一元一次方程應(yīng)用題(培優(yōu)班)

初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 1 18 一元一次方程的應(yīng)用 1 列方程解應(yīng)用題的基本步驟和方法 列方程解應(yīng)用題的基本步驟和方法 步驟要求注意事項(xiàng) 審題 讀懂題目 弄清題意 找出能夠表 示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系 審題是分析解題的過(guò)程 解答過(guò)程中不 用體現(xiàn)出來(lái) 設(shè)元 設(shè)未知數(shù) 把各個(gè)量用含未知數(shù)的代數(shù)式表 示出來(lái) 設(shè)未知數(shù)一般是問(wèn)什么 就直接設(shè)什 么為 x 即直接設(shè)元 直接設(shè)元有困難時(shí) 可以間接設(shè)元 列方程根據(jù)等量關(guān)系列出方程避免列出恒等式 解方程 解這個(gè)方程 求出未知數(shù)的值如果是間接設(shè)元 求出的未知數(shù)還需要 利用其他算式得到所求的量 檢驗(yàn) 把方程的解代入方程檢驗(yàn) 或根據(jù) 實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn) 列一元一次方程解應(yīng)用題檢驗(yàn)的步驟在 解答過(guò)程中不用寫(xiě)出來(lái) 方程的解要符合實(shí)際問(wèn)題 作答寫(xiě)出答案 作出結(jié)論 這一步在列方程解應(yīng)用題中必不可少 是一種規(guī)范要求 注意 1 初中列方程解應(yīng)用題時(shí) 怎么列簡(jiǎn)單就怎么列怎么列簡(jiǎn)單就怎么列 即所列的每一個(gè)方程都直接的表示題意 不用 擔(dān)心未知數(shù)過(guò)多 簡(jiǎn)化審題和列方程的步驟 把難度轉(zhuǎn)移到解方程的步驟上 2 解方程的步驟不用寫(xiě)出 直接寫(xiě)結(jié)果即可 3 設(shè)未知數(shù)時(shí) 要標(biāo)明單位 在列方程時(shí) 如果題中數(shù)據(jù)的單位不統(tǒng)一 必須把單位換算成統(tǒng)一 單位 尤其是行程問(wèn)題里需要注意這個(gè)問(wèn)題 2 設(shè)未知數(shù)的方法 設(shè)未知數(shù)的方法 設(shè)未知數(shù)的方法一般來(lái)講 有以下幾種 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 2 18 1 直接設(shè)元 題目里要求的未知量是什么 就把它設(shè)為未知數(shù) 多適用于要求的未知數(shù)只有一 個(gè)的情況 2 間接設(shè)元 有些應(yīng)用題 若直接設(shè)未知數(shù)很難列出方程 或者所列的方程比較復(fù)雜 可以選 擇間接設(shè)未知數(shù) 而解得的間接未知數(shù)對(duì)確定所求的量起中介作用 3 輔助設(shè)元 有些應(yīng)用題不僅要直接設(shè)未知數(shù) 而且要增加輔助未知數(shù) 但這些輔助未知數(shù)本 身并不需要求出 它們的作用只是為了幫助列方程 同時(shí)為了求出真正的未知量 可以在解題時(shí)消去 4 部分設(shè)元 與 整體設(shè)元 轉(zhuǎn)換 當(dāng)整體設(shè)元有困難時(shí) 可以考慮設(shè)其一部分為未知數(shù) 反之 亦然 如 數(shù)字問(wèn)題 模塊一 數(shù)字問(wèn)題 1 多位數(shù)字的表示方法 一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字 個(gè)位數(shù)字分別為 a b 其中 a b 均為整數(shù) 則這個(gè)19a 09b 兩位數(shù)可以表示為 10ab 一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為 a 十位數(shù)字為 b 個(gè)位數(shù)字為 c 其中均為整數(shù) 且 19a 09b 則這個(gè)三位數(shù)表示為 09c 10010abc 2 奇數(shù)與偶數(shù)的表示方法 偶數(shù)可表示為 2k 奇數(shù)可表示為 其中 k 表示整數(shù) 21k 3 三個(gè)相鄰的整數(shù)的表示方法 可設(shè)中間一個(gè)整數(shù)為 a 則這三個(gè)相鄰的整數(shù)可表示 為 1 1aa a 例 1 