高等工程流體力學(xué)新.ppt

高等工程流體力學(xué) 授課教師 李寶寬 內(nèi)容概要 粘性流體流動現(xiàn)象粘性流體流動性質(zhì)粘性流動的基本方程粘性流動的若干特解邊界層理論湍流模型理論流動問題的數(shù)值解初步 第一章粘性流體流動現(xiàn)象 自然界固有的流動現(xiàn)象 自然的流動現(xiàn)象 人類的利用 第二章粘性流體的性質(zhì) 2 1假設(shè)條件 流體是連續(xù)介質(zhì)流體是均質(zhì)不可壓縮的各向同性牛頓流體流體是每一瞬時流體質(zhì)量處于準(zhǔn)熱平衡態(tài)流體中的熱傳導(dǎo)過程服從傅里葉定律 2 2粘性流體不同于無粘性流體的特點 1 粘性流體運動的有旋性2 粘性流體運動機械能的耗散性3 粘性流體運動中渦旋的擴散性 第三章粘性流動的基本方程 3 1研究流體運動的兩種方法 兩種參考坐標(biāo)系 1 拉格朗日法 跟隨流體質(zhì)點去研究流體運動的方法 獨立變量為 t 位置向量速度向量加速度向量下標(biāo) 表示是 所標(biāo)志的流體質(zhì)點 x x2 x1 x3 x t t t t0 2 歐拉法 著眼于從空間坐標(biāo)去研究流體流動 獨立變量為 t 速度向量加速度向量注意 一切流體運動的力學(xué)屬性均是流體質(zhì)點的屬性而不是空間點的屬性 流體質(zhì)點位于空間點上從而流體質(zhì)點的運動屬性為時間和不依賴于時間的空間坐標(biāo)的函數(shù) F x t F x x t t 研究歐拉空間場中某一運動屬性F的變化率必須跟蹤一個固定的流體質(zhì)點 F可以代表速度密度溫度等流體運動的各種力學(xué)屬性 稱為F的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或成為隨體導(dǎo)數(shù) 它是以歐拉空間坐標(biāo)所表示的流體質(zhì)點的運動屬性對時間的全導(dǎo)數(shù) 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)寫為向量的形式 3 1 式中 1第一項為F的當(dāng)?shù)刈兓?是在某一點x處F隨時間t的變化率 是由流動的不恒定性引起的 2第二項為F的遷移變化率 是由流暢的不均勻性引起的 兩種流動描述方法之間的關(guān)系歐拉方法在數(shù)學(xué)處理上的最大困難是方程式的非線性 而拉格朗日方法中的加速度項則為線性 直接應(yīng)用拉格朗日型的基本方程解決流體力學(xué)問題是困難的 因此在處理流動問題時 常常必須用拉格朗日的觀點而卻應(yīng)用歐拉的方法 為此引用雅可比行列式建立兩種系統(tǒng)之間的變換關(guān)系 3 2 拉格朗日變量與歐拉變量可以互換的唯一條件是 雅可比行列式的時間導(dǎo)數(shù) 3 3 3 2雷諾輸運方程 用歐拉導(dǎo)數(shù)表示一個流體系統(tǒng)的拉格朗日變化率 即為雷諾輸運方程 取定一個系統(tǒng)在流動過程中t t時所占據(jù)的空間作為控制體V t 系統(tǒng)在t t0所占據(jù)的控制V0 V t0 作為識別這一系統(tǒng)的標(biāo)志 令 則 3 4 系統(tǒng)所具有的某種運動要素對時間的全導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)為 式中F代表該運動要素的體積分布密度 由高斯公式得 3 5 可見系統(tǒng)對時間的全導(dǎo)數(shù) 即系統(tǒng)的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是由兩部分組成的 其中是由于流場中F的不恒定性所引起的整個控制體內(nèi)所含物理量在單位時間內(nèi)的增量 表示在單位時間內(nèi) 流體通過控制體表面S t 而引起的控制體內(nèi)物理量的變化 也就是系統(tǒng)由一個位置流動到另一個位置時 由于流場不均勻性而引起的遷移變化率 可以看出 雷諾輸運方程 3 1 與 3 5 式所表示的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)從本質(zhì)上講是相同的 只不過是雷諾輸運方程是以系統(tǒng)的流動作為研究的對象而物質(zhì)導(dǎo)數(shù)式研究流體質(zhì)點的運動 因此可以說輸運方程是流體質(zhì)團的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 3 3連續(xù)方程 連續(xù)方程是質(zhì)量守恒原理在流體運動中的表現(xiàn)形式 系統(tǒng)的質(zhì)量為 質(zhì)量守恒要求 3 6 此即拉格朗日型的積分形式的連續(xù)方程 應(yīng)用輸運方程 3 7 或?qū)憺?則為歐拉形式的積分形式的連續(xù)方程 為通過控制體表面積的物質(zhì)通量 此式對于流動中的任何一個體積都是適用的 即V t 時任一選取的 因此得 3 8 為微分形式的歐拉型連續(xù)方程式 3 4雷諾第二輸運方程 應(yīng)用輸運方程時 如把 F 看作某一物理量 則 右側(cè)第二 三兩項可寫為 由 3 8 式此項為零 3 9 此式即為雷諾第二輸運方程 3 5動量方程 動量方程是動量守恒原理在流體運動中的表現(xiàn)形式 運動著的流體微團的動量可表示為 動量守恒原理要求流體系統(tǒng)的動量變化率等與該系統(tǒng)上的全部作用力 在流體運動中作用力F包括 1 體積力 包括質(zhì)量力 是作用于流體質(zhì)量上的非接觸力 這種力可以穿透到流體的內(nèi)部而作用于每一流體質(zhì)點上 體積力可以表示為 其中為單位質(zhì)量力 為單位體積力 2 面積力 為流體或固體通過接觸面二十家在另一部分流體上的力 它是流體在運動過程中作用在流體內(nèi)部假想的面積上的由于流體的變形和相互作用而在流體內(nèi)部產(chǎn)生的各種應(yīng)力 或者是流動的固體邊界對流動所施加 的面積力 設(shè)單位面積上的面積力為p 它是空間坐標(biāo)x 時間t 和作用面外法線方向n的函數(shù) n為單位法線向量 令下標(biāo)1 2 3分別表示在x1 x2 