a 且存在一個(gè)正實(shí)數(shù)A 滿足 fxA f xxa 求證 0f x 45 f g可導(dǎo) 且對(duì)一切x有 0 f xg x fxg x 則在f的任意兩個(gè)不同的零點(diǎn)之間至少存在g 的一個(gè)零點(diǎn) 46 f x既非常函數(shù) 也非線性函數(shù) 且在 a b連續(xù)可導(dǎo) 求證 a b 使得 f bf a f ba 47 00 limlim 0 xxxx f xfx g x g xg x f x在 0 x處有二階導(dǎo)數(shù) 則 000 0 2 0 2 lim h f xhf xhf x fx h 48 1 若 lim x fx 和lim x f x 存在 求證 lim 0 x fx 2 若 lim x fx 和lim x f x 存在 求證 lim lim 0 xx fxfx 49 將 lncosf xx 在0 x 展開到 6 x 求 2 limcoscoscos n aana n nn nn n 50 設(shè) 0 0f 0 f存在 令 22 1 1 2 n n xffn nn 求lim n n x 51 f t三次可微 0ft 求 3 3 d y dx 52 設(shè) f x在 a b上連續(xù) a b內(nèi)可導(dǎo) 且 0f af b 證明 R a b 使 得 ff 53 設(shè) f x在 0 1 上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù) 1 0f 令 2 F xx f x 求證 0 1 使得 0F 54 設(shè) f x在 0 c上連續(xù) fx在 0 c上遞減 0ababc 求證 f abf af b 55 f x在xa 的鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 0fa 求 11 lim xa f xf axa fx 56 f x在 連續(xù) 0 x g xf xf t dt 若 g x單調(diào)遞減 則 0f x 大連理工大學(xué) 考研數(shù)學(xué)專業(yè)共享群 資料 deepfish 編輯 第 5 頁(yè) 共 9 頁(yè) 57 f x是周期為T的連續(xù)函數(shù) 求證 00 11 lim xT x f t dtf t dt xT 58 0 2 f x 求證 22 00 2 lim sin n f xnx dxf x dx 59 f xa b R 黎曼可積函數(shù)類 g x以T 0T 為周期 且 g x在 0 T上 可積 求證 0 1 n bTb aa f x g nx dxg x dxf x dx T 60 1 1 f xC 求證 1 22 1 0 lim 0 n h f x dxf hx 61 0 1 f xC 且單調(diào)遞增 求證 11 33 00 11 22 00 xfx dxfx dx xfx dxfx dx 62 f xC a b 且單調(diào)遞增 求證 2 bb aa ab xf x dxf x dx 63 f x在 a b上連續(xù)可導(dǎo) 求證 1 max bb aaa x b f xf x dxfx dx ba 64 1 1 f xC sup Mfx 若存在 0 1 a 使得 0 a a f x dx 求證 1 2 1 1 f x dxMa 65 f x在 a b上連續(xù)可微 0f a 求證 1 2 2 max b aa x b fxbafxdx 2 2 2 2 2 bb aa ba fx dxfxdx 66 f xC a b 0 0f 求證 1 2 00 2 aa a f xfx dxfxdx 2 若 0f a f x在 0 a上恒大于零 則 2 00 4 aa a f x fx dxfxdx 67 設(shè) 0 x tCa 且滿足 0 t x tMkx s ds M k是大于零的常數(shù) 求證 kt x tMe 0 ta 68 f x在 a b上二次連續(xù)可微 0 2 ab f 求證 3 24 b a M f x dxba 其中 sup a x b Mfx 69 f x在 0 上連續(xù) 且恒大于零 證明 0 0 x x tf t dt x f t dt 在 0 上嚴(yán)格 單調(diào)遞增 大連理工大學(xué) 考研數(shù)學(xué)專業(yè)共享群 資料 deepfish 編輯 第 6 頁(yè) 共 9 頁(yè) 70 f x在任意有限區(qū)間內(nèi)可積 且lim x f xl 求證 0 lim x x f t dt l x 71 1 1 f x R 且在0 x 處連續(xù) 1 1 01 10 n n nx xx x ex 求證 1 1 lim 0 2 n n n f xx dxf 72 f在開區(qū)間I上連續(xù) ab 1 1 2 n nk k Sa n 求證 1 若1 1 n n n a