20100901正學(xué)中學(xué)2010級(jí)高一初高中數(shù)學(xué)銜接教材.doc

正學(xué)中學(xué)高一初高中數(shù)學(xué)銜接教材第一部分 數(shù)與式的運(yùn)算第一節(jié) 絕對(duì)值1.絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零即2.絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離例、解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0， 又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)椋?， 解得x4 又x3， x4綜上所述，原不等式的解為x0，或x4解法二：如圖111，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的幾何意義即為：|PA|PB|4由|AB|2可知：點(diǎn)P 在點(diǎn)C (坐標(biāo)為0) 的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D (坐標(biāo)為4) 的右側(cè)故x0，或x4練 習(xí)1填空題：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是 （ ）（A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則3化簡(jiǎn)：|x5|2x13|（x5）第二節(jié) 乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明例1、計(jì)算：解法一：原式=解法二：原式=例2、已知，求的值解： 例3、已知，求的值解： 原式= .說(shuō)明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算請(qǐng)注意整體代換法本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉例4、已知，求 的值解：原式= ， 把代入得原式=說(shuō)明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用練 習(xí)1填空題： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2選擇題：（1）若是一個(gè)完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不論，為何實(shí)數(shù)，的值 （ ） （A）總是正數(shù) （B）總是負(fù)數(shù) （C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)（3）若，則的值為 ( ) （A） （B） （C） （D）3. 計(jì)算：（1） （2）（3） （4）4已知，求代數(shù)式的值第三節(jié) 二次根式一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無(wú)理式. 例如 ，等是無(wú)理式，而，等是有理式1二次根式的性質(zhì)：（1） （2）.（3） （4）說(shuō)明：請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類討論2分母（子）有理化：把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與， 等等一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程.在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式3. 最簡(jiǎn)根式：如果一個(gè)根式符合下列三個(gè)條件：1）被開方數(shù)的指數(shù)和根指數(shù)是互質(zhì)數(shù)； 2）被開方數(shù)的每一個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)； 3）被開方數(shù)不含分母. 那么，這個(gè)根式叫做最簡(jiǎn)根式. 例1、將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）； （2）原式=； （3）；(4) 原式= .例2、計(jì)算：解法一：解法二：例3、試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和； （2）和.解：（1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4、化簡(jiǎn)：解： 例5、化簡(jiǎn)：（1）； （2）解：（1）原式 （2）原式=， ， 所以，原式例6、已知，求的值 解：，說(shuō)明：二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式二次根式的化簡(jiǎn)常見類型有下列兩種：被開方數(shù)是整數(shù)或整式化簡(jiǎn)時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來(lái)；分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如)這時(shí)可將其化為形式(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況化簡(jiǎn)時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)(如化為，其中與叫做互為有理化因式)例7、設(shè)，求的值解：原式=說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量練 習(xí)1填空題：（1） ；（2）若，則的取值范圍是 ；（3） ；（4）若，則 2選擇題：等式成立的條件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比較大小：2 （填“”，或“”）5. 