x3軸上的分量 流場中某一坐標(biāo)點處 某一時刻t時的流體面積力 由于它是向量的一個向量函數(shù) 所以可以寫為9項 3 10 一點的應(yīng)力狀態(tài)常用應(yīng)力張量來表示 下標(biāo)中I表示作用面的外法線方向 j表示面積力的方向 為空間點坐標(biāo)及時間t的函數(shù) 3 11 寫為張量形式為或 3 12 于是動量方程式可寫為 此即為拉格朗日型積分形式的動量方程 右側(cè)第一項為體積力 第二項為面積力 由雷諾第二輸運方程 此式改為 即歐拉型積分形式的動量方程 此時也可寫為 由高斯公式 右側(cè)第二項的面積分寫為體積分的形式 由于V t 是任取的一個控制體體積 可得微分形式的歐拉型動量方程為 3 13 向量形式為 3 14 3 6能量方程 能量方程是能量守恒原理在流體運動中的表現(xiàn)形式 令e代表單位質(zhì)量流體所具內(nèi)能 則為單位體積流體所具內(nèi)能 代表單位體積動能 從而單位體積流體所包含的總能量 能量守恒原理可表示為 單位時間內(nèi)外力作功為 由高斯公式 表面力作功可寫為積分形式 式中I 1 2 3 j 1 2 3 單位時間內(nèi)傳入系統(tǒng)的熱量為 1 Q表示由輻射或化學(xué)能釋放等因素而產(chǎn)生的系統(tǒng)內(nèi)單位體積流體熱量的增量 2 q為熱通量向量 負號表示熱的流通與外法線方向相反 即熱量進入系統(tǒng) 應(yīng)用雷諾第二輸運方程即得歐拉型能量方程的積分形式 3 15 能量方程的微分形式為 3 16 向量形式為 3 17 3 7納維 斯托克斯方程 微分形式的動量方程為 3 18 當(dāng)容積粘度 由牛頓流體本構(gòu)方程式得到 3 19 將 3 19 代入 3 13 式得 3 20 此即牛頓流體的運動方程 稱為納維 斯托克斯方程 簡稱N S方程 這一方程于1821年由法國力學(xué)家納維提出 1845年英國力學(xué)家斯托克斯完成最終的型式 當(dāng)為常數(shù)時 3 21 對于不可壓縮流動 則 3 22 對于不可壓縮的理想流體 則為歐拉方程 3 23 3 8納維 斯托克斯方程的邊界條件和初始條件 3 3 1邊界條件在連續(xù)介質(zhì)假定下 由試驗所確定的粘性流動的邊界條件為 在流體與固體的交界面處流體與固體無相對滑移 當(dāng)然從分子的尺度看滑移是可能的 但這種滑移只限于其厚度只有一個分子平均自由程量級的薄層內(nèi) 1固定邊界處如果固定邊界的速度為U 則流動的邊界條件為 u U 3 24 在無窮遠處 流場應(yīng)與未擾動流體的狀態(tài)相銜接 如未擾動流體為靜止?fàn)顟B(tài) 則當(dāng)時 考慮熱效應(yīng) 則一般邊界條件為 在邊界處 溫度T為常數(shù)或邊界溫度梯度為常數(shù) n為邊界外法線方向 2兩種液體的分界面在分界面兩側(cè)其速度 壓強與溫度均相等 即 3 25 摩擦力和通過分界面的熱傳導(dǎo)量也相等 即 3 26 3 27 式中K1K2分別為兩種液體的導(dǎo)熱系數(shù) 3液體和氣體的分界面最常見的為液體與大氣的分界面 稱為自由水面 其邊界條件為 1 運動學(xué)條件位于自由水面上的流體質(zhì)點將永遠位于自由水面 所以 即 3 28 式中表示自由水面的高度 可以看出自由水面上的流體質(zhì)點在平均自由面的垂直方向上的速度等于自有水面的垂直波動速度 在水面波為微幅波的假設(shè)下 與均很小 因此忽略上式最后兩項可得到 3 29 氣體 液體 平均自由面 x1 x2 t x1 x3 x2 2 動力學(xué)條件動力學(xué)邊界條件是在兩種流體的交界面處 法向應(yīng)力連續(xù) 兩個方向的切向應(yīng)力連續(xù)對于氣體和液體的交界面 自由水面 則切應(yīng)力連續(xù)的條件可以忽略 法向應(yīng)力 包括壓強和自由表面張力而應(yīng)起的液面壓力則必須連續(xù) 如果忽略表面張力 則自由水面上液體的壓強等于大氣壓強pa 有些情況下還需給定進出口斷面上的速度 壓強和溫度的分布 3 3 2初始條件對于不恒定的粘性流動則需給出初始時刻 t t0 時流場中各有關(guān)物理量的分布 即流動的初始條件 3 9粘性流動的相似律 令V0 L0 p0 t0 0 0 g0分別代表流速 長度 壓強 時間 密度 粘度 重力加速度的特征值從而組成各物理量的無量綱量如下 3 30 當(dāng)質(zhì)量力只考慮重力的作用 不可壓縮流體二維流動的N S方程為 3 31 各項物理量改為無量綱量 然后以除各項得 3 32 式中由特征物理量組成了幾個重要的無量綱量 稱為斯特勞拉哈爾數(shù) 3 33 稱為弗勞德數(shù) 3 34 稱為雷諾數(shù) 3 35 稱為歐拉數(shù) 3 36 由此 上式可改為 3 37 如果兩個流動相似 則由無量綱所表示的方程式應(yīng)相同 因此對于兩個流動而言 只有各個無量綱數(shù)分別相等 才是相似流動 第四章粘性流動的若干特解 4 1平行流動平行流動是流動中最簡單的一種情形 在平行流動中只有一個流速分量是不等于零的量 所以流體質(zhì)點均沿一個方向流動 設(shè)三個坐標(biāo)方向的分速度為u v w 平行流動v 0 w 0 由連續(xù)方程可知 也就是說流速分量u在x方向并不變化 N S方程在x方向的分量方程 4 1 其中三個遷移項均為零 故 4 2 為u的線性二階偏微分方程 4 1 1庫埃特流動上下兩平行平板所組成的槽道內(nèi)充滿了粘度為 的不可壓縮流體的流動 上平板以速度U相對于下平板運動 兩板間距離為h 設(shè)槽道中同時存在x方向壓強梯度 流動為恒定 且流動為二維 在z方向沒有變化 式 4 2 可寫為 4 3 4 3 式為x方向的N S方程 它說明只能是y的函數(shù)而與x無關(guān) 而由y方向的N S方程 可見壓強只能是x的函數(shù) 為同時滿足這兩方面要求只能等于常數(shù) 積分 4 3 式得 4 4 y U x h 代入邊界條件確定積分常數(shù)C1 C2后得 4 5 沿斷面積分 4 4 式可得流量公式 4 6 4 1 2泊肅葉流動由壓強梯度推動的管 槽中的不可壓縮粘性流體的流動稱為泊肅葉流動 z方向為無窮長 流動為二維的 基本方程為 4 7 邊界條件為 