一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中 小明認(rèn)為自己可以得滿分 不料卷子發(fā)下來(lái)一看得了 96 分 原來(lái)是由于粗心 把一個(gè)題目的答案十位與個(gè)位數(shù)字寫(xiě)顛倒了 結(jié)果自己的答案比正確答案大了 36 而正確答案的 個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的 2 倍 正確答案是多少 解析 此題中數(shù)據(jù) 96 與列方程無(wú)關(guān) 與列方程有關(guān)的量就是小明粗心后所涉及的量 設(shè)正確答案的十位數(shù)字為 則個(gè)位數(shù)字為 x2x 依題意 得 解之得 102 102 36xxxx 4x 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 3 18 于是 所以正確答案應(yīng)為 48 28x 答案 48 例 2 某年份的號(hào)碼是一個(gè)四位數(shù) 它的千位數(shù)字是 2 如果把 2 移到個(gè)位上去 那么所得的新四位數(shù) 比原四位數(shù)的 2 倍少 6 求這個(gè)年份 解析 設(shè)這個(gè)年份的百位數(shù)字 十位數(shù)字 個(gè)位數(shù)字組成的三位數(shù)為 x 則這個(gè)四位數(shù)字可以表示為 根據(jù)題意可列方程 解得2 1000 x 1022 2 10006xx 499x 答案 2499 年 例 3 有一個(gè)四位數(shù) 它的個(gè)位數(shù)字是 8 如果將個(gè)位數(shù)字 8 調(diào)到千位上 則這個(gè)數(shù)就增加 117 求這 個(gè)四位數(shù) 解析 設(shè)由原數(shù)中的千位數(shù)字 百位數(shù)字和十位數(shù)字組成的三位數(shù)為x 則這個(gè)四位數(shù)可以表示為 則調(diào)換后的新數(shù)可以表示為 根據(jù)題意可列方程 解得108x 8000 x 1088000117xx 所以這個(gè)四位數(shù)為 8758875x 答案 8758 例 4 五一放假 小明的爸爸開(kāi)車(chē)帶著小明和媽媽去郊游 他們?cè)诠飞蟿蛩傩旭?下表是小明每隔 1 小時(shí)看到的路邊里程碑上數(shù)的信息 你能確定小明在 7 00 時(shí)看到的里程碑上的數(shù)是多少嗎 時(shí)間里程碑上數(shù)的特征 7 00是一個(gè)兩位數(shù) 它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和是 7 8 00十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字與 7 00 時(shí)所看到的正好顛倒了 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 4 18 解析 設(shè)小明在 7 00 時(shí)看到的兩位數(shù)的十位數(shù)字是x 則個(gè)位數(shù)字是 根據(jù)題意可列方程 7x 解得 所以 100710 710 71007xxxxxxxx 1x 76x 答案 小明在 7 00 時(shí)看到的兩位數(shù)是 16 模塊二 日歷問(wèn)題 1 在日歷問(wèn)題中 橫行相鄰兩數(shù)相差 1 豎列相鄰兩數(shù)相差 7 2 日歷中一個(gè)豎列上相鄰 3 個(gè)數(shù)的和的最小值時(shí) 24 最大值時(shí) 72 且這個(gè)和一定是 3 的倍數(shù) 3 一年中 每月的天數(shù)是有規(guī)律的 一 三 五 七 八 十 十二這七個(gè)月每月都是 31 天 四 六 九 十一這四個(gè)月每月都是 30 天 二月平年 28 天 閏年 29 天 所以 日歷表中日期的取 值是有范圍的 例 5 下表是 2011 年 12 月的日歷表 請(qǐng)解答問(wèn)題 在表中用形如下圖的平行四邊形框框出 4 個(gè)數(shù) 1 若框出的 4 個(gè)數(shù)的和為 74 請(qǐng)你通過(guò)列方程的辦法 求出它分別是哪 4 天 2 框出的 4 個(gè)數(shù)的和可能是 26 嗎 為什么 9 00比 7 00 時(shí)看到的兩位數(shù)中間多一個(gè) 0 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 5 18 解析 1 設(shè)第一個(gè)數(shù)是x 則根據(jù)平行四邊形框框出 4 個(gè)數(shù)得其他 