2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解析幾何專(zhuān)題能力提升練二十2.7.4與橢圓、拋物線(xiàn)相關(guān)的定值、定點(diǎn)及存在性問(wèn)題.docx

專(zhuān)題能力提升練 二十 與橢圓、拋物線(xiàn)相關(guān)的定值、定點(diǎn)及存在性問(wèn)題(45分鐘80分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2018蚌埠一模)已知F為雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦點(diǎn),直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,若點(diǎn)A(a,0),B(0,b)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),則雙曲線(xiàn)C的離心率為()A.3+12B.2+12C.3+1D.+1【解析】選C.點(diǎn)A(a,0),B(0,b)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),可得直線(xiàn)l為AB的垂直平分線(xiàn).AB的中點(diǎn)為a2,b2,AB的斜率為-ba,可得直線(xiàn)l的方程為y-=abx-a2.令y=0,可得x=12a-b22a,由題意可得-c=12a-,即有a(a+2c)=b2=c2-a2,由e=ca,可得e2-2e-2=0.解得e=1+(1-舍去).2.(2018西寧一模)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,若橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)P,滿(mǎn)足以橢圓短軸為直徑的圓與線(xiàn)段PF1相切于該線(xiàn)段的中點(diǎn),則橢圓的離心率為()A.B.23C.59D.【解析】選D.設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線(xiàn)段PF1相切于點(diǎn)M,連接OM,PF2.因?yàn)镸,O分別為PF1,F1F2的中點(diǎn),所以|PF2|=2|MO|=2b.又因?yàn)榫€(xiàn)段PF1與圓O相切于點(diǎn)M,所以O(shè)MPF1,PF1PF2,則|PF1|=2c2-b2,|PF1|+|PF2|=2a,代入化簡(jiǎn)得:2ab=a2-c2+2b2=3b2,所以b=23a,c=a,則離心率為e=ca=.3.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)x2a2-=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,其右支上存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足PF1PF2,且PF1F2的面積為3,則該雙曲線(xiàn)的離心率為 ()A.B.C.2D.3【解析】選B.記|PF1|=m,|PF2|=n,則m-n=2a,m2+n2=|F1F2|2=4c2,=12mn=14m2+n2-(m-n)2=c2-a2=b2=a2-1=3,則a2=4,從而e=.4.(2018鄭州一模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,在線(xiàn)段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF1PF2,則橢圓的離心率的平方為()A.B.3-52C.D.3-12【解析】選B.因?yàn)樵诰€(xiàn)段AB上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF1PF2,所以以原點(diǎn)為圓心,以c為半徑的圓與AB相切,則POAB,所以ab=c,又b2=a2-c2,代入化簡(jiǎn)可得e4-3e2+1=0.則e2=3-52(另一個(gè)根已舍去).5.已知點(diǎn)A是拋物線(xiàn)y=14x2的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn),點(diǎn)F為該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上,且滿(mǎn)足|PF|=m|PA|,當(dāng)m取得最小值時(shí),點(diǎn)P恰好在以A,F為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A.5+12B.2+12C.+1D.+1【解析】選C.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1,過(guò)P作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為N,則由拋物線(xiàn)的定義可得|PN|=|PF|,因?yàn)閨PF|=m|PA|,所以|PN|=m|PA|,則|PN|PA|=m,設(shè)PA的傾斜角為,則sin =m,當(dāng)m取得最小值時(shí),sin 最小,此時(shí)直線(xiàn)PA與拋物線(xiàn)相切,設(shè)直線(xiàn)PA的方程為y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,所以=16k2-16=0,所以k=1,所以P(2,1),所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為|PA|-|PF|=2(-1),所以雙曲線(xiàn)的離心率為22(2-1)=+1.6.已知點(diǎn)A在曲線(xiàn)P:y=x2(x0)上,A過(guò)原點(diǎn)O,且與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M,若線(xiàn)段OM,A和曲線(xiàn)P上分別存在點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)D,使得四邊形ABCD(點(diǎn)A,B,C,D順時(shí)針排列)是正方形,則稱(chēng)點(diǎn)A為曲線(xiàn)P的“完美點(diǎn)”.那么下列結(jié)論中正確的是()A.曲線(xiàn)P上不存在”完美點(diǎn)”B.曲線(xiàn)P上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”,其橫坐標(biāo)大于1C.曲線(xiàn)P上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”,其橫坐標(biāo)大于12且小于1D.