2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題雙規(guī)范案例之——立體幾何問(wèn)題.docx

立體幾何問(wèn)題感悟體驗(yàn)快易通1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA平面ABCD,ADP是邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,PC,PD的中點(diǎn)分別為E,F.(1)求證:EF平面PAB.(2)求二面角E-AD-B的大小.【解析】(1)在PCD中,因?yàn)镋,F分別是PC,PD的中點(diǎn),所以EFCD,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以ABCD,所以EFAB.因?yàn)锳B平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB. (2)方法一:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,PA平面ABCD,作EG平面ABCD于G,EHAD于H,連接GH,所以EHG為二面角E-AD-B的平面角.因?yàn)锳DP是邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,E,F分別是PC,PD的中點(diǎn),所以GH=GE=2,所以GEH是等腰直角三角形,EHG=45.故二面角E-AD-B的大小為45.方法二:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,PA平面ABCD,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳DP是邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,所以AP=AB=AD=4,所以A(0,0,0),P(0,0,4),D(-4,0,0),E(-2,2,2),所以=(-4,0,0),=(-2,2,2),=(0,0,4).設(shè)平面EAD的法向量為n=(x,y,z),則所以即不妨令z=-1,則y=1,所以n=(0,1,-1)為平面EAD的一個(gè)法向量,易知向量=(0,0,4)為平面ABD的一個(gè)法向量,設(shè)二面角E-AD-B的大小為,所以cos =,所以二面角E-AD-B的大小為45.2.已知在如圖所示的矩形ABCD中,AB=,AD=4,E為AD上靠近D的一個(gè)四等分點(diǎn).現(xiàn)將BCE以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)到BCF,使平面BCF平面ABCD,設(shè)G,H分別為AD,CF的中點(diǎn),如圖所示.(1)求證:平面BGF平面CDF.(2)求平面BGF與平面DGH夾角的余弦值.【解析】(1)在題圖中,因?yàn)锳B=,AD=4,E為AD上靠近D的一個(gè)四等分點(diǎn),所以AE=3,DE=1,所以BE=2,CE=2, 所以BC2=BE2+CE2,得BECE,所以在題圖中,BFCF.又平面BCF平面ABCD,且平面BCF平面ABCD=BC,DCBC,所以DC平面BCF,所以DCBF.又DCCF=C,所以BF平面DCF.又BF平面BGF,所以平面BGF平面CDF. (2)以F為坐標(biāo)原點(diǎn),FC,FB所在直線(xiàn)分別為x,y軸,過(guò)點(diǎn)F且垂直于平面BCF的直線(xiàn)為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則F(0,0,0),B(0,2,0),G(1,),H(1,0,0),D(2,0,),所以=(0,2,0),=(1,),=(-1,0),=(-1,0,-).設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面BFG的法向量,則即即y1=0,令z1=-1,則x1=,所以平面BFG的一個(gè)法向量為n1=(,0,-1). 設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面DGH的法向量,則即令x2=