（浙江專版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章圓錐曲線與方程10.4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課件.ppt

10 4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1 判斷直線l與圓錐曲線r的位置關(guān)系時(shí) 通常將直線l的方程Ax By C 0 A B不同時(shí)為0 代入圓錐曲線r的方程F x y 0 消去y 或x 得到一個(gè)關(guān)于變量x 或y 的方程 即消去y后得ax2 bx c 0 1 若a 0 則當(dāng) 0時(shí) 直線l與曲線r相交 當(dāng) 0時(shí) 直線l與曲線r相切 當(dāng) 0時(shí) 直線l與曲線r相離 2 若a 0 則得到一個(gè)一次方程 則l與r相交 且只有一個(gè)交點(diǎn) 此時(shí) 若r為雙曲線 則直線l與雙曲線的一條漸近線平行 若r為拋物線 則直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合 2 連接圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦 知識(shí)清單 直線l y kx b 曲線r F x y 0 l與r的兩個(gè)不同的交點(diǎn)為M x1 y1 N x2 y2 則 x1 y1 x2 y2 是方程組的解 方程組消元后化為關(guān)于x 也可以是y 的一元二次方程Ax2 Bx C 0 A 0 判別式 B2 4AC 應(yīng)有 0 所以x1 x2是方程Ax2 Bx C 0的解 由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1 x2 x1x2 所以M N兩點(diǎn)間距離為 MN x1 x2 即弦長(zhǎng)公式 也可以寫成關(guān)于y的形式 MN y1 y2 k 0 3 已知弦的中點(diǎn) 研究弦的斜率和方程 1 AB是橢圓 1 a b 0 的一條弦 中點(diǎn)M坐標(biāo)為 x0 y0 y0 0 則AB的斜率為 運(yùn)用點(diǎn)差法求AB的斜率 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 A B都在橢圓上 兩式相減得 0 0 即 故kAB 2 運(yùn)用類比的方法可以推出 已知AB是雙曲線 1 a 0 b 0 的弦 中點(diǎn)M x0 y0 y0 0 則kAB 已知拋物線y2 2px p 0 的弦AB的中點(diǎn)M x0 y0 y0 0 則kAB 有關(guān)位置關(guān)系 弦長(zhǎng) 面積問題的解題策略1 直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題 可以轉(zhuǎn)化為它們所對(duì)應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個(gè)數(shù)問題 往往通過消元最終歸結(jié)為討論方程解的情況 需要注意的是當(dāng)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或雙曲線的漸近線時(shí) 直線與拋物線或雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn) 2 涉及直線與圓錐曲線相交弦的問題 主要有這樣幾個(gè)方面 相交弦的長(zhǎng) 弦長(zhǎng)公式 AB x2 x1 弦所在直線的方程 如中點(diǎn)弦 相交弦等 弦的中點(diǎn)的軌跡等 可以利用 設(shè)點(diǎn)代點(diǎn) 設(shè)而不求 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo) 將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程 并不具體求出坐標(biāo) 而是利用坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系直接解決問題 的方法解決 例1 2017浙江 七彩陽光 新高考研究聯(lián)盟測(cè)試 21 已知橢圓C 方法技巧 1 a b 0 的離心率為 且橢圓經(jīng)過點(diǎn)M 1 1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 若直線l與圓O x2 y2 1相切 與橢圓C相交于A B兩點(diǎn) 求 AOB的面積的最大值 解題導(dǎo)引 1 由離心率的定義 點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程以及a b c之間的關(guān)系 得關(guān)于a b c的方程組 解方程組得結(jié)論 2 當(dāng)斜率存在時(shí) 設(shè)直線方程為y kx m 由直線與圓相切得m與k的關(guān)系式 聯(lián)立直線和橢圓方程 由韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng) AB 把面積的平方表示成k的函數(shù) 利用換元法求得面積的最大值 計(jì)算斜率不存在時(shí)三角形面積 比較后得結(jié)論 解析 1 由得a 2 b 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 2 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)直線l y kx m 因?yàn)橹本€l與圓O相切 所以點(diǎn)O到直線l y kx m的距離d 1 所以m2 1 k2 由得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 4 0 32k2 8m2 16 0 x1 x2 x1x2 所以 AB 所以S AOB 1 令1 2k2 t t 1 得 2 2 當(dāng)t 1 即k 0時(shí) AOB的面積取得最大值 為 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) l x 1 此時(shí)S AOB 綜上所述 AOB的面積的最大值為 評(píng)析本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì) 直線與橢圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系 韋達(dá)定理 弦長(zhǎng)的計(jì)算以及三角形面積的最值的求法等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算求解能力 邏輯推理能力和綜合運(yùn)用能力 探索性問題的解題策略解決探索結(jié)論的開放性問題的一般方法是研究特例 觀察 歸納 猜想 然后加以論證 對(duì)存在判斷型問題 常以條件和假設(shè)存在為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行推理 若推出矛盾 則否定存在 若不出現(xiàn)矛盾 則肯定存在 對(duì)結(jié)論開放性問題 常需對(duì)不同的情形加以分類討論 例2 2017浙江寧波期末 21 已知橢圓C 1 0 n 2 1 若橢圓C的離心率為 求n的值 2 若過點(diǎn)N 2 0 任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A B 在x軸上是否存在點(diǎn)M 使得 NMA NMB 180 若存在 求出點(diǎn)M的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 解題導(dǎo)引 1 由離心率的定義得結(jié)論 2 假設(shè)存在點(diǎn)M m 0 滿足題意 得直線AM BM的斜率之和為零 聯(lián)立直線l和橢圓方程 由韋達(dá)定理和斜率之和為零求得m的值 檢驗(yàn)后得結(jié)論 解析 1 由 得 得n 2 假設(shè)存在點(diǎn)M m 0 使得 NMA NMB 180 則直線AM和BM的斜率存在 分別設(shè)為k1 k2 且滿足k1 k2 0 設(shè)直線l的方程為y k x 2 由得 2k2 n x2 8k2x 8k2 2n 0 16k2n 8n2 0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則x1 x2 x1x2 由 0 得 x1 m y2 x2 m y1 0 即k x1 m x2 2 k x2 m x1 2 0 當(dāng)k 0時(shí) 2x1x2 m 2 x1 x2 4m 0 所以2 m 2 4m 0 化簡(jiǎn)得 0 所以m