數(shù)列的概念與簡單表示法.doc

第六章數(shù)列6.1數(shù)列的概念與簡單表示法考點(diǎn)梳理1數(shù)列的概念(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的_數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做_)，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)所以，數(shù)列的一般形式可以寫成_，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)，叫做數(shù)列的通項(xiàng)常把一般形式的數(shù)列簡記作an(2)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的_與序號(hào)_之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函數(shù)(離散的)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列_(4)數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)_與它的前一項(xiàng)_ (或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式(5)數(shù)列的表示方法有_、_、_、_.2數(shù)列的分類(1)數(shù)列按項(xiàng)數(shù)是有限還是無限來分，分為_、_.(2)按項(xiàng)的增減規(guī)律分為_、_、_和_遞增數(shù)列an1_an；遞減數(shù)列an1_an；常數(shù)列an1_an.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為_3數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系已知Sn，則an自查自糾：1(1)項(xiàng)首項(xiàng)a1，a2，a3，an，(2)第n項(xiàng)n(3)函數(shù)值(4)anan1(5)通項(xiàng)公式法(解析式法)列表法圖象法遞推公式法2(1)有窮數(shù)列無窮數(shù)列(2)遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)列單調(diào)數(shù)列3S1SnSn1典型例題講練類型一數(shù)列的通項(xiàng)公式例題1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)1，7，13，19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5，55，555，5 555，.解：(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式正負(fù)性可用(1)n調(diào)節(jié)，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n(6n5)(2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13，35，57，79，911，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an.(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察即，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an.(4)將原數(shù)列改寫為9，99，999，易知數(shù)列9，99，999，的通項(xiàng)為10n1，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1)變式1寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)1，；(2)3，5，9，17，33，；(3)，1，.(4)1，2，2，4，3，8，4，16，.解：(1)an(1)n；(2)an2n1； (3)由于1，故分母為3，5，7，9，11，即2n1，分子為2，5，10，17，26，即n21符號(hào)看作各項(xiàng)依次乘1，1，1，1，即(1)n1，故an(1)n1.(4)觀察數(shù)列an可知，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，an類型二由前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式例題2(1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn210n，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an_(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an 解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11109；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11.當(dāng)n1時(shí)，21119a1.an2n11.故填2n11.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S12113；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.綜上有 an故填變式2已知下列數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，分別求它們的通項(xiàng)公式an.(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解：(1)a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.當(dāng)b1時(shí)，a1適合此等式當(dāng)b1時(shí)，a1不適合此等式當(dāng)b1時(shí)，an23n1；當(dāng)b1時(shí)，an類型三由遞推公式求通項(xiàng)公式例題3寫出下面各數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)a12，an1ann1；(2)a11，前n項(xiàng)和Snan；(3)a11，an13an2.解：(1)由題意得，當(dāng)n2時(shí)，anan1n，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，適合上式，因此an1.(2)由題設(shè)知，a11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1anan1.，3.以上n1個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘，得到.又a11，an.(3)解法一：(累乘法)an13an2，得an113(an1)，即3，3，3，3，3.將這些等式兩邊分別相乘得3n.a11，3n，即an123n1(n1)，an23n11(n2)，又a11也適合上式，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an23n11.解法二：(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，an23n11(n2)，又a11也滿足上式，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an23n11.變式3寫出下面各遞推公式表示的數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)a12，an1an；(2)a11，an12nan；(3)a11，an12an1.解：(1)當(dāng)n2時(shí)，anan1，當(dāng)n2時(shí)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.當(dāng)n1時(shí)，適合故an3.(2)2n，21，22，2n1，將這n1個(gè)等式疊乘，得212(n1)2，an2.當(dāng)n1時(shí)，適合故an2.(3)由題意知an112(an1)，數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an12n，an2n1.類型四數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)例題4已知數(shù)列an，且an(n1)(nN*)求數(shù)列an的最大項(xiàng)解：因?yàn)閍n(n1)是積冪形式的式子且an0，所以可用作商法比較an與an1的大小解：令1(n2)，即1，整理得，解得n10.令1，即1，整理得，解得n9.從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減故a9a10最大變式4數(shù)列an的通項(xiàng)an，則數(shù)列an中的最大項(xiàng)是()A3 B19 C. D.解：易得an，運(yùn)用基本不等式得，由于nN*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n9或10時(shí)，an最大故選C.方法規(guī)律總結(jié)1已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)從以下幾方面考慮：(1)如果符號(hào)正負(fù)相間，則符號(hào)可用(1)n或(1)n1來調(diào)節(jié)(2)分式形式的數(shù)列，分子和分母分別找通項(xiàng)，并充分借助分子和分母的關(guān)系來解決(3)對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來解決2an注意anSnSn1的條件是n2，還須驗(yàn)證a1是否符合an(n2)，是則合并，否則寫成分段形式3已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)掌握先由a1和遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等(1)已知a1且anan1f(n)，可以用“累加法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)(2)已知a1且f(n)，可以用“累乘法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)注：以上兩式均要求f(n)易求和或積4數(shù)列的簡單性質(zhì)(1)單調(diào)性：若an1an，則an為遞增數(shù)列；若an1an，則an為遞減數(shù)列(2)周期性：若ankan(nN*，k為非零正整數(shù))，則an為周期數(shù)列，k為an的一個(gè)周期(3)最大值與最小值：若 則an最大；若 則an最小課后練習(xí)11，2，中，2是這個(gè)數(shù)列的()A第16項(xiàng) B第24項(xiàng) C第26項(xiàng) D第28項(xiàng)解：觀察a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，得n26.故選C.2數(shù)列an的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n2時(shí)，an()A2n1 Bn2 C. D.解：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，則Tnn2，當(dāng)n2時(shí)，an.故選D.3數(shù)列an滿足an1an2n3，若a12，則a8a4()A7 B6 C5 D4解：依題意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)，即an2an2，a8a4(a8a6)(a6a4)224.故選D.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an1，則滿足2的正整數(shù)n的集合為()A1,2 B1,2,3,4C1,2,3 D1,2,4解：B5在數(shù)列an中，a12，an1anlg，則an的值為()A2lgn B2(n1)lgnC2nlgn D1nlgn解法一：an1anlg，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lglglg2lg2lgn2.解法二：an1anlg(n1)lgn，an1lg(n1)anlgn，所以數(shù)列anlgn是常數(shù)列，anlgna1lg12，an2lgn.故選A.6若數(shù)列an滿足a12，an1anan1，則a2017的值為()A1 B. C2 D3解：根據(jù)題意，數(shù)列an滿足a12，an1anan1，an11，a2，a31，a42，可知數(shù)列的周期為3，201736721，a2017a12.故選C.7已知數(shù)列an滿足astasat(s，tN*)，且a22，則a8_.解：令st2，則a4a2a24，令s2， t4，則a8a24a2a48.故填8.8下列關(guān)于星星圖案的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an_.解：從題圖中可觀察星星的個(gè)數(shù)構(gòu)成規(guī)律，n1時(shí)，有1個(gè)；n2時(shí)，有3個(gè)；n3時(shí)，有6個(gè)；n4時(shí)，有10個(gè)；，an1234n.故填.9若數(shù)列an滿足0，nN*，p為非零常數(shù)，則稱數(shù)列an為“夢想數(shù)列”已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且b1b2b3b99299，則b8b92的最小值是_解：4依題意可得bn1pbn，則數(shù)列bn為等比數(shù)列又b1b2b3b99299b，則b502.b8b9222b504，當(dāng)且僅當(dāng)b8b92，即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào)10已知數(shù)