數(shù)學(xué)建模 深圳人口與醫(yī)療需求預(yù)測(cè).doc

2012深圳杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ： 1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2012深圳杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：A題：深圳人口與醫(yī)療需求預(yù)測(cè)摘要 本文主要研究深圳市人口及床位需求的預(yù)測(cè)問(wèn)題，運(yùn)用回歸擬合分析和灰色模型的研究方法，得到了較為可靠的預(yù)測(cè)結(jié)果。首先，我們尋找到了2000-2010年深圳市人口數(shù)量及結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，運(yùn)用灰色模型和數(shù)據(jù)擬合模擬出了變化規(guī)律，進(jìn)而預(yù)測(cè)出了深圳市后十年的常住人口數(shù)和非常住人口數(shù)；并通過(guò)分析往年深圳各年齡段人數(shù)及發(fā)病率來(lái)預(yù)測(cè)床位數(shù)；通過(guò)分析各區(qū)GDP比例及增速預(yù)測(cè)未來(lái)十年各區(qū)床位數(shù)；然后，我們分析了各年齡段發(fā)病率及男女比例情況，針對(duì)腫瘤和分娩兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了具體的預(yù)測(cè)分析。最后，我們以所建模型去檢驗(yàn)往年深圳的各種數(shù)據(jù)，表現(xiàn)出良好的吻合性。但由于時(shí)間不充足以及搜索數(shù)據(jù)的困難性，模型仍存在不完善性，主要表現(xiàn)在如果預(yù)測(cè)時(shí)間較長(zhǎng)數(shù)據(jù)誤差較大，但在短期數(shù)據(jù)還是比較準(zhǔn)確。關(guān)鍵字：人口預(yù)測(cè) 床位分析 灰色GM(1,1)模型 線性相關(guān)方程 1、 問(wèn)題重述背景： 深圳市是一個(gè)流動(dòng)人口多，戶籍人口少的城市，外來(lái)人口多導(dǎo)致深圳市青壯年勞動(dòng)力多，由于青壯年勞動(dòng)力身體健康程度要高于其它人群，因此深圳目前人均醫(yī)療設(shè)施雖然低于全國(guó)類(lèi)似城市平均水平，但仍能滿足現(xiàn)有人口的就醫(yī)需求。然而，隨著時(shí)間推移和政策的調(diào)整，深圳老年人口比例會(huì)逐漸增加，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的變化也會(huì)影響外來(lái)務(wù)工人員的數(shù)量。這些都可能導(dǎo)致深圳市未來(lái)的醫(yī)療需求與現(xiàn)在有較大的差異。未來(lái)的醫(yī)療需求與人口結(jié)構(gòu)、數(shù)量和經(jīng)濟(jì)發(fā)展等因素相關(guān)。問(wèn)題1.請(qǐng)根據(jù)深圳市人口特點(diǎn)預(yù)測(cè)未來(lái)十年深圳市人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)的發(fā)展趨勢(shì)，以此為基礎(chǔ)預(yù)測(cè)未來(lái)全市和各區(qū)醫(yī)療床位需求；問(wèn)題2.根據(jù)深圳市人口的年齡結(jié)構(gòu)和患病情況及所收集的數(shù)據(jù)，選擇預(yù)測(cè)幾種病在不同類(lèi)型的醫(yī)療機(jī)構(gòu)就醫(yī)的床位需求。2、 問(wèn)題分析對(duì)于問(wèn)題1：深圳市人口特點(diǎn)是流動(dòng)人口多，非戶籍人口多，但戶籍人口較少，針對(duì)這個(gè)情況，我們選取人口結(jié)構(gòu)中的主要矛盾，即常住人口與非常住人口（即非戶籍人口）進(jìn)行研究。我們首先分析了深圳市近十年的人口年齡結(jié)構(gòu)變化，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)變化幅度很小，因此在短期內(nèi)我們可以認(rèn)為其年齡結(jié)構(gòu)恒定。由于本題需要處理數(shù)據(jù)較多，我們采用matlab進(jìn)行輔助分析，通過(guò)擬合結(jié)果研究其常住人口已經(jīng)非戶籍人口變化。而對(duì)于人口結(jié)構(gòu)，我們可以用非戶籍人口與總?cè)丝诘谋壤齺?lái)表示。