2010年數(shù)學(xué)高考大綱卷.doc

絕密絕密 啟用前啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 必修必修 選修選修 II II 本試卷分第 I 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 I 卷 1 至 2 頁(yè) 第 卷 3 至 4 頁(yè) 考試結(jié)束后 將本試卷和答題卡一并交回 第第 I I 卷卷 注意事項(xiàng) 1 答題前 考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚 并貼好條形碼 請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào) 姓名和科目 2 每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑 如需改 動(dòng) 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號(hào) 在試題卷上作答無(wú)效 3 第 I 卷共 12 小題 每小題 5 分 共 60 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有 一項(xiàng)是符合題目要求的 參考公式 參考公式 如果事件互斥 那么 球的表面積公式A B P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互獨(dú)立 那么 其中 R 表示球的半徑A B 球的體積公式 P A BP A P B AA 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 那么 p 3 3 4 VR 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 R 表示球的半徑nAk 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 選擇題一 選擇題 1 復(fù)數(shù) 32 23 i i A i B C 12 13 D 12 13i ii 2 記 那么cos 80 k tan100 A B C D 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 2 sin801 cos80 k k 3 若變量滿足約束條件則的最大值為 x y 1 0 20 y xy xy 2zxy A 4 B 3 C 2 D 1 4 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 5 10 則 n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a A B 7 C 6 D 5 24 2 5 的展開式中 x 的系數(shù)是 353 12 1 xx A 4 B 2 C 2 D 4 6 某校開設(shè) A 類選修課 3 門 B 類選擇課 4 門 一位同學(xué)從中共選 3 門 若要求兩類課程中各至少選一門 則不同的選法共有 A 30 種 B 35 種 C 42 種 D 48 種 7 正方體 ABCD 中 B與平面 AC所成角的余弦值為 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 8 設(shè) a 2 b In2 c 則 3 log 1 2 5 A a b c Bb c a C c a b D c b a 9 已知 為雙曲線 C 的左 右焦點(diǎn) 點(diǎn) p 在 C 上 p 則 1 F 2 F 22 1xy 1 F 2 F 0 60 P 到 x 軸的距離為 A B C D 3 2 6 2 36 10 已知函數(shù) F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 則 a 2b 的取值范圍是 A B C D 2 2 2 2 3 3 11 已知圓 O 的半徑為 1 PA PB 為該圓的兩條切線 A B 為倆切點(diǎn) 那么 的最小值為PA PB A B C D 42 32 42 2 32 2 12 已知在半徑為 2 的球面上有 A B C D 四點(diǎn) 若 AB CD 2 則四面體 ABCD 的體積 的最大值為 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 絕密 啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 必修 選修 II 第 卷 注意事項(xiàng) 1 答題前 考生先在答題卡上用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考 證號(hào)填寫清楚 然后貼好條形碼 請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào) 姓名和科目 2 第 卷共 2 頁(yè) 請(qǐng)用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答 在試題卷上作答無(wú)效 3 第 卷共 l0 小題 共 90 分 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 共 20 分 把答案填在題中橫線 上 注意 在試題卷上作答無(wú)效 13 不等式的解集是 2 211xx 14 已知為第三象限的角 則 3 cos2 5 tan 2 4 15 直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn) 則的取值范圍是 1y 2 yxxa a 16 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 是短軸的一個(gè)端點(diǎn) 線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) FCBBFCD 且 則的離心率為 BF2FD uu ruur C 三 解答題 本大題共 6 小題 共 70 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算 步驟 17 本小題滿分 10 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 已知的內(nèi)角 及其對(duì)邊 滿足 求內(nèi)角ABCVABabcotcotabaAbB C 18 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 投到某雜志的稿件 先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審 若能通過兩位初審專家的評(píng)審 則予以錄用 若兩位初審專家都未予通過 則不予錄用 若恰能通過一位初審專家的 評(píng) 審 則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審 若能通過復(fù)審專家的評(píng)審 則予以錄用 否則不予 錄 用 設(shè)稿件能通過各初審專家評(píng)審的概率均為 0 5 復(fù)審的稿件能通過評(píng)審的概率為 0 3 各專家獨(dú)立評(píng)審 I 