S 收斂 2 若1 且 n S 則 1 n n n a S 發(fā)散 76 若 1 n n a 發(fā)散 則 1 n n n a 0 發(fā)散 77 設(shè) n a單調(diào)遞減 0 n a 則 1 1 lim0 1 n n n n n a a a 發(fā)散 78 設(shè) 1 n n a 收斂 1 1 nn n bb 絕對(duì)收斂 求證 1 nn n a b 收斂 79 設(shè) 1 n n a 收斂 求證 12 2 lim0 n n aana n 80 設(shè) n b嚴(yán)格單調(diào)遞減趨于0 1 nn n a b 收斂 求證 12 lim nn n aaa b 有極 限 大連理工大學(xué) 考研數(shù)學(xué)專業(yè)共享群 資料 deepfish 編輯 第 7 頁(yè) 共 9 頁(yè) 七 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)七 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 81 證明 若 1 n n a n 收斂 則 n a n 收斂 82 0 n a 1 1 2 n nk k Sa n 若lim n n S 則 1 1 ln n n nn a SS 發(fā)散 2 1 ln n n nn a SS 發(fā)散 83 n a單調(diào)遞減 0 n a 則 1 n n a 與 2 1 2 n n n a 同斂散 84 設(shè) 1 1 nn n n aa 收斂 且lim n n na 存在 求證 1 n n a 收斂 85 討論 1 n n n x fx x 在下列情況下的一致收斂性 1 01x 2 11x 3 1x 其中01 處收斂 則 1 n n n a x 在 0 R上一致收斂 95 證明 22 1 11 1 11 lim 1 2 n n x nn xx nxn 96 設(shè) n fx n gx在I上一致收斂 且對(duì)每個(gè)n n fx n gx有界 求證 nn fx gx一 致收斂 97 1 1 2 f xC 求證 n x f x在 1 1 2 上一致收斂 1 0f 98 證明 0 1 1 nn n xx 在 0 1 上絕對(duì)收斂且一致收斂 但不是絕對(duì)一致收斂 99 設(shè) 0 fxa b R 定義 1 1 2 x nn a fxft dt n 證明 0 a b n fx 100 設(shè) f x在 a 上非負(fù)單調(diào)遞減 求證 a f x dx 與 2 sin a f xxdx 同斂散 101 設(shè) f x在 a 上一致連續(xù) 且 a f x dx 收斂 求證 lim 0 x f x 102 設(shè) f x在 1 上單調(diào)遞減 且 1 x f x dx 收斂 求證 1 lim 0 x xf x 103 設(shè) f x在 0 上連續(xù) 0 x dx 絕對(duì)收斂 證明 00 lim 0 n n x fx dxfx dx n 104 設(shè) 0 f x dx 絕對(duì)收斂 求證 0 sinuf xuxdx 在 上一致連續(xù) 105 設(shè) 0 上連續(xù)函數(shù)列 n fx逐點(diǎn)收斂于 f x 且 1 在 0 上 n fxg x 0 g x dx 收斂 2 在任意有限區(qū)間 0 A上 n fx一致收斂于 f x 求證 00 lim n n fx dxf x dx 九 含參變量積分九 含參變量積分 大連理工大學(xué) 考研數(shù)學(xué)專業(yè)共享群 資料 deepfish 編輯 第 9 頁(yè) 共 9 頁(yè) 106 證明 22 0 sinxux dx ax 關(guān)于u在 上一致收斂 但在 0 不一致收斂 0 為常數(shù) 107 求 3 0 arctan 2 x udx xx 的連續(xù)區(qū)間 108 證明 2 0 sin a ut etdt 0a 為常數(shù) 關(guān)于t在 0 上一致收斂 109 0 a t f t dt 和 0 b t f t dt 收斂 其中 f t在 0 上連續(xù) 求證 0 t f t dt 關(guān)于 在 a b上一致收斂 110 設(shè) f x在 0 1 上單調(diào) 且 1 0 f x dx 0為瑕點(diǎn) 收斂 求證 1 0 1 1 lim n n k k ff x dx nn 111 fx在 a 上連續(xù)且非正 廣義積分 a f x dx 收斂 求證 a xfx dx 也收斂 112 求證 2 0 0 1 lim 12 xy y xy edx x 113 22 1 sinyxy dy xy 關(guān)于 0 1 x 的一致收斂性如何 114 計(jì)算 2 0 arctan tan tan x dx x 115 設(shè) 0 f