3 天可分別表示為 1x 6x 7x 根據(jù)題意可列方程 解得 16774xxxx 15x 所以它分別是 15 16 21 22 2 設(shè)第一個(gè)數(shù)為x 則 本月 3 號(hào)是周六 由平行四邊形框框出 4 個(gè)數(shù) 41426x 3x 得出結(jié)論 無(wú)法構(gòu)成平行四邊形 答案 1 15 16 21 22 2 無(wú)法構(gòu)成平行四邊形 例 6 如圖 框內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和為 28 請(qǐng)通過(guò)平移長(zhǎng)方形框的方法 使框內(nèi)的數(shù)字之和為 68 這樣 的長(zhǎng)方形的位置有幾個(gè) 能否使框內(nèi)的四個(gè)數(shù)字之和為 49 若能 請(qǐng)找出這樣的位置 若不能 請(qǐng)說(shuō)明理由 解析 1 設(shè)四個(gè)數(shù)字是 a 根據(jù)題意可列方程 1a 7a 8a 解得 則平移后的四個(gè)數(shù)是 13 14 20 21 17868aaaa 13a 2 設(shè)四個(gè)數(shù)字是 x 則 不合題意 舍去 1x 7x 8x 41649x 33 4 x 答案 平移后的四個(gè)數(shù)是 13 14 20 21 這樣的長(zhǎng)方形的位置只有 1 個(gè) 不存在能使四個(gè)數(shù)字的和為 49 的長(zhǎng)方形 例 7 把 2012 個(gè)正整數(shù) 1 2 3 4 2012 按如圖方式排列成一個(gè)表 1 用如圖方式框住表中任意 4 個(gè)數(shù) 記左上角的一個(gè)數(shù)為 x 則另三個(gè)數(shù)用含 x 的式子表示出 來(lái) 從小到大依次是 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 6 18 2 由 1 中能否框住這樣的 4 個(gè)數(shù) 它們的和會(huì)等于 244 嗎 若能 則求出 x 的值 若不能 則說(shuō)明理由 解析 1 記左上角的一個(gè)數(shù)為x 另三個(gè)數(shù)用含x的式子表示為 8x 16x 24x 2 不能 假設(shè)能夠框住這樣的 4 個(gè)數(shù) 則 解得 81624244xxxx 49x 49 是第七行最后一個(gè)數(shù) 不可以用如圖方式框住 答案 1 2 不能 8x 16x 24x 模塊三 和差倍分問(wèn)題 和 差 倍問(wèn)題關(guān)鍵要分清是幾倍多幾和幾倍少幾 1 當(dāng)較大量是較小量的幾倍多幾時(shí) 較大量較小量倍數(shù) 多余量 2 當(dāng)較大量是較小量的幾倍少幾時(shí) 較大量較小量倍數(shù) 所少量 例 8 一部拖拉機(jī)耕一片地 第一天耕了這片地的 第二天耕了剩下部分的 還剩下 42 公頃沒(méi)耕 2 3 1 3 完 則這片地共有多少公頃 解析 設(shè)這片地共有 x 公頃 第一天耕了這片地的 則耕地公頃 第二天耕了剩下部分的 則 2 3 2 3 x 1 3 第二天耕地 公頃 根據(jù)題意可列方程 解得 121 1 339 xx 21 42 39 xxx 189x 答案 189 例 9 牧羊人趕著一群羊?qū)ふ乙粋€(gè)草長(zhǎng)得茂盛的地方 一個(gè)過(guò)路人牽著一只肥羊從后面跟了上來(lái) 他對(duì) 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 7 18 牧羊人說(shuō) 你趕的這群羊大概有 100 只吧 牧羊人答道 如果這群羊增加一倍 再加上原來(lái) 這群羊的一半 又加上原來(lái)這群羊一半的一半 連你這只羊也算進(jìn)去 才剛好湊滿 100 只 問(wèn) 牧羊人的這群羊共有多少只 解析 設(shè)這群羊共有只 根據(jù)題意可列方程 解得 x 11 21100 24 xxx 36x 答案 36 例 10 有粗細(xì)不同的兩支蠟燭 細(xì)蠟燭之長(zhǎng)時(shí)粗蠟燭之長(zhǎng)的倍 細(xì)蠟燭點(diǎn)完需 小時(shí) 粗蠟燭點(diǎn)21 完需小時(shí) 有一次停電 將這樣的兩支未使用過(guò)的蠟燭同時(shí)點(diǎn)燃 來(lái)電時(shí) 發(fā)現(xiàn)兩支蠟燭所剩2 的長(zhǎng)度一樣 問(wèn)停電的時(shí)間有多長(zhǎng) 解析 設(shè)停電時(shí)間為小時(shí) 粗蠟燭長(zhǎng) 米 則細(xì)蠟燭長(zhǎng)米 