《概率統(tǒng)計(jì)》 第四章習(xí)題課.pdf

概率統(tǒng)計(jì) 概率統(tǒng)計(jì) 第四章習(xí)題課第四章習(xí)題課 2 問題1 數(shù)學(xué)期望定義中 為何要求絕對(duì)收斂 我們通過一個(gè)期望不存在的例子 來說明這個(gè)問題 設(shè) X 的分布律為 k kk xXPp2 1 2 1 kkx kk k 2 1 1 其中 1k kk px 1 1 1 k k k則 2ln4 13 12 11 J 3 但由于 1k kk px 1 1 k k 因此 X 的數(shù)學(xué)期望不存在 事實(shí)上由 微積分知識(shí)可知 如果把 J 式左邊 級(jí)數(shù)中的項(xiàng)進(jìn)行重排可能收斂于不同 的數(shù) 例如 2ln5 14 17 15 12 13 11 2ln5 08 16 13 14 12 11 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望只能是一個(gè) 數(shù) 因此期望定義中要求的絕對(duì)收斂是 4 必要的 它可以保證順序的變化不影 響數(shù)學(xué)期望中級(jí)數(shù)的收斂性 問題2 1 0 書中方差性質(zhì)4如何證明 CXPXD 證證當(dāng)時(shí) 0 2 XEXEXD CXE 先證必要性先證必要性 記 若結(jié)論不成立 則 1 CXP 于是 Cxx xXPCxCXPCxXD 22 5 右端第二項(xiàng)和式中至少有一項(xiàng) CaaXP 0 從而對(duì)應(yīng)的 因此0 2 Ca 0 2 aXPCaXD 與已知矛盾 所以 1 CXP 再證充分性再證充分性 0 2222 CCXEXEXD 當(dāng)時(shí) 1 CXP 1 CCXE 222 1 E XCC 則 6 問題3 方差不存在的隨機(jī)變量 其期望是否也不存在 是 因?yàn)橛?22 XEXEXD 同學(xué)甲答 得 2 XDXEXE 右邊不存在則左邊也不能存在 XD XE 同學(xué)乙答 否 因?yàn)槎A中心矩不存在并不能 推出一階原點(diǎn)矩不存在 兩種回答究竟誰對(duì) 兩種回答究竟誰對(duì) 7 同學(xué)乙回答得對(duì) 自由度為n的分布 2 0 2 n n XEXDXE 0 XDXE2 n當(dāng)時(shí) 2 n當(dāng)時(shí) ntX例如例如 8 4 2 X4 5 6 7 p4 18 1 16 5 16 5 81 5 16 93 16 35 16 30 16 20 16 8 XE 解二解二X 的分布律為 5 0 5 0 433 1 k k CkXP 解解 81 5 16 93 7 4 k k pkXE 7 6 5 4 k 9 4 5設(shè) X 表示電梯需停次數(shù) 則 mn m nnn XE 2 3 1 21 X1 2 3 m p 1 1 nn 1 2 1 nmn 1 概 率怎能為負(fù) 若n m 1 11 m n n 10 解 i X設(shè) 1 電梯在第 i 層停 0 電梯在第 i 層不停 ni 1 m n 1 11 X i 1 0 p m n 1 1 i XE m n 1 11ni 1 設(shè) X 表示電梯需停次數(shù) 則 n i i XX 1 n i i XEXE 1 1 11 m n n 11 4 9設(shè) Xi 表示第 i 個(gè)人摸到的紅球 Xi 0 1 2 p 6 0 2 5 1 3 1 2 C CC 3 0 2 5 2 3 C C 1 0 1 2 5 C nXEXEXE n i ii 8 0 8 0 1 22 XEXEXD 2 64 0nn 2 8 0 3 006 011 04 nn 數(shù) 設(shè) X表示 n 個(gè)人共摸到的紅球數(shù) 則有 12 2 XE還有同學(xué)無計(jì)算的過程 22 XEXEXD 2 36 0n 2 XE的正確計(jì)算 2 11 2 2 1 2 nji ji n i i n i i XXXEXEXE 2 11 2 nji ji n i i XEXEXE 222 64 036 0 8 0 2nnCn n 22 XEXEXD n36 0 13 解法二解法二 Xi 0 1 2 p6 0 2 5 1 3 1 2 C CC 3 0 2 5 2 3 C C 1 0 1 2 5 C 11 026 01 8 0 222 ii XEXE 36 064 01 22 iii XEXEXD nXDXDXD i n i n i i 36 0 11 14 4 10設(shè) X表示試開次數(shù) 則其分布律為 n nXE 1 21 2222 2 11 21 n n nXE 12 1 6 1 nn 12 1 2 22 n XEXEXD 1 2 3 X p 1 11 nn n n 1 2 1 1 21 nn n n n n 1 n 15 4 16 設(shè) 乘客在第 Xi 分鐘 到達(dá)車站 12 11 60 1021 100 11 XEx時(shí)當(dāng) 2 7 60 2021 3010 22 XEx時(shí)當(dāng) 12 65 60 2521 5530 