多屬性決策問題概述(doc 17頁).doc

第十章 多屬性決策問題(Multi-attribute Decision-making Problem)即: 有限方案多目標決策問題 主要參考文獻: 68， 112， 15210.1概述 MA MC MO一、決策矩陣(屬性矩陣、屬性值表)方案集 X = 方案 的屬性向量 = ,當目標函數(shù)為 時, = ()各方的屬性值可列成表(或稱為決策矩陣):例: 學校擴建學校序號費用(萬元)平均就讀距離km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例： 表10.1 研究生院試評估的部分原始數(shù)據(jù) ji 人均專著(本/人) 生師比科研經(jīng)費(萬元/年) 逾期畢業(yè)率(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.2二、數(shù)據(jù)預處理 數(shù)據(jù)的預處理(又稱規(guī)范化)主要有如下三種作用。首先，屬性值有多種類型。有些指標的屬性值越大越好，如科研成果數(shù)、科研經(jīng)費等是效益型；有些指標的值越小越好，稱作成本型。另有一些指標的屬性值既非效益型又非成本型。例如研究生院的生師比，一個指導教師指導4至6名研究生既可保證教師滿工作量， 也能使導師有充分的科研時間和對研究生的指導時間，生師比值過高，學生的培養(yǎng)質量難以保證；比值過低；教師的工作量不飽滿。這幾類屬性放在同一表中不便于直接從數(shù)值大小來判斷方案的優(yōu)劣，因此需要對屬性表中的數(shù)據(jù)進行預處理，使表中任一屬性下性能越優(yōu)的值在變換后的屬性表中的值越大。其次是非量綱化。多目標評估的困難之一是指標間不可公度，即在屬性值表中的每一列數(shù)具有不同的單位(量綱)。即使對同一屬性，采用不同的計量單位，表中的數(shù)值也就不同。在用各種多目標評估方法進行評價時，需要排除量綱的選用對評估結果的影響，這就是非量綱化，亦即設法消去(而不是簡單刪去)量綱，僅用數(shù)值的大小來反映屬性值的優(yōu)劣。第三是歸一化。原屬性值表中不同指標的屬性值的數(shù)值大小差別很大，如總經(jīng)費即使以萬元為單位，其數(shù)量級往往在千()、萬()間，而生均在學期間發(fā)表的論文、專著的數(shù)量、生均獲獎成果的數(shù)量級在個位()或小數(shù)()之間，為了直觀，更為了便于采用各種多目標評估方法進行比較，需要把屬性值表中的數(shù)值歸一化，即把表中數(shù)均變換到0，1區(qū)間上。此外，還可在數(shù)據(jù)預處理時用非線性變換或其他辦法來解決或部分解決目標間的不完全補償性。常用的數(shù)據(jù)預處理方法有下列幾種。(1)線性變換效益型屬性： = / (10-1) 變換后的屬性值最差不為0，最佳為1成本型屬性 = 1 - / (10-2) 變換后的屬性值最佳不為1，最差為0 或 = / (10-2) 變換后的屬性值最差不為0，最佳為1, 且是非線性變換 表10.2 表10.1經(jīng)線性變換后的屬性值 ji () () () ()10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000(2) 標準0-1變換效益型： = (10.3)成本型: = (10.4)特點：每一屬性，最佳值為1，最差值為0，而且變換后的差值是線性的.表10.3 表10.1經(jīng)標準0-1變換后的屬性值 ji () () ()10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.00001.0000(3) 最優(yōu)值為給定區(qū)間時的變換 設給定的最優(yōu)屬性區(qū)間為 , 1- ( - )/( - ) 若 = 1 若 (10.5) 1 - (-)/ (”-) 若 其中, 為無法容忍下限, ”為無法容忍上限。 表10.4 表10.1之屬性2的數(shù)據(jù)處理 ji 生師比151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000 (4)向量規(guī)范化 (10.6)特點：規(guī)范化后，各方案的同一屬性值的平方和為1；無論成本型或效益型，從屬性值的大小上無法分辨。常用于計算各方案與某種虛擬方案(如理想點或負理想點)的歐氏距離的場合。表中最右一列是屬性2經(jīng)式(10.5)變換后的值再向量規(guī)范化的結果. 