那么細(xì)蠟燭每小時(shí)點(diǎn)燃米 粗蠟燭沒(méi)xl2l2l 小時(shí)點(diǎn)燃米 根據(jù)題意可列方程 解得 2 l 22 2 l ll xlx 2 3 x 答案 停電時(shí)間為小時(shí) 2 3 例 11 2006 年我市在全國(guó)率先成為大面積實(shí)施 三免一補(bǔ) 的州市 據(jù)悉 2010 年我市籌措農(nóng)村 義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)與 三免一補(bǔ) 專(zhuān)項(xiàng)資金 3 6 億元 由中央 省 市 縣 區(qū) 四級(jí)共同投入 其 中 中央投入的資金約 2 98 億元 市級(jí)投入的資金分別是縣 區(qū) 級(jí) 省級(jí)投入資金的 1 5 倍 18 倍 且 2010 年此項(xiàng)資金比 2009 年增加 1 69 億元 1 2009 年我市籌措農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)與 三免一補(bǔ) 專(zhuān)項(xiàng)資金多少億元 2 2010 年省 市 縣 區(qū) 各級(jí)投入的農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)與 三免一補(bǔ) 專(zhuān)項(xiàng)資金各多少億 元 3 如果按 2009 2010 年籌措此項(xiàng)資金的年平均增長(zhǎng)率計(jì)算 預(yù)計(jì) 2011 年 我市大約需要籌措 農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)與 三免一補(bǔ) 專(zhuān)項(xiàng)資金多少億元 結(jié)果保留一位小數(shù) 解析 1 億元 3 61 1 691 91 2 設(shè)市級(jí)投入 x 億元 則縣級(jí)投入億元 省級(jí)投入億元 2 3 x 1 18 x 由題意得 解得 所以 億元 億元 21 2 983 6 318 xx 0 36x 2 0 24 3 x 1 0 02 18 x 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 8 18 3 億元 1 69 3 616 8 1 91 答案 1 1 91 億元 2 省 市 縣分別投入 0 02 億元 0 36 億元 0 24 億元 3 6 8 億元 模塊四 行程問(wèn)題 一 一 行程問(wèn)題 路程 速度 時(shí)間相遇路程 速度和 相遇時(shí)間追及路程 速度差 追及時(shí)間 二 二 流水行船問(wèn)題 順流速度 靜水速度 水流速度逆流速度 靜水速度 水流速度 水流速度 順流速度 逆流速度 1 2 三 三 火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題 火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題是一種特殊的行程問(wèn)題 需要注意從車(chē)頭至橋起 到車(chē)尾離橋止 火車(chē)所行距離等于橋 長(zhǎng)加上車(chē)長(zhǎng) 列車(chē)過(guò)橋問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系為 車(chē)速 過(guò)橋時(shí)間 車(chē)長(zhǎng) 橋長(zhǎng) 例 12 有甲 乙 丙三人同時(shí)同地出發(fā) 繞一個(gè)花圃行走 乙 丙二人同方向行走 甲與乙 丙背 向而行 甲每分鐘走 40 米 乙每分鐘走 38 米 丙每分鐘走 36 米 出發(fā)后 甲和乙相遇后 3 分 鐘和丙相遇 求花圃的周長(zhǎng) 解析 設(shè)甲 乙相遇時(shí)間為 t 分鐘 則甲 丙相遇時(shí)間為分鐘 根據(jù)題意 由相遇路程相等可列 3t 方程 383634036t 答案 8892 米 例 13 某人從家里騎摩托車(chē)到火車(chē)站 如果每小時(shí)行 30 千米 那么比火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間早到 15 分鐘 若每小時(shí)行 18 千米 則比火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間遲到 15 分鐘 現(xiàn)在此人打算在火車(chē)開(kāi)車(chē)前 10 分鐘到達(dá) 火車(chē)站 則此人此時(shí)騎摩托車(chē)的速度應(yīng)為多少 解析 