例說(shuō)探索開(kāi)放性問(wèn)題的解題策略

例談探索開(kāi)放性問(wèn)題的解題策略例談探索開(kāi)放性問(wèn)題的解題策略 王玉香 蘭州三十二中 郵編 730000 內(nèi)容摘要內(nèi)容摘要 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 明確指出 自主探索 動(dòng)手實(shí)踐 合作交流等是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式 使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在 教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造 因此 在數(shù)學(xué)教學(xué)中 以數(shù)學(xué)開(kāi)放題為載 體 通過(guò)為學(xué)生營(yíng)造開(kāi)放性 發(fā)展性 層次性等特點(diǎn)的問(wèn)題情境 鼓勵(lì)學(xué)生嘗試探索 多角度激活他們的創(chuàng)造性思維 產(chǎn)生盡可能多 盡可能新 盡可能獨(dú)特的解題方法 以利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí) 創(chuàng)新能力和創(chuàng)新精神 關(guān)健詞關(guān)健詞 開(kāi)放性問(wèn)題 解題策略 開(kāi)放性問(wèn)題是近年來(lái)數(shù)學(xué)命題的一個(gè)新方向 是一種具有開(kāi)放性 和發(fā)散性的問(wèn)題 由于它具有與傳統(tǒng)封閉型題不同的特點(diǎn) 因此在 數(shù)學(xué)教學(xué)中有其特定功能 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)通過(guò)營(yíng)造開(kāi)放性 發(fā)展 性 層次性等特點(diǎn)的問(wèn)題情境 為學(xué)生提供了更多的交流與合作的 機(jī)會(huì) 為充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用創(chuàng)造了條件 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué) 過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建 積極參與的過(guò)程 有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí) 讓學(xué)生真正學(xué)會(huì) 數(shù)學(xué)地思維 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)過(guò)程也是學(xué)生探 索和創(chuàng)造的過(guò)程 有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索開(kāi)拓精神和創(chuàng)造能力 本 文就數(shù)學(xué)開(kāi)放題的幾種常見(jiàn)類型 例說(shuō)探索開(kāi)放性問(wèn)題的解題策略 1 條件追溯型 這類問(wèn)題的基本特征是 針對(duì)一個(gè)結(jié)論 條件 未知需探索 或條件增刪需確定 或條件正誤需判斷 解決這類問(wèn) 題的基本策略是 執(zhí)果索因 先尋找結(jié)論成立的必要條件 再通過(guò) 檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件 在 執(zhí)果索因 的過(guò)程中 常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過(guò)程的可逆與否 誤將必要條件 當(dāng)作充分條件 應(yīng)引起注意 例1 2006湖南高考 若函數(shù)f x asin x b sin x 4 4 ab 0 是偶函數(shù) 則有序數(shù)對(duì) a b 可以是 注 只 要填滿足a b 0的一組數(shù)字即可 寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一組數(shù)字即可 解析 函數(shù)f x asin x b sin x 是偶函數(shù) 觀察易得 4 4 x 與 x 是兩個(gè)互余的角 當(dāng) a b b 時(shí)易變形為一個(gè)角的一個(gè) 4 4 三角函數(shù)的形式 不妨令a 1 b 1 故f x sin x sin x 4 4 cosx 2 4 sin 2 2 4 cos 2 2 xx2 故取a 1 b 1 點(diǎn)評(píng) 本題為條件探索型題目 其結(jié)論明確 需要完備使得結(jié)論 成立的充分條件 可將題設(shè)和結(jié)論都視為已知條件 進(jìn)行演繹推理 推導(dǎo)出所需尋求的條件 這類題要求學(xué)生變換思維方向 有利于培 養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力 2 結(jié)論探索型 這類問(wèn)題的基本特征是 有條件而無(wú)結(jié)論或 結(jié)論的正確與否需要確定 解決這類問(wèn)題的策略是 先探索結(jié)論而 后去論證結(jié)論 在探索過(guò)程中?？上葟奶厥馇樾稳胧?