表10.5 表10.1經(jīng)向量規(guī)范化后的屬性值 ji () () () ()10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.53780.444450.96950.03980.16550.0000 (5) 原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理 = (1.00 - M) + M (10.7)其中, = 是各方案屬性j的均值, m為方案數(shù), M的取值可在0.5-0.75之間.式(10.7)可以有多種變形, 例如: = (10.7)其中 為屬性j的均方差,當高端均方差大于2.5時變換后的值均為1.00.這種變換的結果與專家打分的結果比較吻合. 表10.6 表10.1之屬性1用不同方法處理結果比較 ji 人均專著(本/人) 線性變換用10.7式(M=0.7)用10.7式10.10.03570.59500.662520.20.07140.61000.675030.60.21430.67000.725040.30.10710.62500.687552.81.00001.00001.0000三、方案篩選1.優(yōu)選法(Dominance)淘汰劣解2.滿意值法(邏輯乘 即與門Conjunctive)規(guī)定 j=1,2,n (切除值)當 j=1且j=2且j=n 均滿足時,方案 被接受主要缺點：目標間不能補償，例研究生錄取時教委規(guī)定的單科分數(shù)線.3.邏輯和法(Disjunctive或門)規(guī)定 j=1,2,n 若 j=1或2或n時方案被接受。往往作為上法的補充.這些方法用于初始方案過的預選,不能用于方案排序 ordering 次序，優(yōu)先序也不能用于方案分等 Ranking 量化優(yōu)先程度.10.2 加權和法一、引言多目標決策的特點: 目標間的矛盾性, 各屬性值不可公度.這二難點不可公度雖可通過屬性矩陣的規(guī)范化得到部分解決, 但前述規(guī)范化過程不能反映目標的重要性權：目標重要性的度量, 即衡量目標重要性的手段.權的三重含義: 決策人對目標的重視程度; 各目標屬性值的差異程度; 各目標屬性值的可靠程度;權應綜合反映三種因素的作用.通過權，將多目標決策問題化為單目標求解.二、字典序法與一般加權和法1. 字典序法 時的加權和法 即某個目標特別重要, 實質上是單目標決策, 最重要目標的屬性值相同時，再比較第二重要的屬性, 如此繼續(xù).2. 一般加權和法加權和法的求解步驟很簡單：屬性表規(guī)范化，得 i=1, , m; j=1, , n.確定各指標的權系數(shù) j=1, , n.根據(jù)指標 的大小排出方案i(i=1, m)的優(yōu)劣 加權和法，包括評分打點，由于其簡單、明了(直觀)，是人們最經(jīng)常使用的多目標評價方法。采用加權和法的關鍵在于確定指標體系并設定各最低層指標的權系數(shù)：有了指標體系就可以設法利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)或專家打分給出屬性值表；有了權系數(shù)，具體的計算和排序就十分簡單了。正因為此，以往的各種實際評估過程中總要把相當大的精力和時間用在確定指標體系和設定權上。 加權和法常常被人們不適當?shù)厥褂茫@是因為許多人并不清楚：使用加權和法意味著承認如下假設：指標體系為樹狀結構，即每個下級指標只與一個上級指標相關聯(lián)；每個屬性的邊際價值是線性的(優(yōu)劣與屬性值大小成比例)，每兩個屬性都是相互價值獨立的；屬性間的完全可補償性：一個方案的某屬性無論多差都可用其他屬性來補償。事實上，這些假設往往都不成立。首先，指標體系通常是網(wǎng)狀的，即至少有一個下級指標同時與二個或二個以上的上級指標相關聯(lián)，也就是說某個屬性可同時反映兩個上級目標達到的程度。其次，屬性的邊際價值的線性常常是局部的，甚至有最優(yōu)值為給定區(qū)間或點的情況存在；屬性間的價值獨立性條件也極難滿足，至少是極難驗證其滿足。至于屬性間的可補償性通常只是部分的、有條件的。因此，使用加權和法要十分小心。不過，對網(wǎng)狀指標體系，可以用層次分析法中的權重設定和網(wǎng)狀指標的權重遞推法設定最低層權重(見下節(jié))。當屬性的邊際價值函數(shù)為非線性時可以用適當?shù)臄?shù)學方法進行數(shù)據(jù)預處理；屬性間的不完全補償性也可通過適當處理，例如用邏輯乘法預先刪除具有不可補償屬性的方案等。只要認識到加權和法本身存在的種種局限性并采取相應的補救措施，則加權和法仍不失為一種簡明而有效的多目標評價方法。三、確定權的常用方法1. 最小平方誤差法 見教材第174頁. 與主觀慨率中的方法類似.2. 本征向量法 / / / / / / Aw = / / / = nw即 (A - nI) w = 0 如A的估計不夠準確, 則A中元素的小的攝動意味本征值的攝動,從而 Aw = w 由此可求得w .四、層次分析法AHP1. 