設(shè)此人從家里出發(fā)到火車(chē)開(kāi)車(chē)的時(shí)間為小時(shí) x 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 9 18 根據(jù)題意可列方程 解得 1515 30 18 6060 xx 1x 此人打算在火車(chē)開(kāi)車(chē)前 10 分鐘到達(dá) 騎摩托車(chē)的速度應(yīng)為 千米 時(shí) 15 30 1 60 27 10 1 60 答案 27 例 14 甲 乙兩車(chē)同時(shí)從 A B 兩地出發(fā) 相向而行 在 A B 兩地之間不斷往返行駛 甲車(chē)到達(dá) B 地后 在 B 地停留了 2 個(gè)小時(shí) 然后返回 A 地 乙車(chē)到達(dá) A 地后 馬上返回 B 地 兩車(chē)在返回 的途中又相遇了 相遇的地點(diǎn)距離 B 地 288 千米 已知甲車(chē)的速度是每小時(shí) 60 千米 乙車(chē)的速 度是每小時(shí) 40 千米 請(qǐng)問(wèn) A B 兩地相距多少千米 解析 設(shè) A B 兩地相距 x 千米 根據(jù)題意可列方程 解得 2288288 2 4060 xx 420 x 答案 420 千米 例 15 某人騎自行車(chē)從 A 地先以每小時(shí) 12 千米的速度下坡后 再以每小時(shí) 9 千米的速度走平路到 B 地 共用了 55 分鐘 回來(lái)時(shí) 他以每小時(shí) 8 千米的速度通過(guò)平路后 再以每小時(shí) 4 千米的速 度上坡 從 B 地到 A 地共用小時(shí) 問(wèn) A B 兩地相距多少千米 1 1 2 解析 間接設(shè)未知數(shù) 設(shè)從 A 地到 B 地共用 x 小時(shí) 根據(jù)題意可列方程 解得 所以 A B 兩地相距 千米 553 1293438 602 tttt 1 4 t 55 1299 60 tt 答案 9 千米 例 16 一人步行從甲地去乙地 第一天行若干千米 自第二天起 每一天都比前一天多走同樣的路 程 這樣 10 天可以到達(dá)乙地 如果每天都以第一天所行的相同路程步行 用 15 天才能到達(dá)乙地 如果每天都以第一種走法的最后一天所行的路程步行到乙地 需要幾天 解析 設(shè) a 是第一次第一天走的路程 b 是第二天起每天多走的路程 x 是所求的天數(shù) 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 10 18 則根據(jù)題意可列方程 1523456789aaababababababababab 解得 9ab 又 解得 159ax ab 7 5x 答案 7 5 天 例 17 一只小船從甲港到乙港逆流航行需 2 小時(shí) 水流速度增加一倍后 再?gòu)募赘鄣揭腋酆叫行?3 小時(shí) 水流速度增加后 從乙港返回甲港需航行多少小時(shí) 解析 設(shè)小船在靜水中的速度為 原來(lái)的水速為 則 解得 故所求時(shí)間ab2 3 2 abab 4ab 為 小時(shí) 2 1 2 ab ab 答案 1 例 18 一個(gè)人乘木筏在河面順流而下 漂到一座橋下時(shí)此人想鍛煉一下身體 便跳入水中逆水游泳 10 分鐘后轉(zhuǎn)身追趕木筏 終于在離橋 1500 米遠(yuǎn)的地方追上木筏 假設(shè)水流速度及此人游泳的速 度都一直不變 那么水流速度為多少 解析 因?yàn)橄蛏嫌瘟朔昼?所以返回追趕也要分鐘 流水中的相遇時(shí)間與追及時(shí)間都與水流速度無(wú)1010 關(guān) 即水流分鐘的路程為米 水流速度為 千米 時(shí) 201500 1 1 54 5 3 答案 水流速度為千米 時(shí)4 5 例 19 一小船由 A 港到 B 港順流需行 6 小時(shí) 由 B 港到 A 港逆流需行 8 小時(shí) 一天 小船從早晨 6 點(diǎn)由 A 港出發(fā)順流行至 B 港時(shí) 發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中 立即返回 1 小時(shí)后找到救 生圈 問(wèn) 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 11 18 1 若小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港需多少小時(shí) 2 救生圈是何時(shí)掉入水中的 解析 1 設(shè)小船在靜水中的速度為 水流速度為 則 解得 故小船按水a(chǎn)b6 8 abab 7ab 流速度由 A 港漂流到 