化簡(jiǎn)或計(jì)算：(1) ； (2) ；(3) ； （4）.6設(shè)，求代數(shù)式的值7設(shè)，求的值第四節(jié) 分式1分式的意義：形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當(dāng)M0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：； 上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)2繁分式：像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1、化簡(jiǎn) .解法一：原式=解法二：原式=例2、若，求常數(shù)的值解： ， 解得 例3、（1）試證：（其中n是正整數(shù)）； （2）計(jì)算：； （3）證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)n， 有（1）證明： （其中n是正整數(shù)）成立（2）解：由（1）可知 （3）證明：， 又n 2，且n是正整數(shù)， 一定為正數(shù)， 例4、設(shè)，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20兩邊同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去， 或e2 e23. 多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式：做豎式除法時(shí)，被除式、除式都要按同一字母的降冪排列，缺項(xiàng)補(bǔ)零（除式的缺項(xiàng)也可以不補(bǔ)零，但做其中的減法時(shí)，要同類項(xiàng)對(duì)齊），要特別注意，得到每個(gè)余式的運(yùn)算都是減法。結(jié)果表示為：被除式=除式商式+余式 .例5、計(jì)算解：，即.練 習(xí)1填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n， ()；2選擇題：若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）3正數(shù)滿足，求的值4計(jì)算習(xí) 題 一A 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空題：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_B 組1填空題： （1），則 .（2）若，則 .2已知：，求的值C 組1選擇題：（1）若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）計(jì)算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3已知. 求：.4計(jì)算：5試證：對(duì)任意的正整數(shù)n，有第二部分 分解因式1因式分解的意義：把一個(gè)多項(xiàng)化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式. 因式分解是一種恒等變形.這一概念的特點(diǎn)是：1）多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果一定是積的形式；2）每個(gè)因式必須是整式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）；3）各因式要分解到不能再分為止.2因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：整式乘法是把幾個(gè)整式相乘化為一個(gè)多項(xiàng)式，而因分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式相乘，也就是說(shuō)，因式分解是整式乘法的逆變形.3因式分解的一般步驟：把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，一般可按下列步驟進(jìn)行. （1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式； （2）如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法（如十字相乘法）來(lái)分解； （4）分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止（本部分在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究因式分解）.4. 因式分解的主要方法：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，另外還應(yīng)了解配方法、求根法及待定系數(shù)法等因式分解中常常需要整體代換.第一節(jié) 提取公因式法、公式法與分組分解法1. 公式法：依據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)逆用乘法公式進(jìn)行恒等變形的方法.例1、分解因式： (1) (2) .分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2) 中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或解：(1) (2) 2. 分組分解法：把多項(xiàng)式分成若干個(gè)組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法. 分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組，分組的目的主要是：1）分組后能提取公因式；2）分組后能直接運(yùn)用公式. 分組過(guò)程中有時(shí)需先恰當(dāng)?shù)牟痦?xiàng)和添項(xiàng)達(dá)到分組目的.例2、把分解因式分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是，這樣可繼續(xù)提取公因式解：說(shuō)明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)們不妨一試?yán)?、把分解因式分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開后重新分組，然后再分解解：說(shuō)明：由例2、例3可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用例4、分解因式：（1）； （2）解：（1）=另解： （2）.