床位需求主要由各年齡段的人數(shù)以及與其相對(duì)應(yīng)的住院率相對(duì)應(yīng)，因此我們可以先分析出深圳市的年齡結(jié)構(gòu)（可以分析2010年），然后查找與其相對(duì)應(yīng)的住院率數(shù)據(jù)。對(duì)于問(wèn)題2：我們可以利用第一問(wèn)得出的常住人口變化函數(shù)與人口年齡結(jié)構(gòu)得出未來(lái)某一年深圳市的某一年齡段的人數(shù)?？紤]到研究的實(shí)用性與可行性，我們可以以腫瘤與分娩作為研究對(duì)象，通過(guò)腫瘤與分娩的住院率與發(fā)病率，得出住院人數(shù)。3、 模型假設(shè)1. 在較短時(shí)間內(nèi)深圳市人口年齡結(jié)構(gòu)保持不變；2. 針對(duì)研究的問(wèn)題，每個(gè)年齡段發(fā)病率住院率保持；3. 深圳市各區(qū)人口所占深圳市總?cè)丝诒壤３植蛔儯?. 沒(méi)有大的自然災(zāi)害等急劇影響深圳市人口結(jié)構(gòu)的事件發(fā)生；5. 深圳市現(xiàn)行的各種人口政策保持不變；4、 符號(hào)說(shuō)明:年數(shù)（i=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)；：深圳市第年常住人口數(shù)；：深圳市第年非常住人口數(shù)；：深圳市第年總?cè)丝跀?shù)；:的灰導(dǎo)數(shù)； ：的緊鄰均值數(shù)列；：稱為發(fā)展系數(shù)；：稱為白化背景值；稱為灰作用量；為數(shù)據(jù)向量；為數(shù)據(jù)矩陣；為參數(shù)向量；Q為病床總需求量；m為各年齡段（0-4歲為1、5-14歲為2、依此類(lèi)推，m=1、2、38）；為m年齡段所占比例；為各年齡段的住院率；五、模型的建立與求解問(wèn)題1：深圳市最近十年常住人口、非常住人口變化特征與未來(lái)十年發(fā)展情況。圖一首先根據(jù)圖一，我們采用灰色GM(1,1)模型.采用原因：灰色模型適用于小樣本、貧信息、內(nèi)在規(guī)律未充分外露的系統(tǒng)，按適當(dāng)辦法處理原始數(shù)據(jù)后得到規(guī)律性較強(qiáng)的生成函數(shù).本題給出的常住人口、非常住人口數(shù)據(jù)受到難以區(qū)分的多重因素影響，且數(shù)據(jù)量較小，適用于灰色模型.由于常住人口數(shù)量受歷史影響較大，不易發(fā)生較大變化，且在數(shù)據(jù)處理中發(fā)現(xiàn)了較強(qiáng)的線性關(guān)系，我們之后采用了一元線性擬合來(lái)簡(jiǎn)化模型；(一) 灰色模型預(yù)測(cè)常住人口.目前使用最廣泛的灰色預(yù)測(cè)模型就是關(guān)于數(shù)列預(yù)測(cè)的一個(gè)變量、一階微分的GM(1,1)模型.它是基于隨機(jī)的原始時(shí)間序列，經(jīng)按時(shí)間累加后所形成的新的時(shí)間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來(lái)逼近.經(jīng)證明，經(jīng)一階線性微分方程的解逼近所揭示的原始時(shí)間序列呈指數(shù)變化規(guī)律.因此，當(dāng)原始時(shí)間序列隱含著指數(shù)變化規(guī)律時(shí)，灰色模型GM(1,1)的預(yù)測(cè)是非常成功的.1.GM(1,1)的定義設(shè)為個(gè)元素的數(shù)列，的AGO生成數(shù)列為，其中.則定義的灰導(dǎo)數(shù)為，令為數(shù)列的緊鄰均值數(shù)列，即，則.于是定義GM(1,1)灰微分方程模型為，即 (a)其中稱為灰導(dǎo)數(shù)，稱為發(fā)展系數(shù)，稱為白化背景值，稱為灰作用量.將時(shí)刻代入(a)式中有令，稱為數(shù)據(jù)向量，為數(shù)據(jù)矩陣，為參數(shù)向量，則GM(1,1)模型可以表示為矩陣方程.由最小二乘法可以求得GM(1,1)的白化型對(duì)于GM(1,1)的灰微分方程（7），如果將的時(shí)刻視為連續(xù)的變量，則數(shù)列就可以視為時(shí)間的函數(shù)，記為，并讓灰導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)于導(dǎo)數(shù)，背景值對(duì)應(yīng)于.于是得到GM(1,1)的灰微分方程對(duì)應(yīng)的白微分方程為稱之為GM(1,1)的白化型.2. 模型建立此預(yù)測(cè)模型是擬合參數(shù)模型，通過(guò)原始數(shù)據(jù)累加生成，得到規(guī)律性較強(qiáng)的序列，用函數(shù)曲線擬合得到預(yù)測(cè)值.