數(shù)學分析三試卷及答案

精品文檔 1歡迎下載 數(shù)學分析數(shù)學分析 三三 參考答案及評分標準參考答案及評分標準 一 計算題 共 8 題 每題 9 分 共 72 分 1 求函數(shù)在點 0 0 處的二次極限與二重極限 3 3 11 sinsinf x yxy yx 解 解 因此二重極限為 4 33 33 11 sinsinf x yxyxy yx 0 分 因為與均不存在 3 3 0 11 limsinsin x xy yx 3 3 0 11 limsinsin y xy yx 故二次極限均不存在 9 分 2 設 是由方程組所確定的隱函數(shù) 其中和分別 yy x zz x 0 zxf xy F x y z fF 具有連續(xù)的導數(shù)和偏導數(shù) 求 dz dx 解 解 對兩方程分別關(guān)于求偏導 x 4 分 解此方程組并整理得 9 分 yyx yz Ff xyxfxy FF dz dxFxfxy F 3 取為新自變量及為新函數(shù) 變換方程 wwv 22 2 zzz z xx yx 設 假設出現(xiàn)的導數(shù)皆連續(xù) 22 y xyxy wze 解 解 看成是的復合函數(shù)如下 z x y 4 分 22 y wxyxy zww e 代人原方程 并將變換為 整理得 x y z w 9 分 22 2 2 ww w 4 要做一個容積為的有蓋圓桶 什么樣的尺寸才能使用料最省 3 1m 解 解 設圓桶底面半徑為 高為 則原問題即為 求目標函數(shù)在約束條件下rh 的最小值 其中 1 0 xyz dzdy f xyxfxy dxdx dydz FFF dxdx 精品文檔 2歡迎下載 目標函數(shù) 2 22Srhr 表 約束條件 3 分 2 1r h 構(gòu)造 Lagrange 函數(shù) 22 22 1 F r hrhrr h 令 6 分 2 2420 20 r h Fhrrh Frr 解得 故有 由題意知問題的最小值必存在 當?shù)酌?hr 33 14 2 rh 半徑為高為時 制作圓桶用料最省 9 3 1 2 r 3 4 h 分 5 設 計算 3 2 2 y x y y F yedx F y 解 解 由含參積分的求導公式 5 分 33 2222 32 22 22 32 yy x yx yx yx y x yx y yy y F yedxx edxy eye 3 275 2 22 32 y x yyy y x edxy eye 9 分 3 752 2 2 751 222 y yyx y y y eyeedx y 6 求曲線所圍的面積 其中常數(shù) 2 22 222 xyxy abc 0a b c 解 解 利用坐標變換 由于 則圖象在第一三象限 從而可 cos sin xa yb 0 xy 以利用對稱性 只需求第一象限內(nèi)的面積 3 分 2 0 0sincos 2 ab c 則 6 分 2 x y Vd d 1 2 2 sin cos 2 00 2 ab c dab d 22 2 2 0 sincos a b d c 9 分 22 2 2 a b c 7 計算曲線積分 其中是圓柱面與平面352 L zdxxdyydz L 22 1xy 的交線 為一橢圓 從軸的正向看去 是逆時針方向 3zy z 精品文檔 3歡迎下載 解 解 取平面上由曲線所圍的部分作為 Stokes 公式中的曲面 定3zy L 向為上側(cè) 則的法向量為 3 分 11 cos cos cos0 22 由 Stokes 公式得 352 L zdxxdyydz coscoscos 352 dS xyz zxy 6 分 2dS 22 1 22 xy dxdy 9 分 2 8 計算積分 為橢球的上半部分的下側(cè) S yzdzdx S 222 222 1 xyz abc 解 解 橢球的參數(shù)方程為 其中sincos sinsin cosxaybzc 且02 0 2 3 分 2 sinsin z x ac 積分方向向下 取負號 因此 6 分 yzdzdx 2 232 2 00 sincossindbacd 2 223 2 00 sinsincosbacdd 9 分 2 4 abc 二 證明題 共 3 題 共 28 分 9 9 分 討論函數(shù)在原點 0 0 處的連續(xù)性 3 22 24 22 0 0 0 xy xy xyf x xy 可偏導性和可微性 解 解 連續(xù)性 當時 22 0 xy 當 224 2424 0 22 xyxyyy f xy xyxy 0 0 x y 從而函數(shù)在原點處連續(xù) 3 分 0 0 可偏導性 0 0 00 0 0 0lim0 x x fxf f x 精品文檔 4歡迎下載 0 0 y f 0 0 00 0 lim0 y fyf y 即函數(shù)在原點處可偏導 5 分 0 0 可微性 不存在 2222 3 24 2222 00 1 limlim xy xyxy ffxfy x y xy xyxy 