MK_07-08-2A《量子力學》試題及答案.pdf

2007 下學期 量子力學 A 卷 共 4 頁 第 1 頁 安徽大學安徽大學2007 2008學年第2學期 量子力學 考試試卷 A卷 時間 120 分鐘 一 簡答題 每小題 5 分 共 20 分 1 能級簡并 簡并度 2 用球坐標表示 粒子波函數(shù)表為 r 寫出粒子在球殼 drrr 中被測到的 幾率 3 粒子在一維 勢壘 0 V xx 中運動 波函數(shù)為 x 寫出 x 的躍變條件 4 寫出電子自旋 z s的二本征值和對應(yīng)的本征態(tài) 題題 號號 一 二 三 四 總分 得得 分分 閱卷人 閱卷人 得分 院 系 專業(yè) 姓名 學號 院 系 專業(yè) 姓名 學號 答 題 勿 超 裝 訂 線 答 題 勿 超 裝 訂 線 裝裝 訂訂 線線 安大網(wǎng)店 2007 下學期 量子力學 A 卷 共 4 頁 第 2 頁 二 填空題 每小題 5 分 共 20 分 5 量子力學中 體系的任意態(tài) x 可用一組力學量完全集的共同本征態(tài) x n 展開 展 開式為 展開式系數(shù) 6 一個電子運動的旋量波函數(shù)為 2 2 r r sr z 電子自旋向上 2 z s 位置在r 處的幾率密度為 電子自旋向下 2 z s 的幾率為 7 二粒子體系 僅限于角動量涉及的自由度 有兩種表象 分別為 它們的力學量完全集分別是 和 在兩種表象中 各力學量共同的本征態(tài)分別是 和 8 d x d x 2 d x d x 三 證明題 每小題 10 分 共 20 分 9 設(shè)力學量A不顯含時間t 證明在束縛定態(tài)下 0 td Ad 得分 得分 安大網(wǎng)店 2007 下學期 量子力學 A 卷 共 4 頁 第 3 頁 10 粒子自旋處于2 z s的本征態(tài) 0 1 試證明 x s和 y s的不確定關(guān)系 222 4 xy ss 四 計算題 共 40 分 11 氫原子處于狀態(tài) 2 1 0112 1112 2 3 2 1 YR YR sr z 求軌道角動量的z分量 z L的平均值 求自旋角動量的z分量 z s的平均值 求總磁矩s e L e M 2 的z分量 z M的平均值 12 分 得分 安大網(wǎng)店 2007 下學期 量子力學 A 卷 共 4 頁 第 4 頁 12 考慮在無限深勢阱 ax 0 中運動的兩電子體系 略去電子間的相互作用以及 一切與自旋有關(guān)的相互作用 寫出體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)和能量 并指出其簡 并度 12 分 13 對于一維諧振子 取基態(tài)試探波函數(shù)形式為 2 e x 為參數(shù) 用變分法求基態(tài)能量 16 分 安大網(wǎng)店 安大網(wǎng)店 1 2007 2008 學年第二學期 量子力學 A 卷參考解答及評分標準 一 簡答題 1 能級簡并 簡并度 答 量子力學中 把處于不同狀態(tài) 具有相同能量 對應(yīng)同一能級的現(xiàn)象稱為 能級簡并 把對應(yīng)于同一能級的不同狀態(tài)數(shù)稱為簡并度 2 用球坐標表示 粒子波函數(shù)表為 r 寫出粒子在球殼 drrr 中 被測到的幾率 解 drddrrP 2 0 2 0 2 sin 3 粒子在一維 勢壘 0 V xx 中運動 波函數(shù)為 x 寫出 x 的躍變條件 解 2 2 0 0 0 m 4 寫出電子自旋 z s的二本征值和對應(yīng)的本征態(tài) 解 0 1 2 21zz ss 1 0 2 21zz ss 二 填充題 5 量子力學中 體系的任意態(tài) x 可用一組力學量完全集的共同本征態(tài) x n 展開 展開式 為 n nn xcx 展開式系數(shù) dxxxxxc nnn 6 一個電子運動的旋量波函數(shù)為 2 2 r r sr z 電子自旋向上 2 z s 位置在r 處的幾率密度為 2 2 r 電子自旋向下 2 z s 的幾率為 2 3 2 rrd 安大網(wǎng)店 2 7 二粒子體系 僅限于角動量涉及的自由度 有兩種表象 分別為耦合表象 和非耦合表象 它們的力學量完全集分別是 z JJJJ 22 2 2 1 和 zz JJJJ 2 2 21 2 1 在 兩種表象中 各力學量共同的本征態(tài)分別是jmjj 21 和 2211 mjmj 8 計算下列對易式 1 1 d x d x 2 2 2 d xx d x 三 證明題 9 設(shè)力學量A不顯含時間t 證明在束縛定態(tài)下 0 td Ad 證 設(shè)束縛定態(tài)為 即有 EH EH t A HA itd Ad 1 因A不顯含時間t 所以0 t A 因而 HAAH i HA itd Ad 1 1 0 11 AEAE i HAAH i 10 粒子自旋處于2 z s的本征態(tài) 0 1 試證明 x s和 y s的不確定關(guān)系 4 222 yx ss 解 2 222 xxxxx sssss 但 4 22 x s 常數(shù) 0 0 1 01 10 01 2 xx ss 所以 4 22 x s 安大網(wǎng)店 3 同理 4 22 y s 所以 4 222 yx ss 四 計算題 11 氫原子處于狀態(tài) 2 1 0112 1112 2 3 2 1 YR YR sr z 求軌道角動量的z分量 z L的平均值 求自旋角動量的z分量 z s的平均值 求總磁矩s e L e M 2 的z分量 z M的平均值 解 2 2 131 0 224 z L 2 2 13 22224 z s 1 224484 zzzB eeeee MLsM 12 考慮在無限深勢阱 ax 0 中運動的兩電子體系 略去電子間的相互 作用以及一切與自旋有關(guān)的相互作用 求體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)和能 量 并指出其簡并度 解 二電子體系 總波函數(shù)反對稱 一維勢阱中 體系能級為 nnnn a E nn 1 基態(tài) aE 空間部分波函數(shù)是對稱的 x a n a n sin 安大網(wǎng)店 4 自旋部分波函數(shù)是反對稱的 總波函數(shù) 2 第一激發(fā)態(tài) aE 空間部分波函數(shù) 1 2 2 1 2 1 2121 S 1 2 2 1 2 1 2121 A 自旋部分波函數(shù) S A 二電子體系的總波函數(shù) AS SA 基態(tài)不簡并 第一激發(fā)態(tài)是四重簡并的 13 對于一維諧振子 取基態(tài)試探波函數(shù)形式為 2 x e 為參數(shù) 用變分 法求基態(tài)能量 解 設(shè)基態(tài)波函數(shù) 2 x Ce 歸一化 得 1 2 2 1 2 2 2 2 22 CdxeCdxCe xx 安大網(wǎng)店 5 取 4 1 2 C 則有 2 e 2 4 1 x 22 2 22 2 1 2 x dx d xH dxHE dxx dx d xx 22 e 2 1 2 e 2 22 2 22 2 1