三角形的五心整理

精品文檔 1歡迎下載 中英文學校自主招生平面幾何講義 三角形的五心 中英文學校自主招生平面幾何講義 三角形的五心 一 三角形的重心一 三角形的重心 1 1 重心的性質(zhì) 重心的性質(zhì) 1 重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為 2 1 證明一 三角形 ABC E F 是 AB AC 的中點 EC FB 交于 G 過 E 作 EH 平行 BF AE BE 推出 AH HF 1 2AF AF CF 推出 HF 1 2CF 推出 EG 1 2CG 2 重心和三角形 3 個頂點組成的 3 個三角形面積相等 證明二 證明方法 在 ABC 內(nèi) 三邊為 a b c 點 O 是該三角形的重心 AOA1 BOB1 COC1 分別為 a b c 邊上的中線根據(jù)重心性質(zhì)知 OA1 1 3AA1 OB1 1 3BB1 OC1 1 3CC1 過 O A 分別作 a 邊上高 h1 h 可知 Oh1 1 3Ah 則 S BOC 1 2 h1a 1 2 1 3ha 1 3S ABC 同理可證 S AOC 1 3S ABC S AOB 1 3S ABC 所以 S BOC S AOC S AOB 3 重心到三角形 3 個頂點距離平方的和最小 等邊三角形 證明方法 精品文檔 2歡迎下載 設(shè)三角形三個頂點為 x1 y1 x2 y2 x3 y3 平面上任意一點為 x y 則該點到三頂點距離平方和為 x1 x 2 y1 y 2 x2 x 2 y2 y 2 x3 x 2 y3 y 2 3x 2 2x x1 x2 x3 3y 2 2y y1 y2 y3 x1 2 x2 2 x3 2 y1 2 y2 2 y3 2 3 x 1 3 x1 x2 x3 2 3 y 1 3 y1 y2 y3 2 x1 2 x2 2 x3 2 y1 2 y2 2 y3 2 1 3 x1 x2 x3 2 1 3 y1 y2 y3 2 顯然當 x x1 x2 x3 3 y y1 y2 y3 3 重心坐標 時 上式取得最小值 x1 2 x2 2 x3 2 y1 2 y2 2 y3 2 1 3 x1 x2 x3 2 1 3 y1 y2 y3 2 最終得出結(jié)論 4 在平面直角坐標系中 重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均 即其坐標為 X1 X2 X3 3 Y1 Y2 Y3 3 空間直角坐標系 橫坐標 X1 X2 X3 3 縱坐標 Y1 Y2 Y3 3 豎坐 標 z1 z2 z3 3 5 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點 6 在 ABC 中 若 MA 向量 MB 向量 MC 向量 0 向量 則 M 點為 ABC 的重心 反之也成立 7 設(shè) ABC 重心為 G 點 所在平面有一點 O 則向量 OG 1 3 向量 OA 向量 OB 向量 OC 8 相同高三角形面積比為底的比 相同底三角形面積比為高的比 證明方法 D 為 BC 中點 BD CD 又 h ABD h ACD h BOD h COD S ABD S ACD S BOD S COD 即 S AOF S BOF S BOD S AOE S COE S COD S BOD S COD S AOF S BOF S AOE S COE 精品文檔 3歡迎下載 同理 E 為 AC 中點 S AOF S BOF S BOD S COD S AOE S COE S BOD S COD 又 S BOF S BOD S COD OF OC S AOF S AOE S COE 即 S BOF S AOF BF AF CF 為 AB 邊上的中線 即三角形的三條中線相交于一點 重心順口溜重心順口溜 三條中線必相交 交點命名為 重心 重心分割中線段 線段之比聽分曉 長短之比二比一 二 三角形的外心二 三角形的外心 定義定義 三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心三角形的外心 三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點 三角形的三個頂點就 在這個外接圓上 三條中垂線共點證明三條中垂線共點證明 l m分別為線段 AB AC 的中垂線 精品文檔 4歡迎下載 AF BF CF BC 中垂線必過點 F 三角形外心的性質(zhì)三角形外心的性質(zhì) 設(shè) ABC 的外接圓為 G R 角 A B C 的對邊分別為 a b c p a b c 2 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 1 銳角三角形的外心在三角形內(nèi) 2 直角三角形的外心在斜邊上 與斜邊中點重合 3 鈍角三角形的外心在三角形外 性質(zhì)性質(zhì) 2 2 BGC 2 A 或 BGC 2 180 A 性質(zhì)性質(zhì) 3 3 GAC B 90 證明 如圖所示延長 AG 與圓交與 P A C B P 四點共圓 P B P GAC 90 GAC B 90 性質(zhì)性質(zhì) 4 4 點 G 是平面 ABC 上一點 點 P 是平面 ABC 上任意一點 那么點 G 是 ABC 外心的充要條件是 1 向量 PG tanB tanC 向量 PA tanC tanA 向量 PB tanA tanB 向量 PC 2 tanA tanB tanC 或 2 向量 PG cosA 2sinBsinC 向量 PA cosB 2sinCsinA 向量 PB cosC 2sinAsinB 向量 PC 性質(zhì)性質(zhì) 5 5 三角形三條邊的垂直平分線的交于一點 該點即為三角形外接圓 的圓心 外心到三頂點的距離相等 性質(zhì)性質(zhì) 6 6 點 G 是平面 ABC 上一點 那么點 G 是 ABC 外心的充要條件 向 量 GA 向量 GB 向量 AB 向量 GB 向量 GC 向量 BC 向量 GC 向量 GA 向 量 CA 0 三角形外心的做法三角形外心的做法 