B 港所需時(shí)間為 小時(shí) 6 48 ab b 2 設(shè)小船行駛小時(shí)后 救生圈掉入水中 則 將x 61 1 6 xbabx ab 代入上式 得到 故救生圈是上午 11 點(diǎn)掉入水中的7ab 5x 答案 485 模塊五 工程問(wèn)題 工作總量 工作時(shí)間 工作效率各部分工作量之和 1 例 20 有甲 乙 丙三個(gè)水管 獨(dú)開(kāi)甲管 5 小時(shí)可以注滿一池水 甲 乙兩管齊開(kāi) 2 小時(shí)可注滿 一池水 甲 丙兩管齊開(kāi) 3 小時(shí)注滿一池水 現(xiàn)把三管一齊開(kāi) 過(guò)了一段時(shí)間后甲管因故障停 開(kāi) 停開(kāi)后 2 小時(shí)水池注滿 問(wèn)三管齊開(kāi)了多少小時(shí) 解析 由題意知 甲管注水效率為 甲 乙兩管的注水效率之和為 甲 丙兩管的注水效率之和為 1 5 1 2 設(shè)三管齊開(kāi)了 x 小時(shí) 根據(jù)題意可列方程 解得 1 3 1112 21 5235 xx 4 19 x 答案 小時(shí) 4 19 例 21 檢修一住宅區(qū)的自來(lái)水管道 甲單獨(dú)完成需 14 天 乙單獨(dú)完成需 18 天 丙單獨(dú)完成需 12 天 前 7 天由甲 乙兩人合作 但乙中途離開(kāi)了一段時(shí)間 后 2 天由乙 丙兩人合作完成 問(wèn)乙 中途離開(kāi)了幾天 解析 設(shè)乙中途離開(kāi)了 x 天 根據(jù)題意可列方程 解得 1111 7721 14181812 x 3x 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 12 18 答案 乙中途離開(kāi)了 3 天 例 22 某中學(xué)庫(kù)存若干套桌凳 準(zhǔn)備修理后支援貧困山區(qū)學(xué)校 現(xiàn)有甲 乙兩木工組 甲每天修桌 凳 16 套 乙每天修桌凳比甲多 8 套 甲單獨(dú)修完這些桌凳比乙單獨(dú)修完多用 20 天 學(xué)校每天付 甲組 80 元修理費(fèi) 付乙組 120 元修理費(fèi) 1 問(wèn)該中學(xué)庫(kù)存多少套桌凳 2 在修理過(guò)程中 學(xué)校要派一名工人進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督 學(xué)校負(fù)擔(dān)他每天 10 元生活補(bǔ)助費(fèi) 現(xiàn)有 三種修理方案 由甲單獨(dú)修理 由乙單獨(dú)修理 甲 乙合作同時(shí)修理 你認(rèn)為哪種方案省 時(shí)又省錢(qián)為什么 解析 1 設(shè)該中學(xué)庫(kù)存 x 套桌凳 根據(jù)題意可列方程 解得 20 1624 xx 960 x 2 方案 所需費(fèi)用 元 960 80105400 16 方案 所需費(fèi)用 元 960 120105200 24 方案 所需費(fèi)用 元 960 80120105040 1624 綜上 方案 最省錢(qián) 答案 1 960 套 2 方案 最省錢(qián) 模塊六 商品銷(xiāo)售問(wèn)題 在現(xiàn)實(shí)生活中 購(gòu)買(mǎi)商品和銷(xiāo)售商品時(shí) 經(jīng)常會(huì)遇到進(jìn)價(jià) 標(biāo)價(jià) 售價(jià) 打折等概念 在了解這些基 本概念的基礎(chǔ)上 還必須掌握以下幾個(gè)等量關(guān)系 利潤(rùn) 售價(jià) 進(jìn)價(jià) 1 標(biāo)價(jià)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率 100 利潤(rùn) 利潤(rùn)率 進(jìn)價(jià) 利潤(rùn) 進(jìn)價(jià) 利潤(rùn)率實(shí)際售價(jià) 標(biāo)價(jià) 打折率 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 13 18 例 23 某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種商品 由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了 使得利潤(rùn)增加了 8 個(gè)百分點(diǎn) 6 4 求經(jīng)銷(xiāo)這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率 解析 