2006-2007學年第二學期高等數(shù)學A(下)試卷分析.pdf

2006 2007 學年第二學期 高等數(shù)學 A 下 試卷分析表 第 1 頁 共 7 頁 試 卷 分 析 表 試 卷 分 析 表 課程代碼 課程代碼 MATH120002 10 課程名稱 課程名稱 高等數(shù)學 A 下 教師姓名 教師姓名 謝錫麟 職稱 職稱 副教授 上課地點 上課地點 HGX407 周學時數(shù) 周學時數(shù) 6 學時 修讀學生系 科 專業(yè) 年級 人數(shù) 修讀學生系 科 專業(yè) 年級 人數(shù) 理論及應用力學 1 飛行器設計與工程 21 香港大學 經(jīng)濟學 2 數(shù)學及應用數(shù)學 1 基本為 06 級 實考 人數(shù) 實考 人數(shù) 21 平時成績 期中 期末 其它 平時成績 期中 期末 其它 評定學生成 績內(nèi)容所占 評定學生成 績內(nèi)容所占 比比 作業(yè)作為參考 100 A 等 含 A B 等 含 B B C 等 含 C C D F A 等 含 A B 等 含 B B C 等 含 C C D F 人數(shù) 人數(shù) 4 5 5 4 3 成績分布統(tǒng) 計 百分 比 成績分布統(tǒng) 計 百分 比 19 05 23 81 23 81 19 05 14 29 試卷整體情況所反映出的教與學的問題 含命題難度 命題質(zhì)量 試卷整體情況所反映出的教與學的問題 含命題難度 命題質(zhì)量 本學期主要內(nèi)容是多元微積分 積分學以及線性代數(shù)關于對稱矩陣特征問題等方面 正如卓里奇著 Mathematical Analysis 莫斯科大學高級實驗課程 俄羅斯數(shù)學教材 選譯之一 所言 多元微分學是非常幾何化的 本課程中我們基于向量值映照的定義及 其可微性定義能非常 幾何化 地獲得曲線 曲面以及體上積分的計算公式 從某種程度 而言 多元積分學可認為是多元微分學的應用成果 本卷題 6 則反映了由微分學到積 分學的基本的思想和方法 此過程中以向量值映照的觀點理解線 面等幾何體則具有根本 性的意義 此為本卷 亦即相關教學中的第一個特點第一個特點 第二個特點第二個特點 則是竭盡全力反映 多元微積分同線性代數(shù)結合的重要意義 兩者結合 決不僅是 1 1 的效果 在教學中也是非常注重這一點 本卷中的題 4 5 6 7 則從不同方面體現(xiàn)兩者結合的意義 第三個特點第三個特點 則是反映數(shù)學同自然規(guī)律間的關系 本卷中的題 8 和 9 則是這方 面的直接體現(xiàn) 上述第二 三個特點 基本反映了本人目前對于數(shù)學和力學間關系的認識 一 微 積分和線性代數(shù)是進一步數(shù)學課程 諸如復變函數(shù) 常微分方程 偏微分方程等的基礎 二 數(shù)學上的許多性質(zhì)的的確確很反映自然機理 課上曾對學生說過 我們的世界 指 自然 豐富多彩 但上帝可能就以一樣東西創(chuàng)造了這些 那就是數(shù)學 物理上能完全證明浮力定律嗎 自然不可能把所有的物體都浸在水里試一試 但 浮力定律卻是 Gauss Astrogradskii 公式近乎平凡的一個應用結果 本卷題 8 給了一 個更為復雜的浮力定律的證明 以反映現(xiàn)學數(shù)學的作為 進一步 在本學期的教學中對于 Stokes 公式給予了如下的敘述 此處 基于矩陣基 2006 2007 學年第二學期 高等數(shù)學 A 下 試卷分析表 第 2 頁 共 7 頁 本運算 使得推演更為清晰 特別值得指出 最終結果的獲得 基于反對稱矩陣所謂對偶 向量的結果 這個結果在理論力學中也是獲得速度 加速度合成公式的數(shù)學基礎 本質(zhì)上 反映 剛體旋轉(zhuǎn) 的性質(zhì) 以下給出基本的推導過程 注 關于 Stokes 公式的一個證明 反映 旋轉(zhuǎn) 的共同性質(zhì) x z u v t uv D y o o o uv C xyz C xyz xyz C uv uv t t dC a x y zdla tt dt dt dC P Q RtDCttdt dt xuxv u P Q Rtyuyvu tv tt dt v zuzv u t t C xuxv u P Q RyuP Q Ryvdt v zuzv xuxv P Q Ryu iP Q Ryv jdl zuzv v uv t D xvxu P Q RyvP Q Ryud uv zvzu 2006 2007 學年第二學期 高等數(shù)學 A 下 試卷分析表 第 3 頁 共 7 頁 x vx u P Q RyvP Q Ryu uv zvzu x vx vx ux u P Q RyvP Q RyvP Q RyuP