分別作三角形兩邊的中垂線交點計作 O 精品文檔 5歡迎下載 以 O 為圓心 OA 為半徑畫圓 圓 O 即為所求 外心的求法外心的求法 設(shè)三角形三邊及其對角分別為 a b c A B C 正弦定理有 r a 2sinA b 2sinB c 2sinC r abc 4S ABC 三 三角形內(nèi)心三 三角形內(nèi)心 定義定義 在三角形中 三個角的角平分線的交點是這個三角形內(nèi)切圓的圓心 而三角形內(nèi)切圓的圓心就叫做三角形的內(nèi)心 該點到三邊距離相等 三條角分線共點證明三條角分線共點證明 證明 如圖所示 作 B C 角分線與 AC AB 交與 F D CD 與 BF 交與 I 連接 AI 交 BC 于 E 由塞瓦定理有 AD BD BE CE CF AF 1 精品文檔 6歡迎下載 BF CD 為角分線 由角分線定理有 AD BD AC BC CF AF BC AB BE CE AB AC 由角平分線定理的逆定理有 AE 為 A 的角分線 證畢 三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形內(nèi)心的性質(zhì) 設(shè) ABC 的內(nèi)切圓為 I r 角 A B C 的對邊分別為 a b c p a b c 2 1 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等 都等于內(nèi)切圓半徑 r 2 BIC 90 A 2 3 如圖 在 RT ABC 中 A 90 內(nèi)切圓切 BC 于 D 則 S ABC BD CD 4 點 O 是平面 ABC 上任意一點 點 I 是 ABC 內(nèi)心的充要條件是 向量 OI a 向量 OA b 向量 OB c 向量 OC a b c 5 ABC 中 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 那么 ABC 內(nèi)心 I 的坐 標是 ax1 a b c bx2 a b c cx3 a b c ay1 a b c by2 a b c cy3 a b c 6 歐拉定理 ABC 中 R 和 r 分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑 O 和 I 分別為其外心和內(nèi)心 則 OI 2 R 2 2Rr 7 點 O 是平面 ABC 上任意一點 點 O 是 ABC 內(nèi)心的充要條件是 a 向量 OA b 向量 OB c 向量 OC 向量 0 8 雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內(nèi)心在實軸的射影為 對應支的頂點 9 ABC 中 內(nèi)切圓分別與 AB BC CA 相切于 P Q R 則 AP AR b c a 2 BP BQ a c b 2 CR CQ b a c 2 r b c a tan A 2 2 10 內(nèi)角平分線定理 ABC 中 0 為內(nèi)心 A B C 的內(nèi)角平分線分別交 BC AC AB 于 Q P R 則 BQ QC c b CP PA a c BR RA a b 精品文檔 7歡迎下載 三角形內(nèi)心的做法三角形內(nèi)心的做法 做出三角形的外接圓 O 過 O 分別作 AC BC 任意兩邊 垂線與圓 O 交于 E F 連接 AF BE 交于 I 點 I 即為內(nèi)心 三角形內(nèi)接圓半徑三角形內(nèi)接圓半徑 1 在 Rt ABC 中 C 90 r a b c 2 2 在 RT ABC 中 C 90 r ab a b c 3 任意 ABC 中 r 2 S ABC C ABC C 為周長 四 三角形垂心四 三角形垂心 三角形垂心的性質(zhì)三角形垂心的性質(zhì) 設(shè) ABC 的三條高為 AD BE CF 其中 D E F 為垂足 垂心為 H 角 A B C 的對邊分別為 a b c p a b c 2 1 銳角三角形的垂心在三角形內(nèi) 直角三角形的垂心在直角頂點上 鈍角 三角形的垂心在三角形外 2 三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心 或者說 三角形的內(nèi)心是它旁心 三角形的垂心 3 垂心 H 關(guān)于三邊的對稱點 均在 ABC 的外接圓上 4 ABC 中 有六組四點共圓 有三組 每組四個 相似的直角三角形 且 AH HD BH HE CH HF 5 H A B C 四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心 并稱這 樣的四點為一 垂心組 6 ABC ABH BCH ACH 的外接圓是等圓 精品文檔 8歡迎下載 7 在非直角三角形中 過 H 的直線交 AB AC 所在直線分別于 P Q 則 AB AP tanB 三角形的垂心與外心的位置關(guān)系 AC AQ tanC tanA tanB tanC 8 三角形任一頂點到垂心的距離 等于外心到對邊的距離的 2 倍 9 設(shè) O H 分別為 ABC 的外心和垂心 則 BAO HAC ABH OBC BCO HCA 10 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之 和的 2 倍 11 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心 銳角三角形的內(nèi)接三角形 頂點在原三角形的邊上 中 以垂足三角形的周長最短 12 西姆松 Simson 定理 西姆松線 從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形 的外接圓上 13 設(shè)銳角 ABC 內(nèi)有一點 T 那么 T 是垂心的充分必要條件是 PB PC BC PB PA AB PA PC AC AB BC CA 五 三角形旁心五 三角形旁心 1 1 旁切圓的圓心叫做三角形的旁心 