設(shè)經(jīng)銷(xiāo)這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率為 原進(jìn)價(jià)為 根據(jù)題意可列方程 xa 解得 1 16 4 18 axax 17 x 答案 17 例 24 某商品月末的進(jìn)貨價(jià)為比月初的進(jìn)貨價(jià)降了 8 而銷(xiāo)售價(jià)不變 這樣 利潤(rùn)率月末比月初 高 10 問(wèn)月初的利潤(rùn)率是多少 解析 設(shè)月初進(jìn)貨價(jià)為 a 元 月初利潤(rùn)率為 x 則月初的銷(xiāo)售價(jià)為元 月末進(jìn)貨價(jià)為元 1ax 18 a 銷(xiāo)售價(jià)為元 根據(jù)月初銷(xiāo)售價(jià)與月末銷(xiāo)售價(jià)相等可列方程 18 110 ax 解得 118 110 axax 0 15x 答案 15 例 25 某公司生產(chǎn)一種飲料是由 A B 兩種原料液按一定比例配制而成 其中 A 原料液的成本價(jià)為 15 元 千克 B 原料液的成本價(jià)為 10 元 千克 按現(xiàn)行價(jià)格銷(xiāo)售每千克獲得 70 的利潤(rùn)率 由于市 場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng) 物價(jià)上漲 A 原料液上漲 20 B 原料液上漲 10 配制后的總成本增加了 12 公司 為了拓展市場(chǎng) 打算再投入現(xiàn)總成本的 25 做廣告宣傳 如果要保證每千克利潤(rùn)不變 則此時(shí)這 種飲料的利潤(rùn)率是多少 解析 原料液 A 的成本價(jià)為 15 元 千克 原料液 B 的成本價(jià)為 10 元 千克 漲價(jià)后 原 A 價(jià)格上漲 20 變?yōu)?18 元 B 上漲 10 變?yōu)?11 元 總成本上漲 12 設(shè)每 100 千克成品中 二原料比例 A 占 x 千克 B 占 100 x 千克 則漲價(jià)前每 100 千克成本為 漲價(jià)后每 100 千克成本為 1510 100 xx 1811 100 xx 根據(jù)題意可列方程 解得 所以 1811 1001510 1001 12 xxxx 100 7 x 600 100 7 x 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 14 18 即二者的比例是 則漲價(jià)前每千克的成本為 元 銷(xiāo)售價(jià)為元 1 6A B 156075 777 127 5 7 利潤(rùn)為 7 5 元 原料漲價(jià)后 每千克成本變?yōu)?12 元 成本的 25 為 3 元 保證利潤(rùn)為 7 5 元 則利潤(rùn)率為 7 512350 答案 50 模塊七 方案決策問(wèn)題 在實(shí)際生活中 做一件事情往往會(huì)有多種選擇 這就需要從幾種方案中 選擇最佳方案 如網(wǎng)絡(luò) 的使用 到不同旅行社購(gòu)票等 一般都要運(yùn)用方程解答 把每一種方案的結(jié)果先算出來(lái) 進(jìn)行比較后 得出最佳方案 例 26 某開(kāi)發(fā)商進(jìn)行商鋪促銷(xiāo) 廣告上寫(xiě)著如下條款 投資者購(gòu)買(mǎi)商鋪后 必須由開(kāi)發(fā)商代為租賃 5 年 5 年期滿后由開(kāi)發(fā)商以比原商鋪標(biāo)價(jià)高 20 的 價(jià)格進(jìn)行回購(gòu) 投資者可在以下兩種購(gòu)鋪方案中做出選擇 方案一 投資者按商鋪標(biāo)價(jià)一次性付清鋪款 每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價(jià)的 10 方案二 投資者按商鋪標(biāo)價(jià)的八五折一次性付清鋪款 2 年后每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價(jià)的 10 但要繳納租金的 10 作為管理費(fèi)用 1 請(qǐng)問(wèn) 投資者選擇哪種購(gòu)鋪方案 5 年后所獲得的投資收益率更高 為什么 注 100 投資收益 投資收益率 實(shí)際投資額 2 對(duì)同一標(biāo)價(jià)的商鋪 甲選擇了購(gòu)鋪方案一 乙選擇了購(gòu)鋪方案二 那么 5 年后兩人獲得的 收益將相差 5 萬(wàn)元 問(wèn) 甲 乙兩人各投資了多少萬(wàn)元 解析 1 設(shè)商鋪標(biāo)價(jià)為 x 萬(wàn)元 則 按方案一購(gòu)買(mǎi) 