通過(guò)觀察 分析 歸納 判斷來(lái)作一番猜測(cè) 得出結(jié)論 再就一般情形去認(rèn)證 結(jié)論 例2 2007福建高考 中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系 比如 相等關(guān)系 平行關(guān)系 等等 如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系 滿足 以下三個(gè)條件 1 自反性 對(duì)于任意a A 都有a a 2 對(duì)稱性 對(duì)于a b A 若a b 則有b a 3 傳遞性 對(duì)于a b c A 若a b b c 則有a c 則稱 是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系 例如 數(shù)的相等 是等價(jià) 關(guān)系 而 直線的平行 不是等價(jià)關(guān)系 自反性不成立 請(qǐng)你再列 出兩個(gè)等價(jià)關(guān)系 解析 令A(yù)為所有三角形構(gòu)成的集合 定義 兩個(gè)三角形全等為關(guān)系 則其為等價(jià)關(guān)系 令B為所有正方形構(gòu)成的集合 定義 B中兩個(gè)元素相似為關(guān)系 則其為等價(jià)關(guān)系 點(diǎn)評(píng) 本題要求正確理解新概念 的意義 如何能夠跳出 題海 全面考察問(wèn)題的各個(gè)方面 不僅可以訓(xùn)練自己的思維 而且 可以縱觀全局 從整體上對(duì)知識(shí)的全貌有一個(gè)較好的理解 3 條件重組型 這類問(wèn)題的基本特征是 改變已知問(wèn)題的條件 探討結(jié)論相應(yīng)地會(huì)發(fā)生什么變化 或者改變已知問(wèn)題的結(jié)論 探討 條件相應(yīng)地會(huì)發(fā)生什么變化 例3 99 年全國(guó)高考 是兩個(gè)不同的平面 m n 是 平面 及 之外的兩條不同的直線 給出四個(gè)論斷 m n n m 以其中的三個(gè)論斷作為條 件 余下一個(gè)論斷作為結(jié)論 寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題 解析 本題給出了四個(gè)論斷 要求其中三個(gè)為條件 余下一個(gè)為結(jié) 論 分四種情況逐一驗(yàn)證 依題意可得以下四個(gè)命題 1 m n n m 2 m n m n 3 m n n m 4 n m m n 不難發(fā)現(xiàn) 命題 3 4 為真命題 而命題 1 2 為假命題 故填上 命題 3 或 4 點(diǎn)評(píng) 本題的條件和結(jié)論都不是固定的 是可變的 所以這是一 道條件開(kāi)放結(jié)論也開(kāi)放的全開(kāi)放性試題 本題可組成四個(gè)命題 且 正確的命題不止一個(gè) 解題時(shí)不必把所有正確的命題都找出 因此 本題的結(jié)論也是開(kāi)放的 4 存在判斷型 這類問(wèn)題的基本特征是 要判斷在某些確定 條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象 數(shù)值 圖形 函數(shù)等 是否存在或某一結(jié)論 是否成立 解決這類問(wèn)題的基本策略是 通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象 存在 或結(jié)論成立 或暫且認(rèn)可其中的一部分的結(jié)論 然后在這個(gè)前 提下進(jìn)行邏輯推理 若由此導(dǎo)出矛盾 則否定假設(shè) 否則 給出肯 定結(jié)論 例4 已知f x log a 3 ax 1 當(dāng)x 0 2 時(shí) 函數(shù)f x 恒有意義 求a的取值范圍 2 是否存在這樣的實(shí)數(shù)a 使得函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 為減函數(shù) 并 且最大值為1 如果存在 求出實(shí)數(shù)a 的值 如果不存在 說(shuō)明理 由 解析 1 由題意3 ax 0在x 0 2 上恒成立 則有3 2a 0 所以a的取值范圍為0 a 1或1 a 0 為減函數(shù) 由題設(shè)條件知f 1 1 則loga 3 a 1 解得a 又函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 有意義 2 3 2 3 a 所以這樣的實(shí)數(shù)a不存在 點(diǎn)評(píng) 多個(gè)限制條件的存在型問(wèn)題一種方法是在各個(gè)獨(dú)立條件限 制下 分別求相應(yīng)的結(jié)果 再看這些條件共同限制的情況 從而得 出結(jié)論 一種方法是在一個(gè)限制條件下分析 然后逐步加入其它限 制條件 實(shí)際解題時(shí) 據(jù)具體題目特點(diǎn)確定解法 總之 對(duì)數(shù)學(xué)探索開(kāi)放性問(wèn)題的學(xué)習(xí) 有利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新 意識(shí) 擴(kuò)大創(chuàng)新視野 使學(xué)生積極主動(dòng)參與創(chuàng)造活動(dòng) 有利于學(xué)生 綜合與靈活應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法 進(jìn)行獨(dú)立的思考探索 和研究 提出解決問(wèn)題的思路 創(chuàng)造性的解決問(wèn)題 有利于培養(yǎng)學(xué) 生探索 分析 歸納 判斷 討論與證明等方面的能力 使學(xué)生經(jīng) 歷一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 研究問(wèn)題 解決問(wèn)題的全過(guò)程 使學(xué)生的創(chuàng)新精神 和創(chuàng)新