曲線(xiàn)P上存在兩個(gè)“完美點(diǎn)”,其橫坐標(biāo)均大于12【解析】選B.如圖1,如果點(diǎn)A為“完美點(diǎn)”,則有|AB|=|AD|=|AC|=|OA|,以A為圓心,|OA|為半徑作圓(如圖2中虛線(xiàn)圓)交y軸于B,B(可重合),交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D,D,當(dāng)且僅當(dāng)ABAD時(shí),在圓A上總存在點(diǎn)C,使得AC為BAD的角平分線(xiàn),即BAC=DAC=45,利用余弦定理可求得此時(shí)|BC|=|CD|=|OA|,即四邊形ABCD是正方形,即點(diǎn)A為“完美點(diǎn)”,如圖,結(jié)合圖象可知,點(diǎn)B一定是上方的交點(diǎn),否則在拋物線(xiàn)上不存在D使得ABAD,D也一定是上方的點(diǎn),否則,A,B,C,D不是順時(shí)針,再考慮當(dāng)點(diǎn)A橫坐標(biāo)越來(lái)越大時(shí),BAD的變化情況:設(shè)A(m,m2),當(dāng)m45,此時(shí)圓與y軸相離,此時(shí)點(diǎn)A不是“完美點(diǎn)”,故只需要考慮m1,當(dāng)m增加時(shí),BAD越來(lái)越小,且趨近于0,而當(dāng)m=1時(shí),BAD90;故曲線(xiàn)P上存在唯一一個(gè)“完美點(diǎn)”其橫坐標(biāo)大于1.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知拋物線(xiàn)C:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=8,則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi).【解析】分別過(guò)點(diǎn)M,N作拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為P,Q,由拋物線(xiàn)的定義知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,則|MP|+|NQ|=|MN|=8.線(xiàn)段MN的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為梯形MNQP的中位線(xiàn)的長(zhǎng)度,即12(|MP|+|NQ|)=4.答案:48.(2018大連一模)已知拋物線(xiàn)C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(1,0)任作一條直線(xiàn)和拋物線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)G(2,0),連接AG,BG并延長(zhǎng),分別和拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)A和B,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)_.【解析】方法一:如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=ky+1,由y2=2x,x=ky+1,消x可得y2-2ky-2=0,所以y1+y2=2k,y1y2=-2,則直線(xiàn)AG的方程為y=(x-2),直線(xiàn)BG的方程為y=(x-2),將y=(x-2),代入y2=2x中,即y1y2-2(x1-2)y-4y1=0,解得yA=-4y1,xA=8y12,同理可得yB=-4y2,xB=8y22,所以kAB=-12y2y1y2+y1=,所以直線(xiàn)AB的方程為y+4y1=12kx-8y12,或y+4y2=12kx-8y22.由+可得y+2=12kx-4脳(y1+y2)2-2y1y2y12y22.即y=(x-4).所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(4,0).方法二:不妨令直線(xiàn)AB為x=1,由解得y=,所以A(1,),B(1,-),因?yàn)镚(2,0),所以直線(xiàn)AG的方程為y=-(x-2),直線(xiàn)BG的方程為y=(x-2).將y=-(x-2)代入拋物線(xiàn)方程得2(x-2)2=2x,解得x=1或x=4.故A(4,-2),同理可得B(4,2),所以直線(xiàn)AB的方程為x=4,所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(4,0).答案:(4,0)三、解答題(每小題10分,共40分)9.已知定圓C:x2+(y-3)2=4,定直線(xiàn)m:x+3y+6=0,過(guò)A(-1,0)的一條動(dòng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)m相交于N,與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),M是PQ中點(diǎn). (1)當(dāng)l與m垂直時(shí),求證:l過(guò)圓心C.(2)當(dāng)|PQ|=2時(shí),求直線(xiàn)l的方程.(3)設(shè)t=,試問(wèn)t是否為定值,若為定值,請(qǐng)求出t的值;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由已知km=-13,故kl=3,所以直線(xiàn)l的方程為y=3(x+1),將圓心C(0,3)代入方程y=3(x+1)成立,故l過(guò)圓心C.(2)當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí),易知x=-1符合題意,當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+1),因?yàn)閨PQ|=2,所以|CM|=1,即|-k+3|k2+1=1,解得k=43,此時(shí)y=43(x+1),即4x-3y+4=0,故直線(xiàn)l的方程為x=-1或4x-3y+4=0.(3)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),易得M(-1,3),N-1,-53,又A(-1,0),則=(0,3),=,故=-5,即t=-5,當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+1),代入圓的方程得:(1+k2)x2+(2k2-6k)x+k2-6k+5=0,則x1+x2=-2k2+6k1+k2,xM=x1+x22=-k2+3k1+k2,yM=k(xM+1)=3k2+k1+k2,即M-k2+3k1+k2,3k2+k1+k2,=3k+11+k2,3k2+k1+k2,又由得N, 則=,故t=+=-5,綜上所述,t的值為定值,且t=-5.10.