練 習(xí)分解下列因式：（1）x464x ； （2）（x24）216x2； （3）x5x3x21；（4）； （4）a45a2b24b4； （5）a22abb22ac2bcc2 . 第二節(jié) 十字相乘法十字相乘法：二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a0），如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即a=a1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c = c1c2，把a(bǔ)1，a2 ，c1，c2排列如右圖，按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2x + a2c1x=bx .即它正好等于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)bx，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2之積，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.注意：適用情形是二次三項(xiàng)式或可化為二次三項(xiàng)式的代數(shù)式.例1、分解因式：（1）x23x2； （2）x24x12；（3）； （4）1211圖122aybyxx圖1242611圖12312xx圖121解：（1）如圖121，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成1與2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項(xiàng)，所以，有x23x2(x1)(x2)11xy圖125說(shuō)明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖121中的兩個(gè)x用1來(lái)表示（如圖122所示）（2）由圖123，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖124，得（4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如圖125所示）例2、分解因式：解：（1）=另解：= =說(shuō)明：該題進(jìn)行因式分解的關(guān)鍵是將代數(shù)式整理為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式（先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列），再十字相乘法分解.同樣若先整理為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可十字相乘法分解.練 習(xí)分解下列因式：（1）x214x40； （2）x415x226； （3）（xy）2（xy）2； （4）； （5）x2y2xy62xy； （6）.第三節(jié) 其它因式分解的方法1. 求根公式法：若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.注意：適合關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)的因式分解，是十字相乘法的一種補(bǔ)充.例1、把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）； （2）解：（1）令=0，則解得，=（2）令=0，則解得，=思考：1）二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定能夠分解因式嗎？你能夠快速判斷嗎？你又能夠快速判斷二次三項(xiàng)式是完全平方式嗎？ 2）若一個(gè)方程有實(shí)根，則該方程整理為等號(hào)的一端為0，那么另一端分解因式，一定有一個(gè)什么因式？2配方法：將二次三項(xiàng)式配成兩個(gè)完全平方式的差，再利用平方差公式分解因式的方法叫做配方法.配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式的差，然后用平方差公式分解配方法同樣適合二次三項(xiàng)式的因式分解，是求根公式法分解因式的具體化.例2、分解因式.解：.思考：本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)若將二次三項(xiàng)式配方后化成了兩個(gè)平方式的和，說(shuō)明該二次三項(xiàng)式能夠分解因式嗎？3拆、添項(xiàng)法：根據(jù)需要通過(guò)恰當(dāng)?shù)奶眄?xiàng)或拆項(xiàng)，把多項(xiàng)式分成若干部分，再分組進(jìn)行因式分解的方法.例3、分解因式分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行細(xì)查式中無(wú)一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決解： 說(shuō)明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件本題還可以將拆成，將多項(xiàng)式分成兩組和另外，也可先試驗(yàn)x = -1是=0的根，從而通過(guò)條拆項(xiàng)湊公因式x+1進(jìn)行分解因式.4待定系數(shù)法：首先判斷出分解因式的結(jié)果形式，然后設(shè)出相應(yīng)的字母系數(shù)（待定系數(shù)）表示因式分解的結(jié)果，依據(jù)等式恒等求出字母系數(shù)，從而完成因式分解.例4、分解因式.分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式應(yīng)該分解為兩個(gè)一次因式，因而設(shè)，再依據(jù)等式成立確定p、q的值，代入化簡(jiǎn).解：設(shè)，因?yàn)槌闪ⅲ?，則.練 習(xí)1選擇題：（1）多項(xiàng)式的一個(gè)因式為 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）已知多項(xiàng)式分解因式為，則的值為（ ）（A）（B） （C） （D）2分解因式： （1）x26x8； （2）x22x1； (3) x43x2y24y4 ；（4）； （5）； (6) x44 .