建立過(guò)程如下：1) 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列有n個(gè)觀察值，通過(guò)累加生成新序列，利用新生成的序列擬合函數(shù)曲線.2) 利用擬合出的函數(shù)求出新生序列的預(yù)測(cè)值序列.3) 利用累減還原，得到灰色預(yù)測(cè)值序列（共n+m個(gè)，m個(gè)未來(lái)預(yù)測(cè)值）.將序列分為和，其中反映的確定性增長(zhǎng)趨勢(shì)，反映的平穩(wěn)周期變化趨勢(shì).4) 對(duì)序列的確定增長(zhǎng)趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè).3 模型求解整理得深圳市2001年2010年常住人口數(shù)，見(jiàn)下表. 表一：深圳市20012010年年末常住人口數(shù)根據(jù)上述數(shù)據(jù)建立含有10個(gè)觀察值的原始數(shù)據(jù)序列：使用Matlab軟件對(duì)進(jìn)行一次累加，得到新數(shù)列，見(jiàn)表二.表二：的AGO生成數(shù)列處理數(shù)據(jù)序號(hào)處理值724.571471.192249.463050.263878.014749.115661.486615.767611.048648.24表三：GM(1,1)算法擬合值及誤差序號(hào)年份模型值殘差相對(duì)誤差級(jí)比偏差2001724.57002002739.770.00920.123%-0.01212003771.490.00870.112%-0.00042004804.56-0.00470.059%-0.01352005839.06-0.01340.1650%0.00892006875.03-0.00450.0518%0.00902007912.54-0.00020.0020%0.00432008951.660.00270.0287%0.00292009992.460.00260.0257%-0.000220101035.010.00210.0204%-0.0005擬合函數(shù)：由殘差、相對(duì)誤差、級(jí)比偏差可知此模型精度較高，可用于預(yù)測(cè).預(yù)測(cè)值見(jiàn)下表.表四：2011年2020年深圳市常住人口預(yù)測(cè)人數(shù)年份2011201220132014201520162017201820192020預(yù)測(cè)人數(shù)（萬(wàn)人）1079.41125.71173.91124.21276.71331.51338.51448.11510.11574.94模型優(yōu)化（二）線性相關(guān)預(yù)測(cè)非常住人口分析近十年非常住人口情況，建立2000年至2010年年份矩陣A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,年末非常住人口數(shù)矩陣B=Yi。 利用離散點(diǎn)的數(shù)據(jù)集，建立一個(gè)年份與年末非常住人口數(shù)的相關(guān)性方程，使得在原散點(diǎn)數(shù)據(jù)上接近給定的值。利用matlab最小二乘法散點(diǎn)擬合得出函數(shù)關(guān)系式： 將2000年至2010年非常住人口原始數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)對(duì)比：表五：二次擬合數(shù)據(jù)年份原始數(shù)據(jù)（人數(shù)：萬(wàn)人）擬合數(shù)據(jù)（人數(shù)：萬(wàn)人）百分比2000576.32581.29100.862001592.53591.4499.8162002607.17603.8599.4532003627.34618.5198.5932004635.67635.4499.9642005645.82654.62101.362006674.27676.06100.272007699.99699.7699.9682008726.21725.7299.9332009753.56753.94100.052010786.17784.4299.777 根據(jù)所得原始數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)函數(shù)的準(zhǔn)確性，誤差計(jì)算; 以公式測(cè)得絕對(duì)誤差為=199.089; 以公式 測(cè)得相對(duì)誤差=0.0044； 由于誤差較大，再次擬合采用三次擬合得出函數(shù)關(guān)系式 表六：三次擬合數(shù)據(jù)年份原始數(shù)據(jù)（人數(shù)：萬(wàn)人）擬合數(shù)據(jù)（人數(shù)：萬(wàn)人）百分誤差2000576.32577.8100.262001592.53592.1499.9342002607.17606.4199.8742003627.34621.1999.0192004635.67637.07100.222005645.82654.62101.362006674.27674.43100.022007699.99697.0999.5852008726.21723.1699.582009753.56753.2499.9582010786.17787.91100.22 計(jì)算絕對(duì)誤差=141.0254367, =0.0042吻合度達(dá)到0.991，故三次擬合方程符合。