4 8 積分可得 4 9 斷面平均流速um為 4 10 單位寬度槽道流量q為 4 11 N S方程精確解中最具實際意義的流動之一是管道內(nèi)部流動 特別是圓管流動 層流的圓管流動如圖 采用圓柱坐標(biāo) 只有x方向的流速存在 由連續(xù)方程可得N S方程可寫為 a b c umax x y U y 2b 由 a b 兩式可知p只與x坐標(biāo)有關(guān)而與r 兩坐標(biāo)無關(guān) 由 c 式可知只能是常數(shù) 令 c 可改寫為 積分之 當(dāng) 再積分上式 當(dāng) 流速分布公式為 4 12 x u r0 r 圖4 4層流的圓管流動 管道中心處r 0 此處流速最大 即 4 13 沿斷面積分 2 13 式可得流量Q 4 14 從而可計算斷面平均流速um 4 15 這就是圓形管道粘性流動情況下N S方程的精確解 但它只是在圓管流動為層流時成立 4 2運動平板引起的流動 4 2 1突然加速平板引起的流動 斯托克斯第一問題 對于非恒定的平行流動 最簡單的例子是一個在半無限空間靜止的平板突然起動 沿其自身平面加速至某一固定速度U 從而帶動其周圍原來處于靜止的不可壓縮粘性流體運動 設(shè)板長為無窮 N S方程化簡為線性方程 4 16 此為經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程 兩個自變量為x t 因為是平行流動 由連續(xù)方程知 且整個流場中壓強為常數(shù)p p0 const 坐標(biāo)系如圖2 6所示 y p p0 U0 x 圖4 5斯托克斯第一問題 邊界條件為 4 17 令為無量綱坐標(biāo) 并假設(shè) 則 4 16 變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?邊界條件變?yōu)?常微分方程的解為 4 18 erf為誤差函數(shù) erfc為補償函數(shù) 其數(shù)值可查有關(guān)于手冊 當(dāng) 這說明平板突然加速至U0由于粘性而帶動周圍流體運動形成的流速場中 只有在的薄層流動內(nèi)流速大于U0的百分之一 而在以上的流層流速只有U0的百分之一以下 可以看作沒有影響或影響很小 有此可見平板通過流體粘性而帶動的流體運動只發(fā)生在的薄層以內(nèi) 這部分流層可稱為邊界層 其厚度為 圖2 6表示沿 的分布 由圖還可看出 對于流場中的某給定點y處 其流速隨時間的增加而增大 當(dāng)時該點流速可達到U0 1 0 1 0 5 2 u U0 圖4 6u U0沿 分布 y 2 4 2 2振動平板引起的流動 斯托克斯第二問題 無限平板沿自身平面做簡諧振動通過粘性而帶動周圍原來處于靜止的流體所形成的流動 平板上部半無限流場內(nèi)N S方程可寫為 4 19 平板壁面處的流體質(zhì)點由于無滑移條件而隨平板振動 因而邊界條件為 4 20 熱傳導(dǎo)方程 4 19 的解為 式中令 4 19 式的解也可寫為 4 21 為一個按指數(shù)衰減的簡諧振動 harmonicvibration 流場的振動頻率與平板的頻率相同 為 振幅為 在y 0處振幅最大 與平板相同為U0 隨y值得增加振福按指數(shù)規(guī)律衰減 如仍以為考慮粘性影響的界限 可得 4 61 其相應(yīng)的厚度即邊界層厚度 4 22 斯托克斯第一問題說明粘性流動中固體壁面對流動的影響范圍即邊界層厚度 與流體運動粘性系數(shù) 和時間t乘積的平方根成正比 可以看出平板運動對周圍流體的影響是通過流體粘性傳播的 其傳播要有一定的時間 斯托克斯第二問題說明平板的振動向流體內(nèi)部傳播也是通過流體的粘性 而且與振動頻率 有關(guān) 可見 因此兩個結(jié)論相同 u0cos t 圖4 7斯托克斯第二問題 4 3低雷諾數(shù)流動 低雷諾數(shù)流動 以其慣性力相對粘性力而言甚小因而可近似地忽略N S方程中非線性的慣性項 從而得到線性的運動方程 流動雷諾數(shù)決定于流體的物性包括密度 和粘度 和流動的特征物理量包括特征速度U及特征長度L 低雷諾數(shù)流動一般指的流動 4 3 1斯托克斯方程最基本的低雷諾數(shù)流動的近似解法是斯托克斯近似 雷諾數(shù)表征慣性力與粘性力之比 因此在低雷諾數(shù)流動中假定慣性項可以忽略 在N S方程中如壓強項考慮為流體動壓強 則N S方程簡化為 4 23 4 24 最后得到流速向量u為 4 29 式 4 27 和式 4 29 表示斯托克斯方程的一個基本解 它是一個位于原點的奇點 稱為斯托克斯極子 式中C表示斯托克斯極子的強度 為極矩方向的單位向量 4 3 3繞過球體的均勻流動均勻來流如圖繞過以O(shè)為球心 r0為半徑的球體流動 將球心取為坐標(biāo)遠點 使用球坐標(biāo)系 流動為軸對稱流動 x1 r er e r0 U 圖4 9繞球體的均勻流動 其邊界條件為 在物面上 U為物面速度處 4 23 式稱為斯托克斯方程式 與連續(xù)方程 4 24 聯(lián)立共有4個分量方程式和4個未知量 流速u1 u2 u3和壓強p 通過斯托克斯近似 N S方程變?yōu)榫€性方程 4 3 2斯托克斯的一些基本解1均勻解斯托克斯方程最簡單的基本解即為均勻解 可以看出對于一個速度向量和壓強均為常量的流動 4 23 式和 4 24 式必然滿足 即這個速度場合壓強場中不產(chǎn)生力和力矩的作用 這個速度場和壓力場中不產(chǎn)生力或力矩的作用 2偶極子由于任一勢流解同時也必然是N S方程的精確解 因為對于勢流 N S方程中的粘性項恒等于零 在斯托克斯近似中慣性項認為等于零 粘性項相對于勢流而言也為零 這時只有壓強項也為零 即 也就是說N S方程的一個勢流解當(dāng)其為常量時同時也是斯托克斯方程的解 對于三位軸對稱勢流 采用球坐標(biāo) r 則位于原點的偶極子所引起的流動中 4 25 流速則為 4 26 式中是流場中點位置向量 A為偶極強度 為偶極矩方向的單位向量 這個流速廠要滿足斯托克斯方程則必須壓強為常數(shù) 即 偶極子同樣不施加任何力或力矩于周圍的流體 o x1 p 參考軸 圖4 8三位軸對稱勢流 3斯托克斯極子流動中壓強不為常數(shù) 由式 4 23 可得 其中是滿足拉普拉斯方程的解 壓強p是和函數(shù) 滿足三位拉普拉斯方程 