從而函數(shù)在原點處不可微 9 分 0 0 10 9 分 9 分 設滿足 F x y 1 在上連續(xù) 00 Dx yxxayyb 2 00 0F xy 3 當固定時 函數(shù)是的嚴格單減函數(shù) x F x yy 試證 存在 使得在上通過定義了一個0 0 xxx 0F x y 函數(shù) 且在上連續(xù) yy x yy x 證明 證明 i 先證隱函數(shù)的存在性 由條件 3 知 在上是的嚴格單減函數(shù) 而由條件 0 F xy 00 yb yb y 2 知 從而由函數(shù)的連續(xù)性得 00 0F xy 0 F xy 00 0F xyb 00 0F xyb 現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù) 由于 則必存在使得 0 F x yb 00 0F xyb 1 0 0 0F x yb x 01 O x 同理 則必存在使得 2 0 0 0F x yb x 02 O x 取 則在鄰域內(nèi)同時成立 12 min 0 O x 3 分 0 0F x yb 0 0F x yb 于是 對鄰域內(nèi)的任意一點 都成立 0 O x x 0 0F x yb 0 0F x yb 固定此 考慮一元連續(xù)函數(shù) 由上式和函數(shù)關(guān)于的連續(xù)性可x F x y F x yy 知 存在的零點使得 F x y 00 yyb yb 0 F x y 而關(guān)于嚴格單減 從而使 0 的是唯一的 再由的任意性 F x yy F x yyx 證明了對內(nèi)任意一點 總能從找到唯一確定的與相 0 O x 0F x y yx 對應 即存在函數(shù)關(guān)系或 此證明了隱函數(shù)的存在性 fxy yf x 6 分 ii 下證隱函數(shù)的連續(xù)性 yf x 設是內(nèi)的任意一點 記 x 0 O x yf x 精品文檔 5歡迎下載 對任意給定的 作兩平行線0 yy yy 由上述證明知 0F x y 0F x y 由的連續(xù)性 必存在的鄰域使得 F x y x O x 0F x y 0F x y xO x 對任意的 固定此并考慮的函數(shù) 它關(guān)于嚴格單減且 xO x xy F x yy 0F x y 0F x y 于是在內(nèi)存在唯一的一個零點使 yy y 0F x y 即 對任意的 它對應的函數(shù)值滿足 這證明了函數(shù) xO x y yy 是連續(xù)的 9 分 yf x 11 10 分 判斷積分在上是否一致收斂 并給出證明 1 0 11 sindx xx 02 證明 證明 此積分在上非一致收斂 證明如下 02 作變量替換 則 1 x t 3 分 1 2 01 111 sinsindxtdt xxt 不論正整數(shù)多么大 當時 恒有 n 3 2 2 44 tA Ann 2 sin 2 t 5 分 因此 7 分 22 121 sin 2 AA AA tdtdt tt 2 21 4 t A t 當時 2 22 0 4 3 4 2 4 n 2 因此原積分在上非一致收斂 10 分 02 注 注 不能用 Dirichlet 判別法證明原積分是一致收斂的 原因如下 盡管對任意的積分一致有界 且函數(shù)關(guān)于單調(diào) 但是當1B 1 sin B tdt 2 1 t x 時 關(guān)于并非一致趨于零 事實上 取 相應地取x 2 1 t 0 2 tn 則 并非趨于零 1 2 n 112 111 limlim10 lim tn nn n t nn 精品文檔 6歡迎下載 數(shù)學分析 3 模擬試題 一 解答下列各題 每小題 5 分 共 40 分 1 設 ln yxz 求 y z y x z x 2 32 24 23 sin 2232 tsztsytsx x y zu 求 t u s u 3 設 sin y x eu x 求 yx u 2 在點 1 2 處的值 4 求由方程 2 222 zyxxyz 所確定的函數(shù) yxzz 在點 1 0 1 處的全微分dz 5 求函數(shù) ln 222 zyxu 在點 2 2 1 M 處的梯度 2 2 1 gradu 6 求曲面 32 xyez z 在點 1 2 0 處的切平面和法線方程 7 計算積分 dx x ee xx 0 2 8 計算積分 11 0 2 x y dyedxI 二 10 分 求內(nèi)接于橢球 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的最大長方體的體積 長方體的各個面 平行于坐標面 三 10 分 若D是由 1 yx 和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域 且 1 0 dxxdxdyxf D 求 x 四 10 分 計算 D d x y arctg 其中D是由圓周 1 4 2222 yxyx 及 0 y xy 