圖二：二次擬合和三次擬合圖像由此預(yù)算2011-2020年非常住人口數(shù)情況如下表：表七：2011-2020年非常住人口預(yù)測(cè)結(jié)果年份2011201220132014201520162017201820192020預(yù)測(cè)人數(shù)（萬(wàn)人)827.76873.34925.25984.081050.41124.81207.81300.11402.21514.8 （三）總?cè)丝诩叭泻透鲄^(qū)醫(yī)療床位需求預(yù)測(cè) 1.全是床位需求預(yù)測(cè)查找資料得病床需求量公式如下：3設(shè)病床總需求為Q，為第年（以2011年為第1年）深圳人口總數(shù)，為年齡段所占比例（04歲為1，514歲為2，依此類(lèi)推， ），為年齡段住院率，平均住院天數(shù)為，平均年床開(kāi)放日數(shù)為。則 (b)各年齡段住院率見(jiàn)下圖：圖三根據(jù)自然規(guī)律，各年齡段發(fā)病住院率基本不變，因此采用圖中所得數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)計(jì)算。深圳市各年齡段比例見(jiàn)下圖：圖四查找資料得，由此預(yù)測(cè)的未來(lái)十年醫(yī)院病床推薦配置數(shù)如表: 表八：未來(lái)十年醫(yī)院病床推薦配置數(shù)年份2011201220132014201520162017201820192020病床數(shù)（萬(wàn)張）15.7616.4417.1417.8818.6519.4519.5521.1522.0623.00醫(yī)院在實(shí)際配置病床時(shí)，除考慮需求量外，還需考慮潛在需求量和流動(dòng)人口對(duì)病床的需求量。由文獻(xiàn)可知城市病床潛在需求量為實(shí)際利用量的20%；根據(jù)第一次國(guó)家衛(wèi)生服務(wù)調(diào)查和流動(dòng)人口調(diào)查結(jié)構(gòu)估算，流動(dòng)人口醫(yī)院病床需要數(shù)相當(dāng)于本地居民需要的10%，故上述預(yù)測(cè)結(jié)果誤差較大?？紤]上述因素后，醫(yī)院病床配置的推薦公式為：4設(shè)醫(yī)院病床推薦配置數(shù)為，病床潛在需求量為，流動(dòng)人口病床需要數(shù)為。因此 根據(jù)(b)可求出未來(lái)十年醫(yī)院病床推薦配置數(shù)如下表：表九：未來(lái)十年醫(yī)院病床推薦配置數(shù)年份2011201220132014201520162017201820192020病床數(shù)（萬(wàn)張）20.4921.3722.2823.2224.2425.2825.4127.4928.7629.902.各區(qū)床位需求預(yù)測(cè)由于床位的曾漲與各區(qū)的人口分布和經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況都有關(guān)查得如下數(shù)據(jù):圖五表十2011年深圳分區(qū)各地生產(chǎn)總值表十一2011年深圳分區(qū)各地生產(chǎn)總值與增速寶安區(qū)羅湖區(qū)福田區(qū)南山區(qū)龍崗區(qū)鹽田區(qū)光明新區(qū)坪山新區(qū)全市合計(jì)GDP（億元）2887.831209.162098.642441.751881.31325.36381.69276.3311502.06增速（%）13.28.28.511.611.510.028.514.5根據(jù)經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況確定發(fā)展系數(shù)平均增速=11.1表十二：各區(qū)發(fā)展系數(shù)寶安區(qū)羅湖區(qū)福田區(qū)南山區(qū)龍崗區(qū)鹽田區(qū)光明新區(qū)坪山新區(qū)發(fā)展系數(shù)1.190.740.771.051.040.902.571.31注：由此公式計(jì)算的如下數(shù)據(jù)表十三：各區(qū)推薦床位數(shù)（以2016年為例）深圳各區(qū)寶安區(qū)羅湖區(qū)福田區(qū)南山區(qū)龍崗區(qū)鹽田區(qū)光明新區(qū)坪山新區(qū)病床數(shù)（萬(wàn)張）11.671.662.472.795.100.462.990.99問(wèn)題二：不同疾病在不同醫(yī)療機(jī)構(gòu)的床位需求以腦血管病和惡性腫瘤為例考慮到模型的實(shí)用情況，我們選取了在人群中發(fā)病率較高的肺癌和胃癌作為預(yù)測(cè)對(duì)象。