Q Ryu uuvv zvzvzuz u x vx u P Q RyvP Q Ryu uv zvzu PP x vyvzvQx uyuzuQ uv RR 進一步分析 PP xvyvzvQxuyuzuQ uv RR PxPyPzxu xvyvzvQxQyQzyu RxRyRzzu PxPyPz xuyuzuQxQyQz RxRyRz TTTTTTTT xv yv zv b Aaa Abb Aab A abAAaba 此處 T DD 為反對稱矩陣 考慮到 對一般三階反對稱矩陣有以下引理 321 312123 213123 0 0 0 aijk aijkaa aaaa 注 上述關系式為三階反對稱矩陣的共有性質(zhì) 則有 32 31 21 0 0 0 TT bababaabab 2006 2007 學年第二學期 高等數(shù)學 A 下 試卷分析表 第 4 頁 共 7 頁 此處 0 0 0 T PyQxPzRx AAQxPyQzRy RxPzRyQz 故有 uv uv D RHSrota u vrru vdrota x y zn d 按現(xiàn)有的觀點 上述關于反對稱矩陣的那個簡單的引理 至少既是速度 加速度合成原理 的基礎 也是 Stokes 公式的基礎 也許她就是 旋轉(zhuǎn)的共有數(shù)學機制 從教學上而 言 個人上述的證明反映相關數(shù)學結果的獲得具有力學背景 應該具有一定的啟發(fā)意義 本學期教學及考試以上述三個特點作為基本原則 具體試卷設計分析及其考試情況請 見后續(xù)附表 總體而言 學生的 應試 習氣仍然非常濃厚 對追求理解數(shù)學所需的努力 缺乏 課程敘述的深度及廣度上應該超出所使用的教材 但本學期的敘述應該是不錯的 對某些重要的問題都有新的理解 自然也能表達得較好 許多考試涉及的思想及方法都在 正常課時以及復習周的額外知識整理中重復敘述和強調(diào) 但考試反映的結果仍然不夠理 想 對提高該課程教學的進一步設想 對提高該課程教學的進一步設想 按個人自身的學習和研究 微積分和線性代數(shù)可謂理工科學生最為重要的知識基礎 對這些知識的理解和掌握看作是自身修養(yǎng)的提高而不是局限于應試是個人在今后教學中 要非常注重的事情 為了能更好的傳遞相關知識需要自身有相當好的認識 這點始終也是 促進自身學習的重要動力 我是很青睞俄羅斯學派風格的 我國高等教育出版社近期陸續(xù) 出版的俄羅斯數(shù)學教材選譯非常好地展現(xiàn)了 數(shù)學同自然間的緊密聯(lián)系 籍此個人對 通 識 的認識 是在堅實基礎上的融會貫通和觸類旁通 在教學上亦會繼續(xù)保持和提高反 映上述認識的原則和教學實踐上的方法 雖然學生可能覺得 真正的理解而不是依葫蘆畫瓢 上的學習有較大的困難 但對于 我們這樣的青年教師而言 不斷地提高自身修養(yǎng)而更好地傳遞知識對于接近世界一流大學 的教學是非常必要的 無論是俄羅斯數(shù)學教材選譯叢書還是 Princeton 大學新出版的特地 為數(shù)學系本科生學習專業(yè)課程的四卷本叢書等 都充分反映世界一流大學本科教學的廣度 和深度 對此我們實際是有差距的 然而這點似乎又未能引起足夠地重視 目前課程所用的教材為童裕孫等編著的 高等數(shù)學 以下簡稱童書 復旦高等數(shù) 學課程基本以此為教材 本教材同一般工科院校使用的 高等數(shù)學 有較大的差別 帶有 分析氣息 一些敘述上具有相對較高的觀點 這可能同作者從事泛函分析研究有關系 童 書除微積分內(nèi)容外還包括常微分方程以及線性代數(shù) 特指教學大綱規(guī)定的內(nèi)容 需要特 別指出的是 童書中線性代數(shù)的內(nèi)容實際基本覆蓋了一般理工科大學用 線性代數(shù) 的基 2006 2007 學年第二學期 高等數(shù)學 A 下 試卷分析表 第 5 頁 共 7 頁 本內(nèi)容 而且書后題目往往具有一定的難度 總覺得書上的敘述可能不足以處理書后 的習題 實際對于微積分的習題也是一樣 許多題目都可以在陳紀修等編著的 數(shù)學分析 上找到 總體上而言 雖然童書較一般教材而言 可謂與眾不同 但在相同學時內(nèi) 二學 期 每周 6 學時 要完成微積分 常微分方程初步以及線性代數(shù)這三大部分內(nèi)容的完整敘 述實際是非常緊張 甚至不可能 對于復旦這樣學校 僅僅是教導學生 依葫蘆畫瓢 自 然是不合適的 對數(shù)學作為的認識實際決定于個人對于數(shù)學的認識程度 籍此非常努力 地引導我們的學生從理解 欣賞的角度理解微積分和線性代數(shù)對于今后的發(fā)展是及其重要 的 清華大學的工科是非常出名的 詢問工程力學系現(xiàn)任某著名教授亦承認他們的教材是 偏理的 扎實的基礎自然是今后發(fā)展的源動力 