旁切圓的圓心叫做三角形的旁心 精品文檔 9歡迎下載 三角形五心 2 與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓 三角形旁心的性質(zhì)三角形旁心的性質(zhì) 設(shè) ABC 在 A 內(nèi)的旁切圓 I1 r1 與 AB 的延長線切于點 P1 內(nèi)切圓半徑為 r 1 三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點 該點即為三角形 的旁心 2 旁心到三角形三邊的距離相等 3 三角形有三個旁切圓 三個旁心 旁心一定在三角形外 4 BI1C 90 A 2 5 AP1 r1 cot A 2 a b c 2 6 AI1B C 2 7 S ABC r1 b c a 2 8 r1 rp p a 9 r1 p b p c r 10 1 r1 1 r2 1 r3 1 r 11 r1 r tanB 2 tanC 2 12 直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半 精品文檔 10歡迎下載 中英文學校自主招生平面幾何講義 中英文學校自主招生平面幾何講義 四點共圓 四點共圓 一 證明四點共圓有下述一些基本方法 一 證明四點共圓有下述一些基本方法 方法方法 1 1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓 然后證另一點也在這個圓上 若能證明這一 點 即可肯定這四點共圓 方法方法 2 2 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形 且兩三角形都在這底邊的同側(cè) 若能 證明其頂角相等 同弧所對的圓周角相等 從而即可肯定這四點共圓 若能證明其兩頂 角為直角 即可肯定這四個點共圓 且斜邊上兩點連線為該圓直徑 方法方法 3 3 把被證共圓的四點連成四邊形 若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補 角的內(nèi)對角時 即可肯定這四點共圓 方法方法 4 4 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段 若能證明它們各自被交點分成的兩線段 之積相等 即可肯定這四點共圓 相交弦定理的逆定理 或把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并 延長相交的兩線段 若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另 一線段兩端點所成的兩線段之積 即可肯定這四點也共圓 割線定理的逆定理 方法方法 5 5 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等 從而確定它們共圓 既連成的四邊形三邊 中垂線有交點 即可肯定這四點共圓 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù) 就是產(chǎn)生四點共圓的一種原因 因此當要求證 四點共圓的問題時 首先就要根據(jù)命題的條件 并結(jié)合圖形的特點 在這五種基本方法中 選擇一種證法 給予證明 判定與性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形的對角和為 180 并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角 精品文檔 11歡迎下載 如四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓 O 延長 AB 和 DC 交至 E 過點 E 作圓 O 的切線 EF AC BD 交于 P 則 A C B D 角 DBC 角 DAC 同弧所對的圓周角相等 角 CBE 角 ADE 外角等于內(nèi)對角 ABP DCP 三個內(nèi)角對應相等 AP CP BP DP 相交弦定理 四點共圓的圖片 EB EA EC ED 割線定理 EF EF EB EA EC ED 切割線定理 切割線定理 割線定理 相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理 AB CD AD CB AC BD 托勒密定理 Ptolemy 弦切角定理 方法方法 6 6 同斜邊的兩個 RT 三角形的四個頂點共圓 其斜邊為圓的直徑 編輯本段編輯本段四點共圓的定理四點共圓的定理 二 四點共圓的判定定理二 四點共圓的判定定理 方法 1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形 且兩三角形都在這底邊的同側(cè) 若能證明其頂角相等 從而即可肯定這四點共圓 可以說成 若線段同側(cè)二點到線段兩端點連線夾角相等 那么這二點和線段二端點 四點共圓 方法 2 把被證共圓的四點連成四邊形 若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于 其鄰補角的內(nèi)對角時 即可肯定這四點共圓 可以說成 若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角 那么這 四點共圓 精品文檔 12歡迎下載 拓展拓展 托勒密定理托勒密定理 1 若 ABCD 四點共圓 ABCD 按順序都在同一個圓上 那么 AB DC BC AD AC BD 例題 證明對于任意正整數(shù) n 都存在 n 個點使得所有點間兩兩距離為整數(shù) 解答 歸納法 我們用歸納法證明一個更強的定理 對于任意 n 都存在 n 個點使得所 有點間兩兩距離為整數(shù) 且這 n 個點共圓 并且有兩點是一條直徑的兩端 n 1 n 2 很輕 松 當 n 3 時 一個邊長為整數(shù)的勾股三角形即可 比如說邊長為 3 4 5 的三角形 我 們發(fā)現(xiàn)這樣的三個點共圓 邊長最長的邊是一條直徑 假設(shè)對于 n 大于等于 3 成立