33 XEx時(shí)當(dāng) 4 5 60 151110 6055 44 XEx時(shí)當(dāng) 無道理 到達(dá)概率為 60 1i 1 4 16 秒分2510 4 1 4 1 i i i i XEXEXE 2510 12 133 4 1 秒分 i i XE 即使按錯(cuò)誤的推導(dǎo) 也應(yīng)為 以上解法像模像樣 答案也與書后 相同 很容易獲得助教 研究生 的打 i XE本解法的最大錯(cuò)誤在于是 表示到達(dá)車站時(shí)間的數(shù)學(xué)期望 而不是 等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望 17 0 1 21199 3600E X 0 1 21499 3600 0 12899 3600 624 51025 分秒 18 正確解正確解 設(shè) T 為 乘客 到達(dá)車站的時(shí)間 60 0 UT則 乘客需等候的時(shí)間為 605570 553055 301030 10010 TT TT TT TT Tg 其他0 600 60 1 t tfT 19 dttftgTgE 10 0 10 60 1 dtt 30 10 30 dtt 55 30 55 dtt 60 55 70 dtt 秒分2510 60 625 下面解法二由下面解法二由 3503 班班梁俊睿梁俊睿提供提供 20 解法二解法二 設(shè)乘客需等候的時(shí)間為 T 則 2520 20152 1503 tA tA tA tfT A為待 定系數(shù) 60 1 160 AAdttf由 dtttfTE 15 0 20 dt t 20 15 30 dt t 25 20 60 dt t 秒分2510 60 625 21 4 21 證 1 由題設(shè) baUX 其他0 1 bxa ab xf X XEdx ab x dx ab a a b a b a XEdx ab x dx ab b b b a b a bXEa 1 1 dx ab dxxf b a 22 正確證明正確證明 XEdxxxfdxxafa b a b a XEdxxxfdxxbfb b a b a bXEa 證證 2 22 2 2 2cXEEXXEXD 2 2 22 ab bXEaXE 2 4 1 abXD 23 證證 2 22 EXXEXD b a dxxfxXE 22 則 222 bXEa 222 bEXa 22 EXXEXD 4 2 22 ab ab 4 1 31 2 ab取 24 正確證明正確證明 中 在方差公式 2 cXEXD 2 ba c 取 22 cbEcXEXD 4 2 2 ab cb 由于X 在區(qū)間 a b 上取值 故 22 cbcX cbcX 22 cbEcXE 25 發(fā)生 發(fā)生 A A X 0 1 發(fā)生 發(fā)生 B B Y 0 1 設(shè)A B 為隨機(jī)試驗(yàn) E 的兩個(gè)事件 0 P A 1 0 P B 1 令 4 23 證明 若 XY 0 則隨機(jī)變量 X Y 相互獨(dú)立 證證 由由 XY 0 0 YXCOV YEXEXYE APXE BPYE 而 不同時(shí)發(fā)生 同時(shí)發(fā)生 BA BA XY 0 1 ABPXYE BPAPABP 事件A B相互獨(dú)立 X Y 相互獨(dú)立 26 1 1 1 1 YPXPYXP 錯(cuò)誤原因錯(cuò)誤原因 BPAPABP 而這并不表明 X Y 相互獨(dú)立 本題要證明離散隨機(jī)變量 X Y 相互 獨(dú)立 必需證明如下四個(gè)等式都成立 1 0 jijYPiXPjYiXP 重新證明重新證明 由題設(shè)得 X Y 的聯(lián)合分布 27 X Y pij 1 0 1 0 p1 p2 p3 p4 pi p1 p3 p2 p4 p j p1 p2 p3 p4 1 4 1 i i p 31 APppXE 21 BPppYE 1 ABPpXYE 由 0 XY YEXEXYE 即 BPAPABP 即 1 1 1 1 YPXPYXP 28 由于事件 A B 相互獨(dú)立 必有 BABABA 也相互獨(dú)立 即 0 1 BAPYXP 0 1 YPXP BPAP 同理可證 1 0 1 0 YPXPYXP 0 0 0 0 YPXPYXP 故 X Y 相互獨(dú)立 29 4 31 22 YXYX 獨(dú)立 22 XYEXYEXYD 2222 YEXEYEXE 22 YEXE 2 YDXEYDXD 2 XDYE 22 YEYDXEXD 獨(dú)立 YDXD 30 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 xexf x 2 1 1 E X D X 2 求cov X X 問X 與 X 相關(guān)與否 3 問X 與 X 是否獨(dú)立 為什么 解解 1 1 2 1 dxexXE x 2 2 1 2 2 1 2 1 0 2 2 22 dxex dxexdxexXE x xx 1 XD 補(bǔ)充題補(bǔ)充題 31 2 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 d