習(xí) 題 二A 組1選擇題：（1）在下列各式中： a-b= b-a； (a-b)2= (b-a)2； (a -b)2= - (b-a)2； (a-b)3= (b -a)3 ； (a-b)3= -(b-a)3； (a+b)(a-b) = (-a+b)(-a-b). 正確的等式有 （ ） （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè) （2）把多項(xiàng)式分解因式等于 （ ）（A） （B）（C）m(a2)(m1) （D）m(a2)(m1) （3）化簡(jiǎn)(-2)1999+(-2)2000的結(jié)果是 （ ）（A）21999 （B）-2 （C）-21999 （D）-12分解因式：（1）； （2）； （3）.3計(jì)算下列各式：(1) 7.6200.1 4.3200.11.9200.1； (2) 10115109 .4先化簡(jiǎn)，再求值. (1) 已知, xy=2, 求2x4y 3x3y4的值；(2) 已知4x2 + 7x + 2 = 4,求12x221x的值. 5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （3）；（4）；（5）；（6）B 組1. 填空題：（1）已知a26a+9與|b1|互為相反數(shù)，計(jì)算a3b3+2a2b2+ab的結(jié)果是_；(2) （ ）；(3) 已知，則的值是 ；(4) 若是一個(gè)完全平方式，則的關(guān)系是 .2不解方程組，求的值.3三邊，滿足，試判定的形狀4若二次多項(xiàng)式能被x1整除，試求k的值.5分解因式：（1）x2x(a2a)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）1+x + x(x+1) + x(x+1)2 + + x(x+1)n (n為正整數(shù)) .第三部分 解方程和一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1等式：用等號(hào)表示相等關(guān)系的式子.2含有未知數(shù)的等式叫方程；能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解（在一元方程中也可叫做方程的根）；求得方程的解或確定方程無(wú)解的過(guò)程叫做解方程.3如果兩個(gè)方程的解相同，即兩個(gè)方程中，第一個(gè)方程的解就是第二個(gè)方程的解，第二個(gè)方程的解也是第一個(gè)方程的解，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程.4方程同解原理有兩條：（方程同解原理是解方程的根據(jù)）（1）方程兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程；（2）方程兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，所得的方程與原方程是同解方程.初中數(shù)學(xué)學(xué)中基本的方程類型有：一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程這三種類型. 而簡(jiǎn)單無(wú)理數(shù)方程、高次方程、分式方程、二元二次方程組都要轉(zhuǎn)化為前三種類型的方程. 因此，解方程的基本思想是通過(guò)“平方”或“換元”或“因式分解”或“消元”等轉(zhuǎn)化辦法，把新方程化歸為已經(jīng)會(huì)解的方程求解. 第一節(jié) 整式方程的解一、一元一次方程1.解一元一次方程的一般步驟是：（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）將未知數(shù)的系數(shù)化為“1”.2.一元一次方程ax=b的解的情況：（1）當(dāng)a0時(shí)，ax=b有唯一的解；（2）當(dāng)a=0，b0時(shí)，ax=b無(wú)解；（3）當(dāng)a=0，b=0時(shí)，ax=b有無(wú)窮多個(gè)解.二、一元二次方程1. 一元二次方程解的判斷方法和求根公式：一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 . 因?yàn)閍0，所以，4a20于是：（1）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： x1，2；（2）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩相等實(shí)數(shù)根：x1x2；（3）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由“b24ac”來(lái)判定. 我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號(hào)“”來(lái)表示綜上所述：對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0），有：1）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2；2）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2；3）當(dāng)0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根. 一元二次方程的求根公式.2. 解一元二次方程的基本思路：將一元二次方程向一元一次方程轉(zhuǎn)化（高次化低次），轉(zhuǎn)化的方法主要為1）開平方法；2）使方程一邊為0把另一邊分解因式的方法. 小結(jié)如下：注意：配方是一種基本的變形，解題中雖不常用，但作為一種基本方法要熟練掌握.配方時(shí)可以按下述方法進(jìn)行：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到一邊；再在方程兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.把方程一邊化為0，把另一邊分解因式的方法可以用于解今后遇到的各類方程.因?yàn)檫@是把方程降次的重要手段之一.3. 解一元二次方程的方法：直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法. 