查閱文獻(xiàn)可得不同年齡段肺癌和胃癌發(fā)病率如下表：表十四 分年齡段惡性腫瘤的發(fā)病率年齡階段4歲以下514歲1544歲4559歲60歲以上惡性腫瘤發(fā)病率0.00070.00050.00300.00860.0191表十五 分年齡段女性分娩率年齡階段（歲）15-1920-2425-2930-3435-3940-4445-49分娩率3.460.1490.29369.31.820.482000年2005年2010年平均男女性別比0.97181.03951.18201.0644針對(duì)以上數(shù)據(jù)，由第一問(wèn)得出深圳未來(lái)人口變化情況為設(shè)為惡性腫瘤患病人數(shù)，為分娩人數(shù)。因?yàn)槟撤N疾病的患病人數(shù)等于該所有年齡段的人數(shù)與它們所對(duì)應(yīng)的患病率乘積之和，而分娩人數(shù)等于該所有年齡段的人數(shù)與它們所對(duì)應(yīng)的患病率和男女性別比的乘積，則由圖4的人口年齡結(jié)構(gòu)得每種疾病的患病人數(shù)如下；(單位：萬(wàn)）假設(shè)，不同疾病在不同類(lèi)型的醫(yī)院的住院天數(shù)如表表十六 惡性總瘤和分娩在不同級(jí)別醫(yī)院住院天數(shù)種類(lèi)市級(jí)區(qū)級(jí)住院天數(shù)術(shù)后住院天數(shù)住院天數(shù)術(shù)后住院天數(shù)惡性總瘤分娩 設(shè)惡性腫瘤在市級(jí)醫(yī)院的病床需求為，在區(qū)級(jí)醫(yī)院的病床需求為，則由第一問(wèn)得知，理想的病床需求為：3在本模型中假設(shè)得惡性腫瘤與分娩的人都住院，則 (注：查閱資料知大城市年床開(kāi)放日數(shù)為317天，區(qū)級(jí)則為237天，H為深圳市得惡性腫瘤的人數(shù)），。則， （注：為年份，結(jié)果取整）設(shè)分娩在市級(jí)醫(yī)院的病床需求為，在區(qū)級(jí)醫(yī)院的病床需求為，則同理可得，則， (注：為年份，結(jié)果取整）問(wèn)題二：不同疾病在不同醫(yī)療機(jī)構(gòu)的床位需求惡性腫瘤和分娩病例考慮到模型的實(shí)用情況，我們選取了在人群中發(fā)病率較高的肺癌和分娩作為預(yù)測(cè)對(duì)象。查閱文獻(xiàn)可得不同年齡段肺癌和胃癌發(fā)病率如下表：表十七 分年齡段腦血管病和惡性腫瘤的發(fā)病率年齡階段029歲3039歲4049歲5059歲6069歲70歲以上腦血管發(fā)病率0.00010.00100.00410.00420.00800.0052年齡階段4歲以下514歲1544歲4559歲60歲以上惡性腫瘤發(fā)病率0.00070.00050.00300.00860.0191六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)模方向1. 模型建造中沒(méi)有考慮到年齡結(jié)構(gòu)的變化，而深圳市年齡結(jié)構(gòu)是趨向老齡化方向的，老年人體質(zhì)弱，易生病住院，因此實(shí)際得出的床位數(shù)小于實(shí)際需求的床位數(shù)。2. 模型沒(méi)有體現(xiàn)出深圳不同區(qū)的人口變化函數(shù)，而只是假設(shè)其人口總量對(duì)深圳總?cè)丝诹勘３植蛔?，?shí)際上每個(gè)區(qū)的發(fā)展不同，人口變化也不同。3. 本模型只適應(yīng)于預(yù)測(cè)短期，不適應(yīng)于長(zhǎng)期。4. 本模型還是比較合理的，相比其它同類(lèi)模型而言，本模型立意新穎，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于理解，同時(shí)具有很強(qiáng)的操作性，值得政府部門(mén)參考。5. 本模型巧妙的忽略了問(wèn)題的次要矛盾，即年齡結(jié)構(gòu)，各區(qū)所占比例，雖然喪失了一些精確度，但是相對(duì)于其它繁瑣的模型而言，還是利大于弊的6. 從提高準(zhǔn)確性與普遍性的角度考慮，還可以引入關(guān)于年齡結(jié)構(gòu)的擬合函數(shù)以及各區(qū)獨(dú)立的人口發(fā)展函數(shù)。七、參考文獻(xiàn)1、湖南工程學(xué)院. 胡琳基于灰色PG