2.2.1綜合法與分析法 (2).doc

2 綜合法和分析法 在數(shù)學(xué)中,常用推理和證明來證明一個(gè)命題,證明是引用一些真實(shí)的命題來確定某一命題真實(shí)性的思維形式,在過去的學(xué)習(xí)中,我們?cè)?jīng)用直接證明或間接證明兩類方法證明過許多命題.本節(jié)的內(nèi)容就是學(xué)習(xí)直接證明的兩種方法:綜合法和分析法.高手支招1細(xì)品教材一、演繹推理1.概念:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,這種推理稱為演繹推理.2.演繹推理的特點(diǎn)(1)演繹的前提是一般性原理,演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí),結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中.(2)在演繹推理中,前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系.只要前提是真實(shí)的,推理的形式是正確的,那么結(jié)論也必定是正確的.因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具.(3)演繹推理是一種收斂性的思維方法,它缺少創(chuàng)造性,但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用,有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化.狀元筆記 演繹推理是由一般到特殊的推理;演繹推理的特征是:當(dāng)前提為真時(shí),結(jié)論必然為真.【示例】判斷下列推理,哪些為合情推理,哪些不是合情推理。(1)a/b,b/c,則a/c;（2)ab,bc,則ac;（3)三角形的內(nèi)角和為180,四邊形的內(nèi)角和為360,五邊形的內(nèi)角和為540, ,所以n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180;(4)今天是星期日,7天之后也是星期日.思路分析：根據(jù)實(shí)際問題中推理所得問題的真假來判斷是否為合情推理.答案：合情推理為(1)(3)(4),不是合情推理的是(2).二、直接證明1.概念直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立,這種證明方法叫直接證明.2.答案：直接證明的一般形式三、綜合法1.定義:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種思維方法叫做綜合法.綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導(dǎo)出所要求證的命題.綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法.2.綜合法的證明步驟用符號(hào)表示為:P0(已知)P1P2Pn(結(jié)論).狀元筆記 用綜合法證明問題時(shí)因果關(guān)系要清晰,邏輯表達(dá)要明確.綜合法所說的“由已知推結(jié)論”這里已知是已知的條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理.【示例】設(shè)a、b、c0,求證：+a+b+c.思路分析：從不等式的形式看,具有字母輪換性,而且又是齊次式,可考慮用分合思想加以證明,由三個(gè)二項(xiàng)式相加而得出.證明：因?yàn)?2=2c,2=2a,2=2b,將以上三個(gè)不等式左、右分別相加,得:2()2a+2b+2c,即a+b+c.四、分析法1.定義:從問題的結(jié)論出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件,逐步上溯,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止. 分析法也是數(shù)學(xué)證明中的一種常用直接方法,它先假設(shè)所要求證明命題的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的必要的判斷,而當(dāng)這些判斷恰恰都是已知的命題(定義、公理、法則、公式等)時(shí),命題得證.2.分析法的證明步驟用符號(hào)表示為:B(結(jié)論)B1B2BA(已知).狀元筆記 分析法就是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到最后,把要證明的結(jié)論歸納為一個(gè)明顯成立的條件.使用分析法證明不等式,在分析推理時(shí),要學(xué)會(huì)正確使用連接有關(guān)步驟的關(guān)鍵詞,如:“為了證明”“只需證明”等. 【示例】如圖,SA平面ABC,ABBC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證:AFSC.思路分析：本題所給的已知條件中,垂直關(guān)系較多,不容易確定如何在證明中使用它們,因而用綜合法比較困難.這時(shí),可以從結(jié)論出發(fā),逐步反推,尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件.在立體幾何中,通?？梢园炎C明兩條直線互相垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直的問題.證明：要證AFSC,只需證SC平面AEF,只需證AESC(因?yàn)镋FSC),只需證AE平面SBC,只需證AEBC(因?yàn)锳ESB),只需證BC平面SAB,只需證BCSA(因?yàn)锳BBC).由SA平面ABC可知,上式成立.所以AFSC.1.區(qū)別:由于分析法是執(zhí)果索因,立足于尋找欲證結(jié)論的合適的充分條件,利于思考;分析法確定解題方向比較明確,利于尋找解題思路;綜合法是由因?qū)Ч?立足于尋找已知條件合適的必要條件,證明思路條理清晰,適宜于表述. 分析法的特點(diǎn)是:從“未知”看“需知”,逐步向“已知”靠攏,其實(shí)際上是找尋它的充分條件.綜合法的特點(diǎn)是:從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,實(shí)際上是尋找它的必要條件.分析法與綜合法各有特點(diǎn).有些具體的待證命題,用分析法或綜合法都可以證明出來,人們往往選擇比較簡(jiǎn)單的一種.2.聯(lián)系:對(duì)于一個(gè)新的問題,多半采取先用分析法尋求思路、解法,后用綜合法有條理地表述解題過程,實(shí)際證題過程,分析與綜合是統(tǒng)一運(yùn)用的,把分