則獲投資收益 投資收益率為 120 110 50 7xxx 0 7 100 70 x x 按方案二購(gòu)買(mǎi) 則獲投資收益 120 0 8510 1 10 30 62xxx 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 15 18 投資收益率為 0 62 100 72 9 0 85 x x 所以投資者選擇方案二獲得的投資收益率高 2 由題意得 解得 所以甲投資了 62 5 萬(wàn)元 乙投資了 53 125 萬(wàn)元0 70 625xx 62 5x 答案 略 例 27 有一個(gè)只允許單向通過(guò)的窄道口 通常情況下 每分鐘可以通過(guò) 9 人 一天王老師到達(dá)道口 時(shí) 發(fā)現(xiàn)由于擁擠 每分鐘只能有 3 人通過(guò)道口 此時(shí) 自己前面還有 36 個(gè)人等待通過(guò) 通過(guò) 道口后 還需 7 分鐘到達(dá)學(xué)校 1 若繞道而行 要 15 分鐘到達(dá)學(xué)校 從節(jié)省時(shí)間考慮 王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校還是選擇通 過(guò)擁擠的道口去學(xué)校 2 若在王老師等人的維持下 幾分鐘后秩序恢復(fù)正常 每分鐘仍有 3 人通過(guò)道口 結(jié)果王老 師比擁擠的情況下提前了 6 分鐘通過(guò)道口 問(wèn)維持秩序的時(shí)間是多少 解析 1 王老師通過(guò)道口去學(xué)校 需要 故從節(jié)省時(shí)間角度考慮 他應(yīng)選擇繞道去學(xué) 36 71915 3 校 2 設(shè)維持秩序時(shí)間為 x 分 則維持秩序這段時(shí)間內(nèi)過(guò)道口的有 3x 人 維持好秩序后過(guò)道口的有 人 根據(jù)題意可列方程 解得 363x 36363 6 39 x x 3x 答案 1 從節(jié)省時(shí)間角度考慮 王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校 2 維持秩序的時(shí)間是 3 分鐘 例 28 老師帶著兩名學(xué)生到離學(xué)校千米遠(yuǎn)的博物館參觀 老師乘一輛摩托車(chē) 速度為千米 3325 小時(shí) 這輛摩托車(chē)后座可帶乘一名學(xué)生 帶人后速度為千米 小時(shí) 學(xué)生步行的速度為千米205 小時(shí) 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案 使師生三人同時(shí)出發(fā)后都到達(dá)博物館的時(shí)間不超過(guò) 小時(shí) 3 解析 設(shè)學(xué)生為甲 乙二人 乙先步行 老師帶甲乘摩托車(chē)行駛一定路程后 讓甲步行 老師返回接乙 然后老師搭乘乙 與步行的甲同時(shí)到達(dá)博物館 設(shè)老師帶甲乘摩托車(chē)行駛了千米 則用時(shí)小時(shí) 比乙多行了 這時(shí)老x(chóng) 20 x 3 205 204 x x 千米 初中數(shù)學(xué)同步課程 一元一次方程 16 18 師讓甲步行前進(jìn) 而自己返回接乙 遇到乙時(shí) 用了 乙遇到老師時(shí) 3 255 440 x x 小時(shí) 已經(jīng)步行了 離博物館還有 要使師生三人能同時(shí)到達(dá)博 3 5 20408 xx x 千米 3 33 8 x 千米 物館 甲 乙二人搭乘摩托車(chē)的路程應(yīng)相同 則有 解得 即甲先乘摩托車(chē) 24 3 33 8 xx 24x 千米 用時(shí) 1 2 小時(shí) 再步行 9 千米 用時(shí) 1 8 小時(shí) 共計(jì) 3 小時(shí) 因此 上述方案可使師生三人同時(shí)出發(fā)后都到達(dá)博物館的時(shí)間不超過(guò) 3 個(gè)小時(shí) 答案 略 模塊八 配套問(wèn)題 配套 型應(yīng)用題中有三組數(shù)據(jù) 1 車(chē)間工人的人數(shù) 2 每人每天平均能生產(chǎn)的不同的零 件數(shù) 3 不同零件的配套比 利用 1 3 得到等量關(guān)系 構(gòu)造方程 一般地說(shuō) 2 3 兩個(gè)數(shù)據(jù)可以預(yù)先給定 例如 在給出 2 3 兩組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上 如 何確定車(chē)間工人人數(shù) 使問(wèn)題有整數(shù)解 例