高考數(shù)學(xué)難點突破_難點28__求空間距離

難點 28 求空間距離 空間中距離的求法是歷年高考考查的重點，其中以點與點、點到線、點到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離 . 難點磁場 ( )如圖，已知 矩形， AB=a,AD=b,面 2c,A 的中點 . 求： (1)Q 到 (2)P 到平面 距離 . 案例探究 例 1把正方形 對角線 E、 F 分別是 O 是原正方形的中心，求： (1)長 ； (2)折起后 大小 . 命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運算來解決立體幾何問題，屬級題目 . 知識依托：空間向量的坐標(biāo)運算及數(shù)量積公式 . 錯解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)系 y 軸、 技巧與方法：建系方式有多種，其中以 O 點為原點，以 方向分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向最為簡單 . 解：如圖，以 O 點為原點建立空間直角坐標(biāo) 系 O 正方形 長為 a,則 A(0，22a,0),B(22a,0,0),C(0, 22a,0),D(0,0, 22a),E(0,42a, a),F(42a, 42a,0) 21|,c o s,2|,2|8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(|)1(22222 20 例 2正方體 ，求異面直線 命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬級題目 . 知識依托：求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得 . 錯解分析：本題容易錯誤認(rèn)為 主要是對異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距離 . 技巧與方法：求異面直線的距離，有時較難作出它們的公垂線，故通常采 用化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得 . 解法一：如圖，連結(jié) 正方體 面 1 連結(jié) 1, 面 平面 面 結(jié) 平面 面 1O 作 G，則 面 直線 為異面直線 在 2， ， 21121 = 26 31 111 異面直線 解法二：如圖，在 ，作 ，作 ， 連結(jié) 平面 面 面 x,則 x 5， MR=x,)1(22 x31)31(23)1(21 22222 0 x 1) 當(dāng) x=31時， 1錦囊妙記 空間中的距離主要指以下七種： (1)兩點之間的距離 . (2)點到直線的距離 . (3)點到平面的距離 . (4)兩條平行線間的距離 . (5)兩條異面直線間的距離 . (6)平面的平行直線與平面之間的距離 . (7)兩個平行平面之間的距離 . 七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離 些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，平行線面間的距離或 平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點到平面的距離 . 在七種距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點 . 求點到平面的距離： (1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長 .(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離 .(3)體積法 . 求異面直線的距離： (1)定義法，即求公垂線段的長 .(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離 .(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點間距離中最小的 . 殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.( )正方形 長為 2， E、 F 分別是 中點，將正方 形沿 如圖 )， M 為矩形 一點，如果 平面 成角的正切值為21，那么點 M 到直線 距離為 ( ) 21 D . 2 3C. B . 1 2 )三棱柱 ， ， ， 0 ,設(shè)平面 l，則 l 的距離為 ( ) A. 10 B. 11 、填空題 3.( )如左下圖，空間四點 A、 B、 C、 D 中，每兩點所連線段的長都等于 a，動點 P 在線段 ，動點 Q 在線段 ，則 的最短距離為 _. 4.( )如右上圖， 果二面角 E 30，那么 平面 距離為 _. 三、解答題 5.( )在長 方體 ， ， ，如圖： (1)求證：平面 面 (2)求 (1)中兩個平行平面間的距離； (3)求點 1 6.( )已知正四棱柱 E 在棱 ，截面 面 成的角為 45 ,AB=a,求： (1)截面 (2)異面直線 (3)三棱錐 7.( )如圖，已知三棱柱 的正三角形，側(cè)棱 5角，且 E， . (1)求點 A 到平面 (2)當(dāng) 1 8.( )如圖，在梯形 ， ,31AD=a, 52, a. (1)求異面直線 (2)在線段 ，使點 參考答案 難點磁場 解： (1)在矩形 ，作 連結(jié) 面 三垂線定理得 長為 Q 到 在矩形 ， AB=a,AD=b, 2 ， 1PA=c 2222 Q 到 . (2)解法一：平面 過線段 中點， P 到平面 距離等于 在 ，作 H 為垂足 D 面 面 到平面 在 ， AQ=c,2 2222 )( P 到平面 ( 解法二：設(shè)點 A 到平面 距離為 h，由 Q 31S h=31S AQ h=22222 )( D 殲滅難點訓(xùn)練 一、 點 M 作 平面 =45 ,= 2 ,從而 2答案： A 線 l 過 B 與 l 于 D，連 1l 的距離，而 于 12,易求得 13=案： C 二、 A、 B、 C、 D 為頂點的四邊形為空間四邊形，且為正四面體， 取 P、 B、 中點，因為 Q=22a, 理可得 線段 長為 P、 Q 兩點間的最短距離，在 ， 2)2()23( 2222 a 答案：22a 然 0 ,過 G平面 ，則 G 必在 面 F 與平面 距離，即 a. 答案：25.(1)證明：由于 面 理， 面 平面 面 2)解：設(shè)兩平行平面 d，則 d 等于 1易求 ， 5 ， 13 ，則 52,則 561 ,則 S 111 = 61 ,由于111111 V ，則31 d= )21(31 111 入求得 d=616112,即兩平行平面間的距離為616112. (3)解：由于線段 1 1由(2)知點 1(1)連結(jié) ，連結(jié) 底面 正方形 5 又 2a， 2 a， 45a， S 2a (2) 面 異面直線 又 O 為 a 2 a， a (3)連結(jié) ，交 Q，推證出 三棱錐 3a 32 4 2232 2311 (1) 面 面 5， a 2a,同理 2a,又 EF=a， 2a 同理 2a,又 EF=a 等腰直角三角形， 0 過 1N 面 1到平面 21 a又 A 到平面 a=2，所求距離為 2 (2)設(shè) 、 結(jié) 1 ，易證 1 面 面 平面 面 1M平面 ， 若 1N，又 0 13 ,即當(dāng) 3 時滿足條件 . (1) C 面 而 過 A 作 面 所求 . 在等腰直角三角形 ， B=a 2a (2)作 已知 552 1,即 1 正方形， 2 a,3 a 過 A 作 6下面在 ，使 ， 為等腰直角三角形 5 +45 =90 . 學(xué)法指導(dǎo)立體幾何中的策略思想及方法 立體幾何中的策略思想及方法 近年來，高考對立體幾何的考查仍然注重于空間觀點的建立和空間想象能力的培養(yǎng) 步升高，給不同層次的學(xué)生有發(fā)揮能力的余地 幾何組合體中深層次考查空間的線面關(guān)系 考復(fù)習(xí)應(yīng)在抓好基本概念、定理、表述語言的基礎(chǔ)上，以總結(jié)空間線面關(guān)系在幾何體中的確定方法入手，突出數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用，并積極探尋解答各類立體幾何問題的有效的策略思想及方法 . 一、領(lǐng)悟解題的基本策略思想 高考改革穩(wěn)中有變 比，函數(shù)觀點仍是考查中心，選擇好典型例題，在基本數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，歸納一套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學(xué)生歡迎的，學(xué)生通過熟練運用，逐步內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，解決一般基本數(shù)學(xué)問題就會自然流暢 . 二、探尋立體幾何圖形中的基面 立體幾何圖形必須借助面的襯托 ，點、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來 明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面 過對這個平面的截得，延展或構(gòu)造