所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域 五 10 分 計算 L x dyyydxyeI sin cos1 其中L為 x0 xysin0 的全部邊界曲線 取逆時針方向 六 10 分 計算 dSzyxI 其中 是半球面 0 0 2222 azazyx 七 10 分 討論含參變量反常積分 dx x xy 2 4 sin 在 y 內(nèi)的一致收斂性 參考答案參考答案 一 解答下列各題 每小題 5 分 共 40 分 精品文檔 7歡迎下載 1 設 ln yxz 求 y z y x z x 解 yyx y z xyx x z1 2 11 1 2 11 2 1 2 1 2 1 yx y yx x y z y x z x 2 32 24 23 sin 2232 tsztsytsx x y zu 求 t u s u 解 s z z u s y y u s x x u s u s x y xx y zs x y x y z4sin4 1 cos6cos 2 x y s x y x z x y x yzs sin4cos 4 cos 6 2 t z z u t y y u t x x u t u 6 sin 6 1 cos2cos 2 2 t x y t xx y z x y x y z x y t x y x zt x y x yz sin6cos 6 cos 2 2 2 3 設 sin y x eu x 求 yx u 2 在點 1 2 處的值 解 cos 2 y x e y x y u x sin cos 1 2 2 y x y x y x x y e yx u x 2 22 1 2 eyx u 4 求由方程 2 222 zyxxyz 所確定的函數(shù) yxzz 在點 1 0 1 處的全微分dz 解 在原方程的兩邊求微分 可得 0 222 zyx zdzydyxdx xydzxzdyyzdx 將 1 0 1 zyx 代入上式 化簡后得到 dydxdz2 5 求函數(shù) ln 222 zyxu 在點 2 2 1 M 處的梯度 2 2 1 gradu 解 z u y u x u gradu 精品文檔 8歡迎下載 222222222 2 2 2 zyx z zyx y zyx x 2 2 1 9 2 2 2 1 gradu 6 求曲面 32 xyez z 在點 1 2 0 處的切平面和法線方程 解 記 3 2 xyezzyxF z 在點 1 2 0 處的法向量為 0 2 4 0 2 1 1 2 2 z exyn 則切平面方程為 0 2 2 1 4 yx 即 042 yx 法線方程為 0 0 2 2 4 1 zyx 即 0 032 z yx 7 計算積分 dx x ee xx 0 2 解 2 1 2 dye x ee xy xx dyedxdx x ee xy xx 2 100 2 而 xy eyxf 在 2 1 0 上連續(xù) 且 0 dxe xy 在 1 2 上一致收斂 則可交換積分次序 于是有 原式 2ln 1 2 10 2 1 dy y dxedy xy 8 計算積分 11 0 2 x y dyedxI 解 交換積分順序得 1 2 1 1 1 00 1 0 22 edyyedxdyeI y y y 八 求內(nèi)接于橢球 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的最大長方體的體積 長方體的各個面平行于 坐標面 解 設長方體在第一卦限的頂點坐標為 x y z 則長方體的體積為 xyzV8 拉格朗日函數(shù)為 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x xyzL 由 4 1 3 0 2 2 0 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c z b y a x c z xy b y xz a x yz 解得 3 3 3 c z b y a x 精品文檔 9歡迎下載 根據(jù)實際情況必有最大值 所以當長方體在第一卦限內(nèi)的頂點坐標為 3 3 3 cba 時體積最大 33 8 max abcV 九 若 D 是由 1 yx 和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域 且 1 0 dxxdxdyxf D 求 x 解 1 0 1 0 1 0 1 dxxfxdyxfdxdxdyxf x D 1 xfxx 十 計算 D d x y arctg 其中D是由圓周 1 4 2222 yxyx 及 0 yxy 所 圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域 解 21 4 0 rrD 2 1 4 0 rdrdd x y arctg D 64 3 2 2 1 4 0 rdrd 十一 計算 L x dyyydxyeI sin cos1 其中L為 x0 xysin0 的全部邊界曲線 