求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率 II 記表示投到該雜志的 4 篇稿件中被錄用的篇數(shù) 求的分布列及期望 XX 19 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 注意 在試題卷上作答無(wú)效 如圖 四棱錐 S ABCD 中 SD底面 ABCD AB DC ADDC AB AD 1 DC SD 2 E 為棱 SB 上的一點(diǎn) 平面 EDC平面 SBC 證明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 20 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 注意 在試題卷上作答無(wú)效 已知函數(shù) 1 ln1f xxxx 若 求的取值范圍 2 1xfxxax a 證明 1 0 xf x 21 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 注意 在試題卷上作答無(wú)效 已知拋物線的焦點(diǎn)為 F 過點(diǎn)的直線 與相交于 兩點(diǎn) 2 4C yx 1 0 K lCAB 點(diǎn) A 關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D x 證明 點(diǎn) F 在直線 BD 上 22 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 注意 在試題卷上作答無(wú)效 已知數(shù)列中 n a 11 1 1 n n aac a 設(shè) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 51 22 n n cb a n b 求使不等式成立的的取值范圍 1 3 nn aa c 絕密絕密 啟用前啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 必修必修 選修選修 II II 本試卷分第 I 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 I 卷 1 至 2 頁(yè) 第 卷 3 至 4 頁(yè) 考試結(jié)束后 將本試卷和答題卡一并交回 第第 I I 卷卷 注意事項(xiàng) 1 答題前 考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚 并貼好條形碼 請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào) 姓名和科目 2 每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑 如需改 動(dòng) 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號(hào) 在試題卷上作答無(wú)效 3 第 I 卷共 12 小題 每小題 5 分 共 60 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有 一項(xiàng)是符合題目要求的 參考公式 參考公式 如果事件互斥 那么 球的表面積公式A B P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互獨(dú)立 那么 其中 R 表示球的半徑A B 球的體積公式 P A BP A P B AA 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 那么 p 3 3 4 VR 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 R 表示球的半徑nAk 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 選擇題一 選擇題 1 復(fù)數(shù) 32 23 i i A i B C 12 13 D 12 13i ii 答案 A 命題意圖 本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算 重點(diǎn)考查分母實(shí)數(shù)化的轉(zhuǎn)化技巧 解析 32 32 23 6946 23 23 23 13 iiiii i iii 2 記 那么cos 80 k tan100 A B C D 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 答案 B 命題意圖 本小題主要考查誘導(dǎo)公式 同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識(shí) 并突出了 弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 解析 所以 222 sin801 cos 801 cos 80 1 k tan100tan80 2 sin801 cos80 k k 3 若變量滿足約束條件則的最大值為 x y 1 0 20 y xy xy 2zxy A 4 B 3 C 2 D 1 4 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 5 10 則 n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a A B 7 C 6 D 5 24 2 答案 A 命題意圖 本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì) 指數(shù)冪的運(yùn)算 根式與指數(shù)式的互化等知 識(shí) 著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)知 3 1231322 5a a aa aaa A 10 所以 3 7897988 a a aa aaa A 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 5 的展開式中 x 的系數(shù)是 353 12 1 xx A 4 B 2 C 2 D 4 A B C D A1 B1 C1 D1 O 6 某校開設(shè) A 類選修課 3 門 B 類選擇課 4 門 一位同學(xué)從中共選 3 門 若要求兩類課程中各至少選一門 則不同的選法共有 A 30 種 B 35 種 C 42 種 D 48 種 7 正方體 ABCD 中 B與平面 AC所成角的余弦值為 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 答案 D 命題意圖 本小題主要考查正方體的性質(zhì) 直線與平面所成的角 點(diǎn)到平面的距離的求法 利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC的距離是 1 D 解決本題的關(guān)鍵所在 這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn) 8 設(shè) a 2 b In2 c 則 3 log 1 2 5 A a b c Bb c a C c a b D c b a 答案 C 命題意圖 本小題以指數(shù) 對(duì)數(shù)為載體 