一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般 形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；直接開平方法是最基本的方法；公式法和配方法是最重要的方法，公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算判別式的值，以便判斷方程是否有解；配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程，但配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好.（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）.例1、方程（a2-2a-3）x2-(a-3) x+a = 0是關(guān)于x的一元一次方程，求a的值. 解： 原方程是x的一元一次方程， a2-2a -3= 0且a -3 0， 解得a = -1（a =3舍去）. 例2、選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1) (3x-2)2 = (x+4)2 ； (2) 2x2 - 4x -1 = 0；(3) (x+1)(6x-5)=10； (4) ； （5）3y(y+2)=2(y+2) -5 .解：（1）用開平方法，得3x-2 =x+4或3x-2= - (x+4)，x1=3，.注意：解一元二次方程時(shí)，通常先把方程化為一般式，但是如果不化為一般式就可以找到簡(jiǎn)便解法時(shí)也可以直接求解. 方程兩邊同時(shí)開方時(shí)，只需在一邊取正負(fù)號(hào). （2）用公式法，得.也可以配方得求解.注意：公式法可以用于解任何一元二次方程，應(yīng)用時(shí)要先明確公式中字母在題中所表示的量，結(jié)果要進(jìn)行化簡(jiǎn)。但是公式法作為一般方法，有時(shí)不是最簡(jiǎn)單的. （3）用分解因式法，把（x+1）(6x-5)=10整理得6x2+x-15=0，即 (2x-3)(3x+5) = 0，.注意：使用分解因式法時(shí)，方程的一邊一定要化為0，這樣才能達(dá)到降次的目的. 解摸底檢測(cè)題3應(yīng)該使用分解因式法，整理后提公因式x或直接移項(xiàng)后提出x，都可以正確求解，但是不可以在方程兩邊同除以未知數(shù)x，那樣會(huì)丟掉一個(gè)解0.（4）可以選用公式法或分解因式法，解答由同學(xué)們完成.（）.注意：應(yīng)該學(xué)會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，分解的結(jié)果可以帶有無(wú)理數(shù).本題就可以分解為. 解一元二次方程時(shí)，應(yīng)該首先觀察是否可以應(yīng)用開平方、分解因式等簡(jiǎn)單方法，找不到簡(jiǎn)單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后使用公式法. （5）原方程化為3(y+2) -2(y+2)=2(y+2) -5，將y +2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y+2x ， 那么原方程可化為3(x-2)x2x -5，解得x11，x2 當(dāng)x1時(shí)，y +2 =1， y = -1； 當(dāng)x時(shí)，y +2 =， y = - .故原方程的解為y1= -1，y2 = -注意：這種“將y +2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y+2x ” 的處理問(wèn)題方法叫換元法，是一種基本的數(shù)學(xué)方法.說(shuō)明：把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它得到一個(gè)新問(wèn)題，從而使原問(wèn)題簡(jiǎn)化，通過(guò)新問(wèn)題的解再還原為原問(wèn)題的解，這種解決問(wèn)題的辦法叫換元法. 換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理，實(shí)現(xiàn)“化不會(huì)為會(huì)”.換元法又稱輔助元素法、變量代換法. 通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái). 或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化. 例如：在解方程中化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式等. 換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等.在初中解方程中主要是局部換元，又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn).例3、判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3）x2ax(a1)0；（4）x22xa0解：（1）3241330，方程沒有實(shí)數(shù)根（2）該方程的根的判別式a241(1)a240，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時(shí)，0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21； 當(dāng)a 2時(shí)，0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x11，x2a1（4）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以，當(dāng)0即4(1a) 0，即a1時(shí)，方程有兩不等實(shí)根，； 當(dāng)0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21； 當(dāng)0，即a1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根說(shuō)明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋嚕航怅P(guān)于x的方程 .三、簡(jiǎn)單高次方程高次方程的解法思路：高次方程通過(guò)因式分解或者換元轉(zhuǎn)化成一元一次或一元二次方程（高次化低次）. 