他的一個基本解是 這個基本解所對應(yīng)的流速 u趨于零 因此這個基本解不適用 p的另一個基本解是 4 27 與此壓強場所對應(yīng)的流速場可通過 4 23 得到 4 28 由連續(xù)方程確定 解出 直角坐標(biāo)系的x1方向 在勢流中均勻流繞過球體的流動為均勻流與偶極子的疊加 由 4 26 式 設(shè)偶極矩方向為x1方向 邊界條件為 于是圓球繞流的勢流流場為 在斯托克斯流動中 既考慮流體粘性但雷諾數(shù)很小的流動情況 圓球繞流為均勻流 偶極子與斯托克斯極子的疊加 由 4 26 4 28 式可知流場為 邊界條件為 可解出 從而圓球繞流的斯托克斯流動的流場為 其壓強場由 4 27 式代入C值可得 圓球受到流體作用于它上面的力說明受力方向與來流一致 為阻力 這就是著名的斯托克斯關(guān)于均勻流中球體阻力的公式 它是在雷諾數(shù)很低的情況下成立的 如果令 為阻力系數(shù) 則斯托克斯關(guān)于均勻流中球體的阻力系數(shù)為對斯托克斯流動的眾多研究成果都表明 不同形狀物體的阻力都是與來流流速 流體的粘性系數(shù)以及物體的特征尺度成正比 只是正比常數(shù)各有區(qū)別 例如 半徑為r0的薄圓盤所受的阻力為 當(dāng)圓盤正面向前運動時當(dāng)圓盤側(cè)緣向前運動時可見盡管圓盤與圓球的形狀有顯著差別 但其阻力比圓球只分別低15 和43 這說明斯托克斯流動中繞流物體所受阻力對物體的形狀不太敏感 因而對于與球形相差不多的沙粒 塵埃 細胞等完全可以用圓球的斯托克斯阻力公式估計其阻力 4 3 4奧辛近似 另一個低雷諾數(shù)的近似解為奧辛近似 粘性的影響往往主要表現(xiàn)在物體壁面附近的薄層內(nèi) 隨著距離物面的距離加大 粘性作用逐漸下降 以至在一定距離處粘性力項終于下降到與慣性力項相同的數(shù)量級 甚至更小 斯托克斯方程已經(jīng)不能使用 為此 奧辛部分地考慮了N S方程中的慣性項 但又不使它們成為非線性項 假定 式中為無窮遠處自由流速 為擾動速度 均較甚小 這一假定在很接近物面處當(dāng)然不成立 于是N S方程的慣性項可以分解為兩部分 其中第二部分中的等項為二階小量 與第一部分各相比可以忽略 這樣 N S方程寫為 邊界條件與N S方程相同 奧辛使N S方程線性化既不像斯托克斯那樣使遷移速度為零 也不用當(dāng)?shù)厮俣萿而是使用自由流速度 而自由流速度為常數(shù) 根據(jù)奧辛近似方程的解可以求得圓球繞流的阻力系數(shù)為 第五章邊界層理論 5 1邊界層概念邊界層是粘性流動中固體壁面附近粘性起主導(dǎo)作用的一薄層流體層 如設(shè)一極薄平板 順流放置于均勻平行流動中 與為受擾動的來流流速平行 粘性流體流經(jīng)平板時 僅靠板面的流體質(zhì)點粘附板上 其速度與平板壁面相同 此處平板靜止不動 通過粘性作用 流體質(zhì)點之間將存在內(nèi)摩擦阻力 是平板兩側(cè)的流體逐漸減慢 形成壁面附近很大的流速梯度 這一流動區(qū)域稱為邊界層 如圖5 1所示 通常定義當(dāng)?shù)亓魉賣 x y 等于0 99UE時的y值為邊界層厚度 也叫邊界層名義厚度 UE為當(dāng)?shù)乇诿嫣幍挠袣W拉方程解得的勢流流速 5 2邊界層厚度5 2 1邊界層名義厚度的量級估計若將平板上各點除邊界層外邊緣點連接起來形成一條邊界層的外邊緣線如圖5 1中虛線表示 邊界層的厚度隨距平板前緣的距離增加而增厚 說明邊界層厚度沿流程逐漸發(fā)展 當(dāng)來流為均勻平行流動 流動無渦 但對于粘性流動由于平板壁面的存在 在邊界層內(nèi)產(chǎn)生流速梯度 從而在平板壁面上產(chǎn)生渦量 渦量從壁面向外傳播的范圍所及就是邊界層 可見粘性流動流場中的固體壁面是渦量產(chǎn)生的源泉 旋渦同時也被流動帶向下游 旋渦向下游x方向傳播的速度取決于來流流速 而旋渦向y方向擴散的速度可以由看出 但雷諾數(shù)表示為 時 可見雷諾數(shù)表示渦旋向下游傳播速度的平方與y方向 傳播速度的平方之比 雷諾數(shù)越大 渦旋向y方向傳播速度越小于向下游傳播速度 邊界層厚度越薄 由此可見 大雷諾數(shù)情況下 流場可分為兩部分 一部分為無渦的勢流 另一部分為粘性起主導(dǎo)作用的有渦流動區(qū)域 即邊界層流動 大雷諾數(shù)的流動繞過任何形狀的物體都會發(fā)生邊界層流動 在接近繞流物體的尾部 由于存在逆壓強梯度 壓強沿流程增加 而是邊界層自物體壁面分離并在物體下游形成尾流區(qū) 粘性力與慣性力相當(dāng) 則有 由此得 所以 由此可見 在高雷諾數(shù)的條件下 邊界層厚度遠小于被繞物體的特征長度 即這與試驗結(jié)果相符 在邊界層研究中有不同的雷諾數(shù)的定義 一般的作為整個流動的雷諾數(shù)為 式中為無窮遠處為受擾動的來流流速 L為繞流物體的某一特征長度 如平板的長度 圓柱或圓球的直徑等 對于邊界層常定義 為邊界層雷諾數(shù) x為沿邊界層坐標(biāo)自繞流物體前緣算起的距離 邊界層雷諾數(shù)還常定義為 由于 因此Rex與Re 之間又確定的數(shù)量關(guān)系 當(dāng)邊界層雷諾數(shù)增達到一定數(shù)值后流動可從層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪?有層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯狞c的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù) 5 2 2邊界層排擠厚度在固體壁面附近的邊界層中 由于流速受到壁面的阻滯而降低 使得在這個區(qū)域內(nèi)所通過的流量較之理想流體流動時所能通過的流量減少 相當(dāng)于邊界層的固體壁面像流動內(nèi)移動了一個距離 1后理想流體流動所通過的流量 這個距離 1稱為邊界層位移厚度 如圖相當(dāng)OAB面積的流量與BCD面積的流量二者相等 根據(jù)定義 即為位移厚度的定義及計算公式 o A B u U E c U y D 1 圖5 2邊界層位移厚度 5 2 3邊界層動量損失厚度邊界層內(nèi)流速的降低不僅使通過的流體質(zhì)量減少 而也是通過的流體動量減少了 邊界層中實際通過的流體動量為 