高中數學第二章解三角形1.1正弦定理(二)課件北師大版必修5.ppt

第二章解三角形 1 1正弦定理 二 1 熟記并能應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題 2 能根據條件 判斷三角形解的個數 3 能利用兩邊夾角求三角形面積 學習目標 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 知識點一正弦定理的常見變形 1 sinA sinB sinC 4 sinA sinB sinC a b c 2R 3 a b c 2RsinA 2RsinB 2RsinC 知識點二判斷三角形解的個數 思考1 答案 在 ABC中 a 9 b 10 A 60 判斷三角形解的個數 故對應的鈍角B有90 B 120 也滿足A B 180 故三角形有兩解 梳理 已知三角形的兩邊及其中一邊的對角 三角形解的個數并不一定唯一 例如在 ABC中 已知a b及A的值 由正弦定理 可求得sinB 在由sinB求B時 如果a b 則有A B 所以B為銳角 此時B的值唯一 如果a b 則有A B 所以B為銳角或鈍角 此時B的值有兩個 思考2 答案 已知三角形的兩邊及其夾角 為什么不必考慮解的個數 如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別相等 則這兩個三角形全等 即三角形的兩邊及其夾角確定時 三角形的六個元素即可完全確定 故不必考慮解的個數的問題 梳理 解三角形4個基本類型 已知三邊 已知兩邊及其夾角 已知兩邊及其一邊對角 已知一邊兩角 其中只有類型 解的個數不確定 知識點三三角形面積公式的拓展 思考 答案 如果已知底邊和底邊上的高 可以求三角形面積 那么如果知道三角形兩邊及夾角 有沒有辦法求三角形面積 ABC中 如果已知邊AB BC和角B 邊BC上的高記為ha 則ha ABsinB 從而可求面積 梳理 ABC中 角A B C的對邊分別為a b c 則 ABC的面積S absinC bcsinA acsinB 題型探究 類型一判斷三角形解的個數 例1在 ABC中 已知a 20cm b 28cm A 40 解三角形 角度精確到1 邊長精確到1cm 解答 因為0 a B A 1 當B 64 時 C 180 A B 180 40 64 76 2 當B 116 時 C 180 A B 180 40 116 24 綜上 B 64 C 76 c 30cm或B 116 C 24 c 13cm 引申探究例1中b 28cm A 40 不變 當邊a在什么范圍內取值時 ABC有兩解 范圍中保留sin40 解答 如圖 A 40 CD AD AC 28cm 以C為圓心 a為半徑畫圓弧 當CD a AC 即bsinA a b 28sin40 a 28時 ABC有兩解 AB1C AB2C均滿足題設 反思與感悟 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時 首先求出另一邊的對角的正弦值 根據該正弦值求角時 要根據已知兩邊的大小情況來確定該角有一個值還是兩個值 或者根據該正弦值 不等于1時 在0 180 范圍內求角 一個銳角 一個鈍角 只要不與三角形內角和定理矛盾 就是所求 跟蹤訓練1已知三角形中a b 6 A 30 判斷三角形是否有解 若有解 解該三角形 解答 又因為bsinA 6sin30 3 bsinA a b 所以本題有解 且有兩解 由正弦定理 得 因為b a B A B 0 180 所以B 60 或120 類型二利用正弦定理求最值或取值范圍 例2在銳角 ABC中 角A B C分別對應邊a b c a 2bsinA 求cosA sinC的取值范圍 解答 a 2bsinA 由正弦定理 得sinA 2sinBsinA 由銳角 ABC知 反思與感悟 解決三角形中的取值范圍或最值問題 1 先利用正弦定理理清三角形中元素間的關系或求出某些元素 2 將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數 三角函數 從而轉化為函數的值域或最值問題 跟蹤訓練2在 ABC中 若C 2B 求的取值范圍 解答 因為A B C C 2B 類型三三角形面積公式的應用 命題角度1已知邊角求面積例3在 ABC中 AB AC 1 B 30 求 ABC的面積 解答 0 AC C B C 60 或120 當C 60 時 A 90 當C 120 時 A 30 反思與感悟 三角形面積公式S absinC S bcsinA S acsinB中含有三角形的邊角關系 因此求三角形的面積 與解三角形有密切的關系 首先根據已知 求出所需 然后求出三角形的面積 跟蹤訓練3在 ABC中 a 1 A 30 C 45 則 ABC的面積為 答案 解析 B 180 A C 180 30 45 105 命題角度2給出面積求邊角例4在 ABC中 A 60 AB 2 且 ABC的面積為 則AC的長為 1 答案 解析 b 1 即AC 1 反思與感悟 利用三角形兩邊夾角表示的三角形面積公式有3個 到底選擇哪一個 要看題目給出的條件和解題目標 跟蹤訓練4已知銳角三角形ABC的面積為 BC 4 CA 3 則角C的大小為 答案 解析 A 75 B 60 C 45 D 30 當堂訓練 1 在 ABC中 AC BC 2 B 60 則角C的值為A 45 B 30 C 75 D 90 答案 解析 1 2 3 答案 解析 2 在 ABC中 若 則 ABC是A 直角三角形B 等邊三角形C 鈍角三角形D 等腰直角三角形 1 2 3 1 2 3 tanA tanB tanC 又 A B C 0 A B C 故三角形為等邊三角形 3 已知 ABC的面積為 且b 2 c 則sinA 1 2 3 答案 解析 規(guī)律與方法 1 已知兩邊和其中一邊的對角 求第三邊和其他兩個角 這時三角形解的情況可能無解 也可能一解或兩解 首先求出另一邊的對角的正弦值 當正弦值大于1或小于0時 這時三角形解的