2018-2019學年杭州市第二中學高二上學期期中數(shù)學試題（解析版）

2018-2019學年浙江省杭州市第二中學高二上學期期中數(shù)學試題一、單選題1過點（1，3）且垂直于直線x2y+3=0的直線方程為（ ）A2x+y1=0Bx2y5=0Cx2y+7=0D2x+y+5=0【答案】D【解析】設所求直線為，根據(jù)垂直關系，得到直線的斜率，由點斜式寫出直線方程，得到答案.【詳解】設直線為，所求直線為因為兩直線垂直，所以斜率乘積為，故直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得：，故選：D.【點睛】本題考查兩直線垂直時斜率的關系，直線的點斜式方程，屬于簡單題.2設是兩個不同的平面，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件【答案】D【解析】由面面垂直與線面平行的位置關系結合充分必要條件的定義進行判斷【詳解】由推不出，反之由也推不出，應該是既不充分又不必要的條件故選：D.【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，根據(jù)充分必要條件的定義判斷相應命題的真假即可3空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為點，關于原點的對稱點為點，則間的距離為( )ABCD【答案】C【解析】【詳解】分析：求出點關于平面的對稱點，關于原點的對稱點，直接利用空間中兩點間的距離公式，即可求解結果.詳解：在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點，關于原點的對稱點，則間的距離為，故選C.點睛：本題主要考查了空間直角坐標系中點的表示，以及空間中兩點間的距離的計算，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.4若滿足，則的最大值為（）A8B9C2D1【答案】A【解析】作出可行域，作出目標函數(shù)對應的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，向上平移直線，增大，當直線過點時，為最大值故選：A.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，作出可行域是解題關鍵5下列說法的正確的是A經(jīng)過定點的直線的方程都可以表示為B經(jīng)過定點的直線的方程都可以表示為C不經(jīng)過原點的直線的方程都可以表示為D經(jīng)過任意兩個不同的點的直線的方程都可以表示為 【答案】D【解析】考慮斜率不存在和平行于x軸的直線，利用排除法?！驹斀狻拷?jīng)過定點的直線的方程都可以表示為但斜率不存在時，無法表示，故A錯，同理B錯。斜率不存在和平行于x軸的直線也無法表示，故C錯。所以D正確。故選D?！军c睛】本題考查了直線方程的定義和直線方程的基本應用，一定要注意斜率不存在的情況。6已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是A若，且，則B若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則C若，則D若，則【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于(A)若,且,則，只有m,n相交時成立，故錯誤(B)若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則可能是斜交，故錯誤(C)若，則，可能在平面內，錯誤(D)若，則，則另一條也垂直，故成立，因此選D.【考點】空間中點線面的位置關系的運用點評：主要是考查了空間中點線面的位置關系的運用，屬于基礎題7若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則直線的斜率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】求出圓心與半徑，則圓上至少有三個不同點到直線的距離為，轉化為圓心到直線的距離；從而求直線的斜率的取值范圍【詳解】根據(jù)題意，圓的標準方程為，其圓心為，半徑，若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離，設直線的斜率為，則，直線的方程為，則有，解得：，即的取值范圍是.