主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 實(shí)數(shù)大 小的比較 換底公式 不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用 解析 a 2 b In2 而 所以 a b 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c 而 所以 c a 綜上 c a b 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 9 已知 為雙曲線 C 的左 右焦點(diǎn) 點(diǎn) p 在 C 上 p 則 1 F 2 F 22 1xy 1 F 2 F 0 60 P 到 x 軸的距離為 A B C D 3 2 6 2 36 答案 B 命題意圖 本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì) 第二定義 余弦定理 考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué) 思想 通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力 解析 不妨設(shè)點(diǎn) P在雙曲線的右支 由雙曲線的第二定義得 00 xy 由 2 1000 12 a PFe xaexx c 2 2000 21 a PFe xexax c 余弦定理得 cos P 即 cos 1 F 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 0 60 222 00 00 12 21 2 2 2 12 21 xx xx 解得 所以 故 P 到 x 軸的距離為 2 0 5 2 x 22 00 3 1 2 yx 0 6 2 y 10 已知函數(shù) F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 則 a 2b 的取值范圍是 A B C D 2 2 2 2 3 3 11 已知圓 O 的半徑為 1 PA PB 為該圓的兩條切線 A B 為倆切點(diǎn) 那么 的最小值為PA PB A B C D 42 32 42 2 32 2 答案 D 命題意圖 本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長(zhǎng)定理 著重考查最值的求法 判別式法 同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力 解析 如圖所示 設(shè) PA PB APO 則x 0 x APB PO 2 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令 則 即 由是實(shí)數(shù) 所以PA PBy 42 2 1 xx y x 42 1 0 xy xy 2 x 解得或 2 1 4 1 0yy 2 610yy 32 2y 32 2y 故 此時(shí) min 32 2PA PB 21x 12 已知在半徑為 2 的球面上有 A B C D 四點(diǎn) 若 AB CD 2 則四面體 ABCD 的體積 的最大值為 P A B O A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 答案 B 命題意圖 本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算 球的性質(zhì) 異面直線的距離 通過球這 個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力 解析 過 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 與 P 設(shè)點(diǎn) P 到 CD 的距離為 則有h 當(dāng)直徑通過 AB 與 CD 的中點(diǎn)時(shí) 故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面體 22 max 2 212 3h max 4 3 3 V 絕密 啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 必修 選修 II 第 卷 注意事項(xiàng) 1 答題前 考生先在答題卡上用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考 證號(hào)填寫清楚 然后貼好條形碼 請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào) 姓名和科目 2 第 卷共 2 頁(yè) 請(qǐng)用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答 在試題卷上作答無(wú)效 3 第 卷共 l0 小題 共 90 分 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 共 20 分 把答案填在題中橫線 上 注意 在試題卷上作答無(wú)效 13 不等式的解集是 2 211xx 答案 0 2 命題意圖 本小題主要考查根式不等式的解法 利用平方去掉根號(hào)是解根式不等式的基 本思路 也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致 解析 原不等式等價(jià)于解得 0 x 2 22 21 1 10 xx x 14 已知為第三象限的角 則 3 cos2 5 tan 2 4 1 2 x y 1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 15 直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn) 則的取值范圍是 1y 2 yxxa a 答案 1 5 4 命題意圖 本小題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì) 不等式的解法 著重 考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 解析 如圖 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線與曲線1y 觀圖可知 a 的取值必須滿足解得 2 yxxa 1 41 1 4 a a 5 1 4 a 16 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 是短軸的一個(gè)端點(diǎn) 線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) FCBBFCD 且 則的離心率為 BF2FD uu ruur C 答案 2 3 命題意圖 本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì) 第 二定義 平面向量知識(shí) 考查了數(shù)形結(jié)合思想 方程思想 本題凸顯解析幾何的特點(diǎn) 數(shù)研究形 形助數(shù) 利用幾 何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問題的捷徑 解析 如圖 22 BFbca 作軸于點(diǎn) D1 則由 得 1 DDy BF2FD uu