目前清華有理科提高班性質(zhì)的班級以卓 里奇的 Mathematical Analysis 作為教材 而工程力學系的同學可以選讀該課程 基礎重要性一個非常重要的證據(jù)可以 專業(yè)程度上的通識 來反映 上述有關 旋轉(zhuǎn) 的共有數(shù)學機制 可作為一個事例 此處再提供一個事例 一般線性代數(shù)教材上往往有如 下問題 對于A對稱且正定 B對稱 則存在G非奇異 使得 T G AG T G BG同為對角陣 童書上亦有此問題 對線性代數(shù)而言上述 同時對角化 問題似乎僅是一道習題 但僅僅 基于上述問題的解答 在曲面論中可以作為 Gauss 曲率和平均曲率的定義并獲得相關結 論 在理論力學中則可以理解保守系統(tǒng)在平衡位置附近作微振動所具有的性質(zhì) 事實上 上述問題的解答 過程及結論 是理解上述微分幾何以及振動方面相關內(nèi)容的實質(zhì)性基礎 由此可見 線性代數(shù)中的一道習題竟有如此巨大的作為 就微積分課程而言 在多元微分 學提高教學部分就能夠直接借鑒這個線性代數(shù)問題介紹曲面兩個曲率的定義 這對于工程 而言也是非常有益處的 這種以微積分或線性代數(shù)等基礎數(shù)學中一個事實就可以獲得 對專業(yè)學習 實際可以不限于力學 中某重要內(nèi)容的認識 可以理解為 專業(yè)程度上的通 識 基于這種程度 數(shù)學就顯得非常有用并且是高度概括的 這自然有助我們真正 地理解和認識數(shù)學 認識自然 上述類似事例的獲得需要青年教師自身業(yè)務水平地不斷提高 以至于至少能夠在本專 業(yè)相關課程中盡量融會貫通 觸類旁通 在自身清晰理解的基礎上 就可能深入淺出 清 晰明朗地向?qū)W生講述相關的內(nèi)容 學生在掌握基礎部分內(nèi)容的基礎上 以上述類似的事例 進行提高部分的教學 應該是非常有意義和有益處的 在今后的教學中 對我們青年教師而言最根本的是自身業(yè)務的提高 就我本人而言 將盡量追求上述 專業(yè)程度上的通識 此外 今后仍需要積極探索幫助學生有效學習的 各種途徑 需要有效地鼓勵和培養(yǎng)學生努力學習數(shù)學基礎的熱情和動力 勤奮學習是必不 可少的 本表在學期結束前交院系教務室 并與考卷一同裝訂 本表在學期結束前交院系教務室 并與考卷一同裝訂 2006 2007 學年第二學期 高等數(shù)學 A 下 試卷分析表 第 6 頁 共 7 頁 注 試卷各題得分明細 學號學號 姓名姓名 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 3 a 3 b 4 a 4 b 5 a 5 b 6 a 6 b 6 c 7 a 7 b 8 9 a 9 b 總分總評總分總評 5 4 3 5 4 5 5 8 2 9 7 5 10 5 8 5 2 7 3 102 A 5 5 5 5 5 4 5 10 4 6 10 4 0 2 8 3 10 7 3 101 A 5 4 5 2 5 5 5 10 5 10 4 2 10 1 8 2 8 7 2 100 A 3 3 4 5 5 5 5 10 4 10 3 7 1 2 10 2 4 7 3 93 A 5 5 4 5 4 5 5 8 2 0 10 0 10 5 0 0 0 7 3 78 B 5 5 5 5 4 2 2 9 2 3 2 9 5 1 6 0 3 7 0 75 B 5 4 5 5 5 3 4 8 2 10 5 2 0 0 6 3 0 7 0 74 B 5 5 3 5 5 5 5 6 0 9 0 9 10 0 3 0 0 0 0 70 B 5 4 2 5 5 4 5 10 5 10 0 0 0 0 7 0 0 7 0 69 B 5 5 5 5 5 4 0 10 0 2 0 3 0 0 10 2 2 7 0 65 C 5 4 1 5 5 5 5 6 0 10 0 2 0 0 5 4 0 6 0 63 C 2 4 5 5 5 0 0 8 2 10 5 0 0 0 5 0 0 7 0 58 C 3 5 4 5 4 5 0 7 0 10 0 0 0 0 9 1 0 0 0 53 C 5 4 4 5 5 5 4 1 1 7 2 0 0 0 0 0 0 5 1 49 C 4 3 2 5 4 5 3 8 0 0 0 2 0 2 3 0 0 3 0 44 D 0 3 0 5 4 3 0 5 0 5 0 0 1 0 7 2 2 5 2 44 D 5 4 3 5 2 5 1 5 0 0 0 1 0 0 3 1 0 6 0 41 D 2 5 2 5 5 3 0 0 0 0 0 3 2 2 2 0 3 5 1 40 D 4 5 4 4 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 3 7 2 36 F 3