故選：B【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系、直線與圓相交的性質，點到直線的距離公式，以及直線傾斜角與斜率的關系等知識，屬于中檔題8設x，y滿足約束條件，則取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】作出可行域，其中表示與連線斜率，利用此幾何意義可求解【詳解】作出可行域，如圖內部（含邊界），其中表示與連線斜率，故選：B.【點睛】本題考查簡單的非線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，作出可行域是解題基礎理解目標函數(shù)的幾何意義是解題關鍵9已知棱長為2的正四面體，點為上一定點，點為棱上的動點，設與平面所成的角為，則的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】設是的中心，過作交于，則為直線與平面所成的角，設出，就可求得此角的余弦【詳解】如圖，是的中心，連接，過作交于，連接，平面，平面，為直線與平面所成的角，設，則，正四面體棱長為2，則，在中，在中，時，時，時，取得最小值即的最小值是又，的最小值是故選：A.【點睛】本題考查直線與平面所成的角，作出直線與平面所成的角是解題關鍵解題中還要注意點是棱上的點，不是直線上的點，否則易得錯誤結論10設點是圓上任意一點，若為定值，則的值可能為（ ）ABCD【答案】D【解析】若為定值，則，由直線與圓相切結合圖象可得的范圍，從而得出正確選項【詳解】圓標準方程為，圓心為，半徑為，直線與圓相切時，當時，圓在直線上方，當時，圓在直線下方，若為定值，則，因此只有D滿足故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查一元二次不等式表示的平面區(qū)域，利用數(shù)形結合法易得解二、填空題11設點為軸上一點，并且點到直線的距離為6，則點的坐標為_.【答案】或【解析】設點坐標，由點到直線距離公式求解【詳解】設，則，解得或9.所以點坐標為或故答案為：或【點睛】本題考查點到直線的距離公式，掌握點到直線距離公式是解題關鍵12若是圓上任一點，則點到直線距離的最大值為_.【答案】6【解析】求出圓心到直線距離的最大值即可得結論【詳解】直線過定點，圓心到直線的距離最大時，與直線垂直，最大距離就是，所以圓上的點到直線距離的最大值為5+1=6.故答案為：6.【點睛】本題考查圓上的點到直線距離的最大值，由圓的性質知此最大值就是圓心到直線的距離的最大值加上半徑13設是的二面角內一點，,分別為垂足，,則的長為_.【答案】【解析】由題意，由余弦定理可知，所以點睛：本題考查空間幾何體由二面角的定義而知，過作公共邊的垂線，交于點，則就是二面角的平面角，由四邊形內角和，得到，利用余弦定理解得答案14如圖，已知圓錐的高是底面半徑的倍，側面積為，若正方形內接于底面圓，則四棱錐側面積為_【答案】.【解析】分析：設圓錐底面半徑為，則高為，母線長為，由圓錐側面積為，可得，結合，利用三角形面積公式可得結果.詳解：設圓錐底面半徑為，則高為，母線長為，因為圓錐側面積為，設正方形邊長為，則，正四棱錐的斜高為，正四棱錐的側面積為，故答案為.點睛：本題主要考查圓錐的性質、正四棱錐的性質，以及圓錐的側面積、正四棱錐的側面積，屬于中檔題，解答本題的關鍵是求得正四棱錐底面棱長與圓錐底面半徑之間的關系.15已知直線上有兩個點和, 且為一元二次方程的兩個根, 則過點且和直線相切的圓的方程為_.【答案】或【解析】由題意可知，所以中點坐標為，圓心在直線的中垂線上，故過圓心滿足直線，設圓心的坐標為，由圓與直線相切故，由弦長公式可得，圓心到直線的距離為，由勾股定理可知解得：當時，；當時，得解?！驹斀狻可嫌袃蓚€點和,為一元二次方程的兩個根，故，那么，所以中點坐標為，因為圓心在直線的中垂線上，故過圓心的直線為，設圓心的坐標為，由圓與直線相切故，由弦長公式可得，圓心到直線的距離為，因為圓的半徑、半弦長、圓心到直線的距離構成直角三角形，由勾股定理可知解得：當時，；當時，所以圓的方程為或?！军c睛】利用圓與直線的幾何性質解圓有關的問題常見解法，圓心到直線的距離、半徑、弦長之間的關系為。16設命題：實數(shù)滿足：，命題：實數(shù)滿足，若是的必要不充分條件，則正實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】命題中點組成集合，命題中點組成集合，題意說明，由集合的包含關系可得【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖內部（含邊界），不等式表示的平面區(qū)域是以為圓心為半徑的圓及內部，如圖，若是的必要不充分條件，則圓在內部，圓心到直線的距離為，所以，即故答案為：【點睛】本題考查必要不充分條件的應用，考查不等式組表示的平面區(qū)域解題方法是數(shù)形結合思想法17如圖為一幾何體的三視圖，則其外接球的體積為_.