ruur 所以 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc 即 由橢圓的第二定義得 3 2 D c x 22 33 22 acc FDea ca xO y B F 1 D D 又由 得 整理得 2 BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 兩邊都除以 得 解得 2 a 2 320ee 1 e 舍去 或 2 3 e 三 解答題 本大題共 6 小題 共 70 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算 步驟 17 本小題滿分 10 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 已知的內(nèi)角 及其對(duì)邊 滿足 求內(nèi)角ABCVABabcotcotabaAbB C 命題意圖命題意圖 本題主要考查正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值 以及考查邏輯思維能力 運(yùn) 算能力 同時(shí)轉(zhuǎn)化與化歸的思想 方程思想 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng) 解斜三角形實(shí)際屬于三角函數(shù)的范疇 以三角函數(shù)的考查有五種基本題型 考查 純?nèi)呛瘮?shù) 考查三角函數(shù)與平面向量的交匯 解斜三角形 解斜三角形與向量的交匯 三角變換及求值與解斜三角形的交匯 每年對(duì)這方面的考查往往是輪番出現(xiàn) 備考注意這 幾個(gè)方面的強(qiáng)化訓(xùn)練 18 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 投到某雜志的稿件 先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審 若能通過兩位初審專家的評(píng)審 則予以錄用 若兩位初審專家都未予通過 則不予錄用 若恰能通過一位初審專家的 評(píng) 審 則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審 若能通過復(fù)審專家的評(píng)審 則予以錄用 否則不予 錄 用 設(shè)稿件能通過各初審專家評(píng)審的概率均為 0 5 復(fù)審的稿件能通過評(píng)審的概率為 0 3 各專家獨(dú)立評(píng)審 I 求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率 II 記表示投到該雜志的 4 篇稿件中被錄用的篇數(shù) 求的分布列及期望 XX 答案 解 解 記 A 表示事件 稿件能通過兩位初審專家的評(píng)審 B 表示事件 稿件恰能通過一位初審專家的評(píng)審 C 表示事件 稿件能通過復(fù)審專家的評(píng)審 期望 4 0 41 6EX 命題意圖 本題主要考查等可能性事件 互斥事件 獨(dú)立事件 相互獨(dú)立試驗(yàn) 分布 列 數(shù)學(xué)期望等知識(shí) 以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力 考查分類與整合思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 19 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 注意 在試題卷上作答無(wú)效 如圖 四棱錐 S ABCD 中 SD底面 ABCD AB DC ADDC AB AD 1 DC SD 2 E 為棱 SB 上的一點(diǎn) 平面 EDC平面 SBC 證明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 故內(nèi)的兩條相交直線都垂直 BK 平面ED C SBCBKDE DE 與平面BK BC SBC DEEC DESBDE 平面 22 6 SBSDDB 2 3 SD DB DE SB A 22 62 6 33 EBDBDESESBEB 所以 2SEEB 由知 22 5 1 2 SASDADABSEEB ABSA 22 12 1 AD 1 33 AESAAB 又 故為等腰三角形 ADE 取中點(diǎn) F 連接 則 EDAF 22 6 3 AFDE AFADDF 連接 則 FG FGEC FGDE 所以 是二面角的平面角 AFG ADEC 連接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA 所以 二面角的大小為 120 ADEC 解法二 解法二 由 得 mDE mDC 0mDE 0mDC 故 2 0 20 111 xyz y 令 則 2x 2 0 m 由平面得 DECSBC 平面 0 20 2mn m n A 故 2SEEB 由 知 取中點(diǎn) F 則 2 2 2 3 3 3 E DE 1 1 1 3 3 3 F 211 333 FA 故 由此得 0FA DE AFADE 又 故由此得 2 42 3 33 EC 0 EC DE AECDE 向量與的夾角等于二面角的平面角 FA EC ADEC 于是 1 cos 2 FA EC FA EC FA EC A 所以 二面角的大小為 120 ADEC 命題意圖 本小題主要考查空間直線與直線 直線與平面 平面與平面的位置關(guān)系 二 面角等基礎(chǔ)知識(shí) 考查空間想象能力 推理論證能力和運(yùn)算能力 20 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 注意 在試題卷上作答無(wú)效 已知函數(shù) 1 ln1f xxxx 若 求的取值范圍 2 1xfxxax a 證明 1 0 xf x 答案 11 ln1ln x fxxx x ln1xfxxx 題設(shè)等價(jià)于 2 1xfxxax ln xxa 令 則 lng xxx 1 1g x x 當(dāng) 當(dāng)時(shí) 是的最大值點(diǎn) 01x 0g x 1x 0g x 1x g x 1 1g xg 綜上 的取值范圍是 a 1 有 知 即 1 1g xg ln1 0 xx 當(dāng)時(shí) 01x 1 ln1ln ln1 0f xxxxxxxx 當(dāng)時(shí) 1x ln ln1 f xxxxx 1 ln ln1 xxx x 11 ln ln1 xx xx 0 所以 1 0 xf x 命題意圖 本小題主要考查函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 不等式證明等知識(shí) 通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù) 不等式問題 考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力以及計(jì)算能力 同時(shí)也考查了函 數(shù)與方程思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 21 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無(wú)效 注意 在試題卷上作答無(wú)效 已知拋物線的焦點(diǎn)為 F 過點(diǎn)