取逆時針方向 解 由格林公式 x ye y P x Q 所以 0 sin 0 x x D x ydydxedxdyyeI 1 5 1 2sin 2 1 0 exdxe x 十二 計算 dSzyxI 其中 是半球面 0 0 2222 azazyx 解 dxdyzzxyxI ayxD yx 222 22 1 3 222 222 adxdy yxa a yxayx D 十三 討論含參變量反常積分 dx x xy 2 4 sin 在 y 內(nèi)的一致收斂性 解 22 4 1 4 sin xx xy 而 24 1 2 dx x收斂 所以由 M 判別法知 dx x xy 2 4 sin 在 y 內(nèi)的一致收斂 精品文檔 10歡迎下載 數(shù)學分析 3 模擬試題 十四 解答下列各題 每小題 5 分 共 40 分 1 設 1 0 xxxz y 求 y z xx z y x ln 1 2 yxvyxuuvvuzsin cos 22 求 y z x z 3 設 ln xyxz 求 yx z 2 4 設z是方程 z ezyx 所確定的x與 y的函數(shù) 求dz 5 求函數(shù) y xez 2 在點 0 1 P 處沿從點 0 1 P 到點 1 2 Q 的方向?qū)?shù) 精品文檔 11歡迎下載 6 已知曲面 22 4yxz 上點 P 處的切平面平行于平面 122 zyx 求 P 點的坐標 7 計算積分 dx x ee xx 0 32 8 計算積分 11 0 2 y x dxedyI 二 10 分 原點到曲線 1 22 zyx zyx 的最大距離和最小距離 三 10 分 已知 R dxxdxdydzzyxf 0 222 其中 為球體 2222 Rzyx 求 x 四 10 分 計算 dxdyyx D 2 2 其中 D 是由圓周 1 22 yx 所圍成的區(qū)域 五 10 分 計算 L ydxxdyxyI 22 其中L為圓周 1 22 yx 取逆時針方 向 六 10 分 計算 dSzxyzxyI 其中 為錐面 22 yxz 被拄面 axyx2 22 所割下部分 七 10 分 討論含參變量反常積分 dxxe yx 0 sin 在 0 00 yyy 內(nèi)的一 致收斂性 參考答案參考答案 十五 解答下列各題 每小題 5 分 共 40 分 1 設 1 0 xxxz y 求 y z xx z y x ln 1 解 xx y z yx x z yy ln 1 zxxxx x yx y x y z xx z y x yyyy 2ln ln 1 ln 1 1 2 yxvyxuuvvuzsin cos 22 求 y z x z 解 x v v z x u u z x z yuvuyvuvsin 2 cos 2 22 精品文檔 12歡迎下載 sin cossincos3 2 yyyyx y v v z y z u z y z yxuvuyxvuvcos 2 sin 2 22 sin cos cos sincossin2 3333 yyxyyyyx 3 設 ln xyxz 求 yx z 2 解 1lnln xy xy y xxy x z yxy x yx z1 2 4 設z是方程 z ezyx 所確定的x與 y的函數(shù) 求dz 解 方程兩邊求微分 得 dzedzdydx z dy e dx ee dydx dz zzz 1 1 1 1 1 5 求函數(shù) y xez 2 在點 0 1 P 處沿從點 0 1 P 到點 1 2 Q 的方向?qū)?shù) 解 方向l即向量 1 1 PQ 的方向 因此 x 軸到方向l的轉(zhuǎn)角 4 yy xe y z e x z 22 2 2 0 1 1 0 1 y z x z 故所求方向?qū)?shù)為 2 2 4 sin 2 4 cos 1 l z 6 已知曲面 22 4yxz 上點 P 處的切平面平行于平面 122 zyx 求 P 點 的坐標 解 設 P 點的坐標為 000 zyx 則 P 點處的切平面為 0 2 2 00000 zzyyyxxx 又因該平面與平面 122 zyx 平行 則有 1 1 2 2 2 2 00 yx 2 1 1 000 zyx 即 2 1 1 P 7 計算積分 dx x ee xx 0 32 解 3 2 32 dye x ee xy xx dyedxdx x ee xy xx 3 200 32 而 xy eyxf 在 3 2 0 上連續(xù) 且 0 dxe xy 在 2 3 上一致收斂 精品文檔 13歡迎下載 則可交換積分次序 于是有 原式 2 3 ln 1 3 20 3 2 dy y dxedy xy 8 計算積分 11 0 2 y x dxedyI 解 交換積分順序得 1 2 1 1 1 00 1 0 22 edxxedydxeI x x x 三 原點到曲線 1 22 zyx zyx 的最大距離和最小距離 解 設 P x y z 為曲線上任意點 則目標函數(shù)為 222 zyxzyxd 約 束條件為 1 22 zyx zyx 建立拉格朗日函數(shù)