【答案】【解析】由三視圖還原幾何體，得出線面位置關系，然后找出外接球球心，求得半徑，由體積公式計算體積【詳解】由三視圖知該幾何體是三棱錐，底面，底面中作交延長線于，則，從而，設是的外心，則，過作平面，則，只要取，則為外接球球心，故答案為：【點睛】本題考查球的體積，解題關鍵是由三視圖還原原幾何體，得出三棱錐中的線面間的位置關系。三棱錐外接球球心在過它的各面外心且與此面垂直的直線上三、解答題18設命題：實數(shù)滿足，命題：實數(shù)滿足.（1）若，若同為真命題，求實數(shù)x的取值范圍.（2）若且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出命題為真時變量的取值范圍，然后求交集即可；（2）同樣求出命題為真時變量的取值集合，由充分不必要條件得出集合的包含關系，從而得參數(shù)取值范圍【詳解】命題：實數(shù)滿足，命題：實數(shù)滿足.（1）若，命題：實數(shù)滿足，解得.命題：實數(shù)滿足，解得.若同為真命題，則，解得.實數(shù)的取值范圍.（2）命題：實數(shù)滿足，化為：，.若，且是的充分比必要條件，則是的充分比必要條件，解得：.實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查由復合命題真假及充分必要條件求參數(shù)范圍解題關鍵把問題轉化為集合間的包含關系19已知圓過點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程.（2）過點的直線交圓于兩點，當時，求直線方程.【答案】（1）；（2）和【解析】（1）可設，由可得參數(shù)，及半徑，得圓方程；（2）利用半弦長，弦心距，半徑構成的直角三角形可得弦心距為1，斜率存在時設直線方程，再由點到直線距離公式求得斜率，斜率不存在的直線檢驗是否滿足題意【詳解】（1）圓心在直線上，可設，利用可得，解得，圓心，半徑，故圓的方程為：；（2），半弦長為，利用半弦長，弦心距，半徑構成的直角三角形可得，弦心距為1，故直線滿足題意，設另一直線方程為，即，由解得，所求方程為，即.故所求直線的方程為和.【點睛】本題考查求圓的標準方程，考查直線與圓相交弦長問題，直線與圓相交問題要注意利用垂徑定理，即弦中點與圓心連線垂直于弦20在四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，點分別為中點.（1）求證：平面.（2）若.求二面角的余弦值.求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2），【解析】（1）取中點，連結，可證都與平面平行，從而得面面平行，又得證線面平行；（2）證明后，以以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量夾角得二面角，由以上證明可得與平面垂直，因此棱錐換底求體積，即【詳解】（1）證明：取中點，連結，四邊形是矩形，點分別為中點.，平面，平面，平面，同理平面，平面平面，平面，平面.（2）解：，四邊形是矩形，平面平面，以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，設二面角的平面角為，則.二面角的余弦值為.解：，平面，到平面的距離，三棱錐的體積：.【點睛】本題考查證明線面平行，用向量法求二面角，考查求棱錐的體積證明線面平行可用線面平行的判定定理，也可用面面平行的性質求三棱錐體積，注意可換底，換一個高易求的面作為底計算21已知圓心在軸上的圓與直線切于點、圓.（1）求圓的標準方程；（2）已知，圓于軸相交于兩點（點在點的右側）、過點任作一條傾斜角不為0的直線與圓相交于兩點、問：是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由、【答案】（1）；（2）存在;實數(shù)【解析】（1）由點在切線上，求出參數(shù)，設圓心，由圓心到切線距離為半徑可求得，也求得半徑，得圓標準方程；（2）直線求出圓與的交點坐標，設，過且不垂直軸的直線的方程為：，代入圓方程，用韋達定理得，計算，由求得，同時說明直線斜率不存在時也滿足條件即得結論【詳解】（1）設圓心，點在直線上，即，由題意得，解得，圓心，半徑，故圓的方程為：；（2）在圓的方程中令可得，得，在