如果這些質(zhì)量通量具有的動量為 則二者相差相當(dāng)于將固體壁面向流動內(nèi)部移動一個 2的距離 即 2即稱為動量損失厚度或簡稱為動量厚度 圖中水平陰影部分面積為位移厚度 1 豎向陰影部分面積為動量損失厚度 2 與和兩坐標(biāo)軸間所形成矩形的面積即為邊界層厚度 面積比較可得 0 01 0 1 0 y u U 1 u U 1 u U u U u U U 圖5 3邊界層內(nèi)u U 1 u U u U 1 u U 5 2 4邊界層能量損失厚度邊界層內(nèi)的流速降低同樣使流體的動能通量也減小了 能量損失厚度定義為 由能量厚度可以計算流動的水頭損失 邊界層外的勢流區(qū)不會由能量損失 能量損失完全產(chǎn)生于邊界層內(nèi) 單寬重量流體的動能損失為流速水頭損失 式中q為二位流動是單位寬度過水段面的體積流量 5 2 5舉例為了形象地說明邊界層幾個厚度的關(guān)系 先對一個邊界層內(nèi)流速為線性分布的典型情況進行分析 如圖5 4 設(shè)流速分布為 則定義為邊界層形狀參數(shù) 則此時 2 3 1 U u u o y 圖5 4邊界層各種厚度的比較 5 3不可壓縮層流邊界層基本方程和邊界條件 5 3 1平壁面層流邊界層基本方程 5 1 5 2 5 3 為了簡化此方程組 首先對它進行無量綱化 根據(jù)邊界層流動的特點 可以選取L 及U分別為x y及u的特征值 并且可知 故可取為v的特征量 當(dāng)邊界層中沿流動方向的壓力梯度與慣性力具有相同量級時 則有于是可取為p的特征量 我們假定在邊界層中 t具有L ue的量級 用這些特征量去度量各相應(yīng)的物理量 則可得到量級為1的無量綱物理量 5 4 將這些無量綱量代入基本方程式得 5 5 5 6 5 7 由于式中 號的各物理量具有1的量級 因此上式各項的量級完全取決于各項無量綱系數(shù)的量級 由于我們討論的是雷諾數(shù)Re 1的問題 因此1 Re 1 1 Re2 1 于是方程式 5 5 5 7 中帶有1 Re 1 Re2系數(shù)的項可以忽略 可得 5 8 5 9 5 10 利用式 5 4 將上式還原為有量綱的形式的方程為 5 11 5 12 5 13 這就是沿平壁面的不可壓縮流體平面層流邊界層的基本方程組 由式 5 12 可知 壓力沿y方向為常數(shù) 即p pe x t 式中pe x t 是主流在邊界層外緣上的壓力分布 對于邊界層問題的求解來說 pe x t 是已知函數(shù) 于是上式中的可寫成由此 沿平壁面的不可壓縮流體二元層流邊界層的基本方程為 5 14 5 15 這就是求解邊界層中v u的封閉方程組 5 3 2邊界層的邊界條件和起始條件 邊界層的邊界由物面 y 0 及邊界外緣 y 所組成因此 邊界層的邊界條件就是指物面條件和邊界層外緣條件 在物面上 y 0 流體速度滿足在邊界層外緣 y 流體被看成是理想流體 因此或?qū)懗?5 17 5 16 根據(jù)前述的邊界層中的物理的量級關(guān)系式5 4可得 因此邊界層外緣條件可寫成 5 18 因此邊界層外緣速度條件可寫成 5 19 嚴(yán)格說來 在y 處 而是 如下圖 故準(zhǔn)確的外緣速度條件應(yīng)是 5 20 同理 邊界條件式5 18的準(zhǔn)確形式應(yīng)為 5 21 邊界層外緣 圖5 5 對于不定常流動 還必須給出運動的初始條件 即給出時刻的速度場 5 22 5 23 至此 我們得到了不可壓縮層流邊界層的基本方程和邊界條件 5 3 3邊界層壁面阻力系數(shù)壁面阻力是邊界層計算的重要課題之一 現(xiàn)給出它們的計算公式 在直角坐標(biāo)系中 切應(yīng)力公式為 若曲壁面曲率半徑滿足 則在邊界層坐標(biāo)系中 上式仍然可用 根據(jù)邊界層中各物理量級特點 切應(yīng)力公式可寫為于是壁面切應(yīng)力可寫成通常用局部阻力系數(shù)表示壁面切應(yīng)力 其定義為顯然 與速度梯度的關(guān)系為 5 24 5 25 5 26 5 27 5 28 5 4平壁面層流邊界層的勃拉修斯解 勃拉修斯精確地求解了零壓梯度的定常不可壓縮平壁面上的平面層流邊界層 所謂零壓梯度指在上述條件下 平壁面邊界層方程式可寫成 5 29 5 30 相應(yīng)的邊界條件為 5 3 2平壁面層流邊界層的勃拉修斯解 勃拉修斯求解此問題的步驟如下 1 利用邊界層流動的特點 將基本方程改造常微分方程 2 利用級數(shù)展開的方法 求解常微分方程 得出數(shù)值解 為把方程改造為常微分方程 引進變換式為 5 31 5 32 于是 5 33 5 34 5 35 5 36 其次在引進一函數(shù)f如下 5 37 于是有 5 38 函數(shù)f與流函數(shù) 有密切的關(guān)系 其關(guān)系式如下 5 39 由上可求出分速度v 5 40 將它們代入邊界層方程組中的運動方程并利用變換關(guān)系式可得或 5 41 邊界條件式可寫為從上面三個邊界條件可以看出他們都與 無關(guān) 即f f 于是方程式 5 28 可寫成 5 42 這樣平板邊界層問題最后歸結(jié)為求解上述三階常微分方程的邊值問題 二結(jié)果分析 一 邊界層內(nèi)速度分布由前知于是速度可寫成 5 43 5 44 二 邊界層的各種厚度 1 名義厚度 我們已經(jīng)認為規(guī)定 在邊界層外緣速度為由此可以求出邊界層的名義厚度 由于 4 92于是由此可得 5 45 2 排擠厚度 1將變化關(guān)系式代入排擠厚度公式 得將速度公式代入可得式中 4 92 且f 3 18故平板邊界層的流量排擠厚度為 5 46 3 動量損失厚度 2將變換關(guān)系式代入動量損失公式為將速度公式代入可得式中 4 92 進行積分可得平板邊界層動量損失厚度 2 5 47 第六章湍流模型理論 6 1引言湍流模型理論是以雷諾平均運動方程與脈動運動方程為基礎(chǔ) 依靠理論與經(jīng)驗的結(jié)合 引進一系列模型假設(shè) 建立一組描寫湍流平均量的封閉方程組的理論計算方法 1872年布辛涅斯克就提出用渦粘性系數(shù)來模擬雷諾應(yīng)力 二次世界大戰(zhàn)前 人們發(fā)展了一系列所謂半經(jīng)驗理論 其中包括得到最廣泛應(yīng)用的普朗特混和長理論 以及G