轉(zhuǎn)化的主要方法：1）換元法；2）使方程一邊為0，另一邊分解因式的方法. 1.直接開方的方法：適用于方程整理可化為形如的方程的解. 注意n為奇數(shù)或偶數(shù)的開方后正負(fù)號(hào)的選擇.2.因式分解的方法：把方程的一端通過(guò)移項(xiàng)變?yōu)?，然后把不是0這一邊的關(guān)于未知數(shù)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解它們總能分成一次二項(xiàng)式或二次三項(xiàng)式的乘積，根據(jù)幾個(gè)因式的積是0，得每個(gè)因式是零，這樣化成一元一次方程或一元二次方程來(lái)解這種方法主要是降次的方法對(duì)于一些高次方程用這種方法來(lái)解是能夠奏效的3.換元法解分式方程方法：把方程中含未知數(shù)的某個(gè)式子看成一個(gè)整體，而用一個(gè)字母來(lái)代替它，方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于這個(gè)字母為新未知數(shù)的新方程（新方程中不再含原未知數(shù)的字母），從而得到新方程的解再還原為原方程的解.例4、解方程：（1）x3 8 = 0；（2）(x21)25(x21)40；（3）.解：（1）原方程左邊分解因式，得(x-2)(x2+2x+4)=0，所以x-2=0 或x2+2x+4=0. 由x-2=0，得x=2；而x2+2x+4=0，因?yàn)?0，所以沒有實(shí)數(shù)根.所以x=2是原方程的根另解：由x3 8 = 0得x3 = 8 ，所以，即x=2是原方程的根注意：上面的解法中分別采用了因式分解法與直接開方法. 在直接開方法中要正確區(qū)分“方根和算術(shù)根”、“奇次方根和偶次方根”. 請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉?，解方?（2）我們可以將x21看作一個(gè)整體，然后設(shè)x21y ， 那么原方程可化為y25y40，解得y11，y24 當(dāng)y1時(shí)，x211， x22， x；當(dāng)y4時(shí)，x214， x25， x.故原方程的解為x1，x2，x3，x4（3）由，所以，原方程的解為.四、二元二次方程組化歸是解方程組的基本思想，降次與消元是化歸的主要途徑，開方、因式分解、換元是降次的常用方法，代人法、加減法是消元的兩種主要手段二元及多元(二元以上)一次方程組的求解，主要是通過(guò)同解變形進(jìn)行消元，最終轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解決. 同樣，二元二次方程組也是通過(guò)降次（開方和換元與因式分解等方法降次）、消元（代入消元和加減消元）轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程來(lái)解決.例5、解方程組：（1）； （2）；（3）； （4） .解：（1）分析：原方程組2得，分別帶入原方程組的任何一個(gè)方程解得x，組合得原方程組的解.（2）由，因此，原方程組可化為兩個(gè)方程組或，解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解為：. (3)分析：這個(gè)方程組的兩個(gè)方程都不含有未知數(shù)的一次項(xiàng)，消去常數(shù)項(xiàng)后(4得x2-5xy4y20)就可以得到形如ax2bxycy20的方程，解由這個(gè)方程與原方程組的任何一個(gè)方程組成的方程組，就可以得到形如（2）的方程組，請(qǐng)同學(xué)們完成該方程組的解解是：（4）分析：由，換元法求解，令，得，求該方程組的解，再還原為原方程組的解. 以下由同學(xué)們完成.例6、已知方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.分析：由代入得到關(guān)于的一元二次方程，當(dāng)0且二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而原方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.解：由代入并整理得：, ， 即, 當(dāng)1且0時(shí)，原方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.說(shuō)明：一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，若消去一個(gè)未知數(shù)，則轉(zhuǎn)化為一元二次方程，此時(shí)的值將決定原方程組解的情況. 即：0方程組有兩個(gè)解； =0方程組有一個(gè)解；0方程組無(wú)實(shí)解. 練 習(xí)：1選擇題：（1）方程的根的情況是 （ ）（A）有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （D）沒有實(shí)數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2. 填空題：（1）關(guān)于的方程是一元二次方程，則=_.（2）方程的解的情況是：當(dāng)時(shí)_；當(dāng)時(shí)_；當(dāng)時(shí)_.（3）方程組有唯一解，則的值是_.3. 用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于x的一元二次方程：（1）(3x+2)(3x-2)=4； （2）3x2- 4x-4=0 ；（3）； （4）x2+5x+k2=2kx+5k-6. 4. 已知（x2+y2）（x2+y2+1）=20，求x2+y2的值.5. 解方程：（1）；（2）x4x260；（3）；（4）.6. 解下列方程組：（1） ；（2） ； (3) .第二節(jié) 分式方程和無(wú)理方程的解我們把一元一（二）次方程和簡(jiǎn)單的高次方程統(tǒng)稱為整式方程；整式方程和分式方程（分母含有未知數(shù)的方程）統(tǒng)稱為有理方程；根號(hào)下含有未知數(shù)的方程叫做無(wú)理方程.1.分式方程的解法：一般是通過(guò)去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式方程，然后解這個(gè)整式方程. 強(qiáng)調(diào)：1）分式方程比較復(fù)雜時(shí)，常?？