高考數學難點突破_難點34__導數的運算法則及基本公式應用

120 難點 34 導數的運算法則及基本公式應用 導數是中學限選內容中較為重要的知識，本節(jié)內容主要是在導數的定義，常用求等公式 難點磁場 ( )已知曲線 C： y=3x,直線 l:y= 切于點 (x0,0)，求直線 l 的方程及切點坐標 . 案例探究 例 1求函數的導數： )1()3( )s i n()2( c o s)1( 1)1( 2322 命題意圖：本題 3 個小題分別考查了導數的四則運算法則，復合函數求導的方法，以及抽象函數求導的思 想方法 于級題目 . 知識依托：解答本題的閃光點是要分析函數的結構和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉化為基本函數的導數 . 錯解分析：本題難點在求導過程中符號判斷不清，復合函數的結構分解為基本函數出差錯 . 技巧與方法：先分析函數式結構，找準復合函數的式子特征，按照求導法則進行求導 . o s)1(s i n)1)(1(c o s)12(c o s)1(s i n)1(c o 1(c o s)1(c o s)1() ( c o s1(c o s)1)(1(c o s)1(c o s)1(c o s)1)(1(c o s)1()1(:)1(解(2)解： y= 3, =x, =by v=x,y= = x y =( 3) =3 2 =3 2( =3 2( )=3 2( ) =3(x)2(a b x) (3)解法一：設 y=f( ), = v ,v=,則 y x=y v v x=f ( )21v 21 2x =f ( 12 x )21 112 x 2x =),1(1 22 y = f( 12 x ) =f ( 12 x ) ( 12 x ) 121 =f ( 12 x )21() 21 () =f ( 12 x )21() 21 2x =12 xx f ( 12 x ) 例 2利用導數求和 (1)+2x+3 +1(x 0,n N*) (2)1n +23 +(n N*) 命題意圖：培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力 級題目 . 知識依托：通過對數列的通項進行聯想，合理運用逆向思維 =1,可聯想到它們是另外一個和式的導數 錯解分析：本題難點是考生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯想 . 技巧與方法：第 (1)題要分 x=1 和 x 1 討論，等式兩邊都求導 . 解： (1)當 x=1 時 +2+3+ +n=21n(n+1); 當 x 1 時， x+x2+ +xn=11 , 兩邊都是關于 x 的函數，求導得 (x+x2+ + =(11 ) 即 +2x+3 +1=21)1()1(1 (2) (1+x)n=1+x+ +兩邊都是關于 x 的可導函數，求導得 n(1+x)n 1=2x+3 +1, 令 x=1 得， n 2n 1=23 + 即 1n +2 +n 2n 1 錦囊妙計 解用定義求簡單的導數 . 表示函數的平均改變量，它是 x 的函數，而 f (示一個數值，即 f 122 (x)=道導數的等價形式：)()()()(00000 0 導其本質是求極限，在求極限的過程中，力求使所求 極限的結構形式轉化為已知極限的形式，即導數的定義，這是順利求導的關鍵 . 般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤 . 鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán) 清其間的復合關系 . 殲滅難點訓練 一、選擇題 1.( )y=則 y (0)等于 ( ) C. 1 .( )經過原點且與曲線 y=59 ) A.x+y=0 或25x+y=0 y=0 或25x+y=0 C.x+y=0 或25x y=0 y=0 或25x y=0 二、填空題 3.( )若 f (2,k )()(00 =_. 4.( )設 f(x)=x(x+1)(x+2) (x+n),則 f (0)=_. 三、解答題 5.( )已知曲線 C1:y=2:y= (x 2)2,直線 1、 直線 l 的方程 . 6.( )求函數的導數 (1)y=(2x+3)(2)y=3 1 7.( )有一個長度為 5 m 的梯子貼靠在筆直的墻上，假設 其下端沿地板以 3 m/ m 時，梯子上端下滑的速度 . 8.( )求和 2+22x+32 +1 ,(x 0,n N*). 參考答案 難點磁場 解：由 l 過原點，知 k=00xy(0),點 (x0,曲線 C 上， y0=300xy=3 123 y =36x+2,k=36 又 k=00 36=3 23, 或 3由 x 0,知 3 23)3 3(23)2+223=83 k=0041 l 方程 y=41x 切點 (23，83) 殲滅難點訓練 一、 y = ,y (0)= 0)=1 答案： B 切點為 (x0,則切線的斜率為 k=00一方面， y =(59 =2)5(4x ,故 y (k,即)5( 9)5( 4 00 00020 xx 85=0 得 )= 3,)= 15,對應有)=3,)=53515 915 ,因此得兩個切點 A( 3， 3)或 B( 15,53),從而得 y (A)=3)53(4 = 1 及 y (B)= 251)515( 4 2 ,由于切線 過原點，故得切線： lA:y= x 或 lB:y=25x. 答案： A 二、 據導數的定義： f (k )()(00(這時 ) 1)(21)()()(21()( 答案： 1 4. 解析：設 g(x)=(x+1)(x+2) (x+n),則 f(x)=xg(x),于是 f (x)=g(x)+(x),f (0)=g(0)+0 g (0)=g(0)=1 2 n=n！ 答案： n! 三、 l 與 (x1,與 ( (2)2) 對于 y =2x,則與 的切線方程為 y x1(x 即 y=2 124 對于 y = 2(x 2),與 切于點 Q 的切線方程為 y+(2)2= 2(2)(x 即 y= 2(2)x+4 兩切線重合， 2 2(2)且 4,解得 , 或 , 直線 l 方程為 y=0 或 y=4x 4 (1)注意到 y 0,兩端取對數，得 ln(2x+3)+ln(2x+3)+2x (2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1(2)兩端取對數，得 ln|y|=31(ln|x| x|), 兩邊解 x 求導，得 31)1(31)1(131)1(131)111(311經時間 t 秒梯子上端下滑 s 米 ,則 s=5 2925 t ,當下端移開 1.4 m 時，57341 ,又 s =21(25 921 ( 9 2t)=9所以 s (