I泰勒的渦量轉(zhuǎn)移理論和馮 卡門的相似性理論等 他們的基本思想都是建立關(guān)于雷諾應(yīng)力的模型假設(shè) 使得雷諾平均運動方程組得以封閉 1940年周培源在世界上首次建立了一般湍流的雷諾應(yīng)力所滿足的輸運微分方程組 其中又出現(xiàn)了三元速度關(guān)聯(lián)等新未知量 必須引用一些假設(shè) 才能使方程組封閉 1951年原西德Rotta又發(fā)展了周培源所開創(chuàng)的工作 提出了完整的雷諾應(yīng)力模式 他們的工作現(xiàn)在被認為是以二階封閉模式為主的現(xiàn)代湍流模式理論的最早的奠基性工作 6 2模擬的原則根據(jù)我們對湍流現(xiàn)象的了解以及建立封閉方程組的基本目的 可以提出以下基本假設(shè)與原則作為建立湍流二階封閉模式的依據(jù) 1 經(jīng)平均處理的納維 斯托克斯方程與脈動方程是我們的基本出發(fā)點 2 在二階封閉模式的范圍內(nèi) 所有湍流高階特征量都只是 u p T 與 等的函數(shù) 3 所有被模擬的項在模擬后的形式必須與其原項有相同的量綱 4 被模擬后的形式必須與原項有相同的數(shù)學(xué)特性 例如對稱性 不變性 置換性 跡為零等 5 各湍流特征量的湍流擴散速度均假設(shè)與該量的梯度成正比 6 高雷諾數(shù)特性 即所有主要由大尺度渦決定的性質(zhì)不受粘性影響 而小尺度渦結(jié)構(gòu)在統(tǒng)計上則與平均運動和大尺度渦無關(guān) 是各向同性的 此假設(shè)適用于各種流動中 除了十分鄰近固壁的區(qū)域外 7 湍流各種尺度或者可 k 如 特別是對于那些主要由大尺度渦決定的性質(zhì) 或者可用 表示 即 后者僅用于由小尺度渦決定的性質(zhì) 8 可實現(xiàn)性 模擬后的運輸方程組不應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生在物理上不可能的值 如負的正應(yīng)力或湍流能量 關(guān)聯(lián)系數(shù)大于1等 從這些假設(shè)出發(fā) 人們?nèi)钥梢杂酶鞣N不同的方法建立湍流模型 評判一個模型優(yōu)劣的準(zhǔn)則應(yīng)該是 當(dāng)將該模型用于各種不同的流動時 若不調(diào)整其中的常數(shù)值 它能以多大精確度來描寫流動 同時從工程實際的觀點 還要考慮其計算費用的經(jīng)濟性 湍流的統(tǒng)計平均法一時均法在湍流流場的某固定點上 與不同時可測量該處的速度 以圓管軸上某一點的軸向流速為例 每次試驗的速度變化都極不規(guī)則 但是兩次試驗在相當(dāng)長的時間內(nèi)的平均值相同 顯然 對于具有這種隨機性質(zhì)的湍流采用按時間平均的方法較為合適時均法的確切定義為應(yīng)滿足下列要求 平均值與平均的起始時刻t0及時間間隔 只要足夠長 T無關(guān) 而且平均值本身不再是時間的函數(shù) 因此時均法只能用于討論定常的湍流流動 二體均法湍流的隨機變量不僅表現(xiàn)在時間上 在空間上也具有隨機性 任一時刻 在軸上的速度分布都是極不規(guī)則的 但是若在距離L內(nèi)求速度的平均值 則任意兩次的試驗結(jié)果有相同的平均值 顯然 具有這種能夠隨機性質(zhì)的湍流采用按體積平均的方法較為合適 一維體均法的確切定義是式中是在相同條件下任一次試驗的速度分布 是沿x方向L段上的的平均值 同理我們可以定義空間意義上的平均 即體均法式中 為包含某空間點 x y z 在內(nèi)的足夠大的體積 稱為 x y z 點處的體均值 因此嚴(yán)格說來 體均法只適用于描述對體均值而言的均勻的湍流流場 三概率平均法時均法和體均法只適用于兩種特殊狀態(tài)的湍流 前者適用于定常湍流 后者適用于均勻湍流 對于一般的不定常非均勻湍流 可以采用隨機變量的一般平均法 即概率平均法 概率平均法的出發(fā)點是將重復(fù)多次的試驗結(jié)果作算術(shù)平均 即式中為第k次試驗的流暢分布函數(shù) N為重復(fù)試驗次數(shù) 脈動值與平均值的性質(zhì) 1 平均值的平均仍為原平均值 2 脈動值的平均值等于零 3 脈動值乘以常數(shù)的平均值等于零 4 脈動與任一平均值乘積的平均值等于零 5 湍流值的各階導(dǎo)數(shù)的平均值等于平均值的各階導(dǎo)數(shù) 6 3雷諾應(yīng)力模型 微分模型 RSM 先來推導(dǎo)湍流的動量方程 不可壓流體的湍流瞬時流場的納維 斯托克斯方程可以寫成或可寫成 對此方程求平均值有算出方程中各項的平均值 就可得到湍流的平均動量方程 下面逐項計算根據(jù)性質(zhì)5知 利用可得于是利用性質(zhì)5 可將上式右側(cè)各項的平均值符號移入微分號內(nèi) 從而可得 利用性質(zhì)1和4 可得于是上式可寫成將它們代入動量方程式得 上式就是著名的雷諾方程 雷諾方程中的各項的物理意義如下 單位質(zhì)量流體的平均流動量的局部變化率 單位質(zhì)量流體的平均流動量的遷移變化率 單位質(zhì)量流體上的平均流壓力的合力 單位質(zhì)量流體上的平均流粘性應(yīng)力的合力上述各項與層流狀態(tài)中的各項對應(yīng) 雷諾方程中右側(cè)最后一項中的是一個二階張量 通常稱為雷諾應(yīng)力或雷諾視應(yīng)力 6 3 1雷諾應(yīng)力方程與k方程的模型首先推導(dǎo)準(zhǔn)確的雷諾應(yīng)力方程與k方程 寫出湍流脈動運動動量方程與連續(xù)方程 6 1 6 2 將Uj乘以Ui分量的動量方程加上Ui乘以Uj分量的動量方程 再求平均 便得雷諾應(yīng)力的動力學(xué)方程 湍流擴散分子擴散產(chǎn)生耗散壓力 變形 6 3 其中 其中的湍流擴散項 耗散項與壓力 變形相都是新未知相 需要建立湍流模型 如在上述方程收縮指標(biāo)i與j并除以2 便得湍流動能所滿足的微分方程 6 4 其中 下面就依次討論需要模擬的各項的湍流模型 1湍流擴散項的模擬根據(jù)原則 5 雷諾應(yīng)力的湍流擴散速度應(yīng)與雷諾應(yīng)力的梯度成正比 故 3 5 在梯度前面需要一個湍流擴散系數(shù) 其量綱為 根據(jù)原則 7 這個主要由大尺度渦決定的湍流擴散性質(zhì) 