梢蚤_方或因式分解或換元等辦法先化簡(jiǎn)，再求解；2）檢驗(yàn)是解分式方程必不可少的步驟2.無(wú)理方程的解法：無(wú)理方程通過(guò)兩邊平方或換元轉(zhuǎn)化成整式或分式方程強(qiáng)調(diào)：檢驗(yàn)是解無(wú)理方程必不可少的步驟思考：分式方程和無(wú)理方程的解為什么需要驗(yàn)根？例1、解方程：（1）；（2）；（3）； （4）.解：（1）方程兩邊同乘以公分母（x3）（x3），得4（x3）x（x3）=x292x， 整理得. 檢驗(yàn)知：原是方程的解. （2）分析：該題直接去分母，運(yùn)算量較大，注意方程特點(diǎn)，若拆項(xiàng)就方便了. 由原方程得， 解得. 檢驗(yàn)知：原是方程的解. （3）由，所以或，解得.檢驗(yàn)知：都是原是方程的解.（4）換元法求解，請(qǐng)同學(xué)們完成.（答案：）.例2、解方程（1）；（2）；（3）.解：（1）移項(xiàng)把被開方數(shù)中含有未知數(shù)的根式放在方程的一邊，其余各項(xiàng)移到另一邊.得，兩邊平方，得x 2+5x+1 = 4x2 4x +1，即3x2 9x =0 . 因此，x1 = 0, x2 = 3. 檢驗(yàn)知：x1 = 0, x2 = 3原是方程的解. （2）由， 整理得，以下的解，請(qǐng)同學(xué)們完成. 注意：多個(gè)根號(hào)的方程組的解，在移項(xiàng)整理中，要保證等號(hào)一邊僅有一個(gè)根號(hào)的這個(gè)項(xiàng)，平方去根號(hào)，不斷重復(fù)，直到把根號(hào)去完為止.（3）由，以下?lián)Q元法求解，令，請(qǐng)同學(xué)們完成.綜上所述：轉(zhuǎn)化與化歸是解方程(組)的基本思想，通過(guò)恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，化歸目的明確，復(fù)雜的方程(組)就會(huì)變?yōu)槲覀兪煜さ?、?jiǎn)單的方程(組)a) 解題思路：高次低次化，分式整式化，無(wú)理式有理化，多元一元化.b) 常用方法：降次法（直接開平方、因式分解），平方法，換元法、消元（加減、代入）.c) 最終形式：化為一元一次或一元二次方程.練 習(xí)：解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）； （5）； （6）.第三節(jié) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有； 1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1x2. 這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知x1x2p，x1x2q，即p(x1x2)，qx1x2 . 所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，那么，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此，以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1x202當(dāng)ax2+bx+c=0 (a0) 時(shí)，有以下等價(jià)命題：(以下等價(jià)關(guān)系要求理解，學(xué)會(huì)用公式 及=b24ac 分析，不要求背記)（1）兩根互為相反數(shù) = 0且 0 b = 0且 0；（2）兩根互為倒數(shù) =1且 0 a = c且 0；（3）兩根異號(hào) 0 a、c異號(hào)；3幾個(gè)常見轉(zhuǎn)化：或.例1、已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個(gè)根，522k260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2那么，方程的另一個(gè)根為，k的值為7解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7例2、已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 依據(jù)題意x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡(jiǎn)，得 m216m170， 解得 m1，或m17當(dāng)m1時(shí)，方程為x26x50，0，滿足題意；當(dāng)m17時(shí)，方程為x230x2930，302412930，不合題意，舍去綜上，m17說(shuō)明：在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可說(shuō)明在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因?yàn)椋f達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根例3、已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程組求解出這兩個(gè)數(shù)也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，依據(jù)題意，則， 下面解這個(gè)方程組.由，得y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或 因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x24x120的兩個(gè)根 解這個(gè)方程，得x12，x26所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷由此給我們提供了這種類型方程組的一種新解法，同學(xué)們解方程組.例4、若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值；（2）求的值；（3）x13x23解： x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）|x1x2|2x12+x222x1x2(x1x2)24x1x26， | x1x2|（2）（3）x13x23 (x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()說(shuō)明：一元二