由決策人利用P177之表10.2構造矩陣A;2. 用本征向量法求 w3.矩陣A的一致性檢驗: i, 一致性指標(Consistence Index) C I = ii,同階矩陣的隨機性指標(Random Index)n345678910RI0.580.91.121.241.321.411.451.493.1164.075.456.627.798.9910.1611.34iii,一致性比率(Consistance Rate)CR=CI/RICR0.1(即大于同階矩陣相應的)時不能通過一致性檢驗,應該重新估計矩陣A. CR0.1 通過一致性檢驗, 求得的w有效. 4. 方案排序(1) . 各方案在各目標下屬性值已知時, 可以根據(jù)指標 的大小排出方案i (i=1, m)的優(yōu)劣.(2) . 各方案在各目標下屬性值難以量化時, 可以通過在各目標下優(yōu)劣的兩兩比較(仍利用表10.2)求得每個目標下各方案的權, 再計算各方案的總權重, 根據(jù)總權重的大小排出方案的優(yōu)劣(參見教材之182頁例10.5). 五、最低層目標權重的設定1. 網(wǎng)狀結構 (見教材10.5.2, 第181-182頁) 有了最第層目標的權重 設: 最第層目標的規(guī)范化了的屬性值為, 則可用作評價方案優(yōu)劣的依據(jù), 越大方案i越優(yōu). 2.樹狀結構: 當最低層目標過多,不便直接設定時,可以分組自上而下地逐步設定。10.3 TOPSIS法 步驟一. 用向量規(guī)法求得規(guī)范決策矩陣Z = 步驟二. 構成加權規(guī)范陣X = 步驟三.確定理想和負理想解 效益型屬性 理想解 = 成本型屬性 效益型屬性負理想解 = 成本型屬性 步驟四.計算各方案到理想解與負理想解的距離 到理想解的距離 到負理想解的距離 步驟五.計算各方案與理想解的接近程度 = 第六步.按由大到小排列方案的優(yōu)劣次序10.4基于相對位置的方案排對法 優(yōu)點:需要的信息少,不必事先給出決策矩陣 只需給出各目標下方案間的優(yōu)先序(0-1矩陣或指向圖) 第一步:確定各方案兩兩間的總體優(yōu)先關系1.設定各目標的權 j=1,2,n 且令2.對每一目標j，進行方案的成對比較, 給出優(yōu)先關系矩陣或指向圖 的第j個屬性值優(yōu)于的第j個屬性值 記作 (f)的第j個屬性值優(yōu)于的第j個屬性值 記作 (p) 與的第j個屬性值無差異或不可比 記作 ()3. 把f的各目標的權相加，記作 w(f) 把的各目標的權相加，記作 w() 把p的各目標的權相加，記作 w(p)4. 計算方案的優(yōu)劣指示值 = 值的大小反映與無差異的目標的重要性5. 選定閥值A1，判定方案總體優(yōu)劣 A 則f 1/A p 其它 第二步 計算排隊指標值 比優(yōu)的方案個數(shù)記為 比差的方案個數(shù)記為 的排隊指標值：= -第三步 按的大小排定方案的優(yōu)劣次序缺點：因無決策矩陣，不能反映優(yōu)先程度例：100111.01設 =0.4 =0.6 A=1.2 =0 =1.5A 所以f, 這與加權和法的結果大相徑庭凡是屬性值均能定量來表示的，不宜用此法10.5 ELECTRE 法國人：B.Roy提出的一、級別高于關系(Outranking Relation)1.定義給定決策人的偏好次序和屬性矩陣當人們有理由相信x優(yōu)于x”，稱x的級別高于x”, 記作xSx”Notes: i, 決策人愿望承擔xx”所產(chǎn)生的風險; ii,理由：同基于相對位置的方案排隊法2.定義：(P193定義10.2)給定方案集X , x, x”X ,當且僅當X中存在,; , ; j1, k 1, 使xSx” (或者xS,S, S x”) 且x”Sx(或者x”S,S, Sx) 則稱x”與x級別無差異，記作xx”。二、級別高于關系的性質：1. 弱傳遞性： xS且() (x”) xSx” 或 ( x) () 且Sx” xSx”2. 自反性 XSX XX3. 是對稱的4. 允許不可比性三. 級別高于關系的構造 以決策矩陣為基礎(不作規(guī)范化)第一步：設定各屬性的權w第二步：進行和諧性檢驗(Concordance Test)1. 構造指示集(屬性序號分類)不失一般性, 假設各屬性值愈大愈優(yōu).(,) = j | 1jn, () ()(,) = j | 1jn, ()= ()(,) = j | 1jn, () ()2. 計算和諧性指數(shù) = (+ ) = /3.選定0.51， 若 1, ，則通過和諧性檢驗 愈大，級別高于的關系要求越高第三步 進行非不和諧性檢驗(non-discordance test) 對各屬性間的補償加以限制 規(guī)定 j=1,n 若對任一 j () - () 則不承認S第四步 確定級別高于關系 若 1, 且 對所有j () - () 則S四