其各種尺度均應(yīng)通過 k 表示 由量綱考慮 唯一可能的形式便是 Ck為一無量綱的待定常數(shù) 在此模型中 湍流擴散系數(shù)是一與方向無關(guān)的標(biāo)量 即是一個各向同性的擴散系數(shù) 2耗散項的模擬考慮到耗散主要決定于小尺度渦運動 而根據(jù)原則 6 小尺度渦是各向同性的 于是雷諾應(yīng)力的耗散項可表示成 3 6 3壓力 變形項的模擬模擬此項最為困難 主要是因為其中包含了脈動壓力項 不僅因為我們對脈動壓力的特性知之甚少 而且至今還沒有一種儀器能測量壓力與變形速度的關(guān)聯(lián) 沒有實驗數(shù)據(jù)可供比較 首先要找出壓力通過速度來表示的關(guān)系式 對脈動運動方程3 1取散度 得到關(guān)于壓力的泊松方程 3 7 如果計算壓力的點離開固壁或自由面很遠 則根據(jù)格林定理 泊松方程的解可表示成一個在很大的區(qū)域上的積分其中r是從計算壓力的點到積分區(qū)域上任一點之間的距離 上式兩邊乘以 再求平均 便得壓力 變形項的表示式 3 7 其中帶 的項表示與積分區(qū)域的點有關(guān)的量 不帶 的項則屬于壓力 變形項所在的點 被積函數(shù)由兩部分之和組成 其中第一部分的積分記為 3 8 其中只包含與脈動速度有關(guān)的項 它的模型中也應(yīng)只包含如等量 假設(shè)考慮一各向異性的均勻湍流場 其中平均速度梯度為零 對它 雷諾應(yīng)力方程可簡化為的 3 9 其中的項將決定湍流是否會趨向各向同性 我們定義一個無量綱的表示雷諾應(yīng)力的各向異性程度的量從上一方程可導(dǎo)出在高雷諾湍流中 耗散項主要來自小尺度渦 而小尺度渦可認為是各向同性的 因而 于是有由于與一樣都是跡為零的二階對稱張量 而且當(dāng)零時 也必須為零 于是 對的最簡單的近似是如Rotta 1951 所提出的讓它直接與成正比 3 10 于是 3 11 由此方程可見 各向異性程度隨時間的增減將取決于常系數(shù)是小于1還是大于1 而許多實驗表明 高雷諾數(shù)時 湍流的確是趨向各項同性的 故應(yīng)取 Launder認為最有利的值大約為的1 8 而陳景仁教授則建議取 對于壓力 變形項3 7式的第二部分有 3 12 在數(shù)學(xué)上 它也是跡為零的二階對稱張量 在物理上 它反應(yīng)了平均運動變形速度與脈動速度間的相互作用 對它的模擬必須通過在數(shù)學(xué)上 它也是跡為零的二階對稱張量 在物理上 它反應(yīng)了平均運動變形速度與脈動速度間的相互作用 對它的模擬必須通過和表示 除了鄰近如固壁或自由面這類邊界的區(qū)域以外 對這些情形 方程3 7并不適用 通常認為平均變形速度在整個積分區(qū)域上可近似地當(dāng)作均勻的 因而可將它提到積分號外面 3 13 剩下的積分只與脈動速度有關(guān) 且具有與一樣的量綱 1 準(zhǔn)各向同性模型 Quasi isotropicModel 這是最廣為人知的模型 最簡單的推導(dǎo)是假設(shè)式3 20中的積分可表示成的線性組合 并具有與積分本身相同的對稱性質(zhì) 結(jié)果是 3 14 其中 對于各向同性的雷諾應(yīng)力可以證明不管的值如何選取 恒有 3 15 常數(shù)C2的值通常是根據(jù)對剪切湍流的計算與實驗數(shù)據(jù)的匹配來選擇 Launder 1975 給出的最佳近似值為0 4 2 產(chǎn)生項的各向同性化模型 Isotropizationofproductionmodel Naot Reynolds 1970 提出 根據(jù)直覺 的作用應(yīng)使平均變形所引起的的產(chǎn)生率趨向各向同性化 由此假設(shè) 3 16 此式也可理解為式3 14的截斷形式 只保留了其中的第一項 在各向同性的雷諾應(yīng)力情形 如取 也能得到準(zhǔn)確的形式3 15 Launder等人 1975 對一些剪切流的計算結(jié)果表明 如取 似乎給出更好的總體結(jié)果 但陳景仁建議的值 由于式3 16的簡單性 在實際應(yīng)用中比式3 14更有吸引力 到此 雷諾應(yīng)力方程中的所有新未知項都已有了至少一種湍流模型 匯總以上結(jié)果 按照其中最簡單的 事實上也是最常用的模型模擬以后的雷諾應(yīng)力方程可寫成 3 17 模擬后的湍流動能則為 3 18 其中的經(jīng)驗常數(shù)可取為 3 3 2 方程的模型 在雷諾應(yīng)力的模型方程3 17中還包含著一個未知量 須建立一個 的方程 在這里實質(zhì)上需要的只是一個標(biāo)量的湍流長度尺度或時間尺度 我們現(xiàn)在已經(jīng)有了一個可以用k表示的湍流速度尺度 即 如再給一個長度尺度 就可推出時間尺度 或者如有了時間尺度T 就可得到長度尺度 當(dāng)然還可以選擇其他變量 只要由此能決定湍流的長度尺度或時間尺度 例如kl或湍流 頻率 當(dāng)然最普遍的選擇是湍動能耗散率 因為 本身在雷應(yīng)力方程中作為未知量出現(xiàn) 而且 有確切的物理意義 并可直接測量 其他量則沒有這些優(yōu)點 首先要推導(dǎo)準(zhǔn)確的 的方程 如將ui分量的動量方程3 1對xj求偏微商 乘以 再求平均 便得如下的 方程湍流擴散分子擴散產(chǎn)生I 3 19 產(chǎn)生 小渦拉伸產(chǎn)生粘性破壞這個方程極其復(fù)雜 幾乎方程右邊的每一個項都是新未知項 都需要建立模型 在逐項模擬以前 首先估計一下各項的量極 以便預(yù)先舍去可忽略的項 我們?nèi)作為平均速度的尺度 L作為一切平均量變化的長度尺度 并認為它就是湍流中的大渦尺度 對于不在微分號內(nèi)的脈動速度 認為主要貢獻來自含能渦 取作為速度尺度 對于脈動速度的微商則認為主要貢獻來自于平衡范圍的小渦 取柯爾莫戈洛夫的尺度與作為其速度尺度與長度尺度 對于由脈動速度與其微商組成的關(guān)聯(lián) 如 考慮到含能渦與小尺度渦之間的相關(guān)程度隨湍流雷諾數(shù)的增長而減小 因而其數(shù)量級應(yīng)減小一個的因子 其中的冪指數(shù)n可如下確定 因為 做兩邊的量級估計 由此得 這里利用了湍流統(tǒng)計理論中的結(jié)論 與是同級的 表3 1給出方程3 19中各項的量級估計情況 表中最后一行是在用對流項的量級進行正規(guī)化后各項的量級比較 在此量級估計中 第一個產(chǎn)生項雖然有與對流項相同的量級 但利用小渦的各向同性性質(zhì)可以證明該項實際上接近于零 從各向同性湍流的統(tǒng)計理論我們知道因而因此方程中的兩個產(chǎn)生項均可忽略不計 由上表中可見 方程中最后兩項要比其他各項大得多 鑒于方程必須平衡 這兩個大項必定有相反的符號 粘性破壞項恒為負 相當(dāng)于一個匯項 由小渦拉伸引起的產(chǎn)生項必為正 相當(dāng)于一個源項 而且兩項大體相抵 其差至多為1的量級 可見粘性耗散率 隨時間的增減主要取決于這個大項的差 但非常遺憾的是 這兩項都是由極高波數(shù)的小尺度渦決定的 在現(xiàn)在和可預(yù)見將來都是不可測量的量 我們對這兩個相項幾乎一無所知 因而想要比較嚴(yán)格地模擬方程 是不可能的 坦率地說 下面要做的模擬主要是根據(jù)了量綱分析 直覺和類比 并沒有多少邏輯推理 而且最重要的只是要對兩個大項之差做出比較合理的模擬 而不在乎每項本身 3 3 2 1湍流擴散項的模擬雖然這項的量級很小 我們還是給出它的模型 根據(jù)第5與第7條原則與量綱上的考慮 很容易給出如下模型 3 20 3 3 2 2小渦拉伸引起的產(chǎn)生項與粘性破壞項的模擬如前所述這兩項必須同時考慮 重要的是模擬好它們的差 前有一項相當(dāng)于的一個源項 對它的假設(shè)是源項應(yīng)正比于湍能產(chǎn)生項 理由是如因的增加引起湍能的增加 則耗散率也應(yīng)相應(yīng)地增加 再考慮量綱 便有 3 21 粘性破壞項的模型應(yīng)使網(wǎng)格后的均勻湍流在能量衰減時 也衰減得足夠快 以防止湍流能量變成負值 最廣泛采用的形式為 3 22 這兩個式子都是Davydov 1961 最早提出的 Lumley從另一個角度考慮也得到同樣的模型 他認為在局部平衡的湍流中 即當(dāng)時 應(yīng)保持守恒 即 的增長速度為零 由此他假設(shè)這兩項之差應(yīng)與成正比 為了與實驗數(shù)據(jù)更好的符合 又讓兩個常數(shù)獨立 以增加調(diào)整的自由度 綜合以上結(jié)果 最廣泛采用的模擬后的 的方程為 3 23 其中的經(jīng)驗常數(shù)由陳景仁推薦的值為 3 3 3方程的模型在涉及傳熱或其他標(biāo)量輸運問題中 在平均溫度或標(biāo)量的對流擴散方程中出現(xiàn)了湍流交換項 這里 可理解為脈動溫度或脈動標(biāo)量 在二階封閉模型的范圍內(nèi)還必須建立的模型方程 準(zhǔn)確的方程可以如下導(dǎo)出 將 乘以ui分量的動量方程與ui乘以 的微分方程相加 并求平均 便得湍流擴散分子擴散 3 24 產(chǎn)生耗散壓力 溫度摩擦方程右邊各新未知項可參照對雷諾應(yīng)力方程的模擬建立模型 3 3 3 1擴散項的模擬3 3 3 2耗散項的模擬因為耗散主要來自各向同性的小尺度渦 如讓i方向坐標(biāo)反向 此項就改號 由各向同性此項必為零 3 3 3 3壓力 溫度項的模擬3 3 3 4摩擦項的模擬因為與其他項相比這一項的量級是很小的 最后可得模擬后的方程 3 25 其中的經(jīng)驗常數(shù)由實驗確定 于是得到了完整的雷諾應(yīng)力模型 包括 由平均運動的1個連續(xù)方程和3個動量方程 雷諾應(yīng)力的6個方程 k方程與 方程 總共包含12個未知量的12個微分方程組成的封閉方程組 如還要計算溫度或其它標(biāo)量的分布 則還要加上1個平均溫度方程與3個的方程 總共有16個方程 對于一般工程中的湍流流動問題 這個方程組實在是太龐大了 計算所需的計算機時間和費用太多了 為減少計算工作量 又提出了許多種簡化的模型 3 4代數(shù)應(yīng)力的模型 模型 ASM 雷諾應(yīng)力模型的計算工作量之所以很大是因為雷諾應(yīng)力的方程 3 17 都是偏微分方程 其實 的微分只包含在對流與擴散兩項中 如果在某些條件下可將對流與擴散消去 則方程就化為代數(shù)方程 計算工作量必能大幅度減少 有兩種情況可考慮消去對流與擴散項 一種情況是高剪切的流動 其中雷諾應(yīng)力的產(chǎn)生項很大 而對流項與擴散項相對很小 另一種情況是所謂局部平衡的湍流 產(chǎn)生項與耗散項基本相抵 對流項也與擴散項大體相等 雷諾應(yīng)力方程3 17在消去了對流項與擴散項之后 便化為6個代數(shù)方程 3 26 在必須考慮溫度或其他標(biāo)量輸運的問題里 如果流動是有高溫度 或其他標(biāo)量 梯度的高剪切流或局部平衡的湍流 在的方程中可近似地忽略對流項與擴散 方程 3 25 也化簡為代數(shù)方程 3 27 在以上代數(shù)模型中要將對流項與擴散項完全略去 這對流動的限制很苛刻 所做的近似也過于粗糙 Rodi 1972 提出了另一種代數(shù)模型 它部分地保留了對流項與擴散項的效應(yīng) 他假設(shè)了與 成正比 于是將雷諾應(yīng)力方程3 17中的對流項與擴散項放在一起 利用 方程3 18 可化為代數(shù)形式 因此 雷諾應(yīng)力方程3 17就簡化為代數(shù)方程 3 28 在必須考慮溫度或標(biāo)量輸運的問題里 也假設(shè)正比于 于是 類似地有 3 29 這一組代數(shù)應(yīng)力方程要比上面的方程3 26與3 27有改進 但在有對稱平面或?qū)ΨQ軸線的流動中 如射流 尾流等 就不合適 對這些流動 在中心線上 湍流剪應(yīng)力應(yīng)為零 而 值很高 不與k成正比 而且對流與擴散項都是主要項 用這代數(shù)應(yīng)力方程3 26與3 27 或者3 28與3 29 分別代替微分應(yīng)力方程3 17與3 25 再加上平均運動的連續(xù)方程 動量方程與平均標(biāo)量方程 還要加上 方程3 18與方程3 23 就構(gòu)成了封閉的方程組 3 5二方程模型 渦粘性模型 模型 在進一步簡化的模型中 人們干脆放棄了給雷諾應(yīng)力或建立方程的企圖 而將它們直接用推廣的Boussnesq的渦粘性模型來表示 3 30 3 31 其中渦粘性系數(shù)與渦傳熱系數(shù)要用 和 來表示 根據(jù)量綱分析