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)P(2,),且它的離心率e=12.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)與圓(x-1)2+y2=1相切的直線(xiàn)l:y=kx+t交橢圓于M,N兩點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)C滿(mǎn)足+=,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(ab0),由已知4a2+3b2=1,ca=12,c2=a2-b2,解得a2=8,b2=6,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y26=1.(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l:y=kx+t與圓(x-1)2+y2=1相切,所以|t+k|1+k2=1,2k=(t0),把y=kx+t代入x28+y26=1整理得(3+4k2)x2+8ktx+(4t2-24)=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則有x1+x2=-,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=6t3+4k2,因?yàn)?=,所以=(x1+x2,y1+y2),所以C,又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以+=12=2t23+4k2=21t22+1t2+1,因?yàn)閠20,所以1t22+1t2+11,所以022,所以的取值范圍為(-2,0)(0,).11.已知過(guò)點(diǎn)P12,0的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)x2=y交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)Q(0,-1),連接AQ,BQ的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)分別為N,M,如圖所示.(1)若=2,求直線(xiàn)l的斜率.(2)試判斷直線(xiàn)MN的斜率是否為定值,如果是,請(qǐng)求出此定值,如果不是,說(shuō)明理由.【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+12,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得m2y2+(m-1)y+14=0,因?yàn)?2,所以y2=2y1,由得y1=,y12=,解得m=-8+612,m=-8-60得,4k2+3m2,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.=(+)(+)=+=0,所以(x1+2)(x2+2)+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+4+m2=0,4k2-16km+7m2=0,所以k=12m或k=72m均適合.當(dāng)k=12m時(shí),直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A,舍去,當(dāng)k=72m時(shí),直線(xiàn)l:y=kx+27k過(guò)定點(diǎn).(建議用時(shí):50分鐘)1.已知P為拋物線(xiàn)y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓x2+(y-4)2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)距離之和的最小值是()A.2-1B.2-2C.17-1D.17-2【解析】選C.拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離,進(jìn)而推斷出當(dāng)P,Q,F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)距離之和的最小為|FC|-r=17-1.2.已知點(diǎn)F是曲線(xiàn)C:y=14x2的焦點(diǎn),點(diǎn)P為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn),A為曲線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與其對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn),則|PF|PA|的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選C.由已知Px,x24,A(0,-1),F(0,1),則|PF|PA|=x2+x24-12x2+x24+12=1-11+x216+12+1x2=,當(dāng)且僅當(dāng)x2=4時(shí)等號(hào)成立,又1.故選C.3.已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(ba0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0).若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P使=,則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是()A.(1,+1)B.(,+)C.(,+1)D.(+1,+)【解析】選C.由題意可設(shè)P在右支非x軸上,由正弦定理有=,為方便運(yùn)算,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則mn=ca,又m-n=2a, 解得n=2a2c-a,m=,又sinPF1F20,則P,F1,F2不共線(xiàn),則m+n2c,即+2a2c-a2c,整理得c2-a2-2ac0,兩邊同時(shí)除以a2得e2-2e-10,解得1-ea,則e,故e(,1+),故選C.4.(2018榆林一模)已知F1,F2是雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)M,若點(diǎn)M在以線(xiàn)段F1F2為直徑的圓外,則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是()A.(1,)B.(,)C.(,2)D.(2,+)【解析】選D.如圖,由題意,直線(xiàn)MF2的方程為y=-ba(x-c),OM的方程為y=bax,聯(lián)立兩直線(xiàn)方程,得Mc2,bc2a,因?yàn)辄c(diǎn)M在以線(xiàn)段F1F2為直徑的圓外,所以c22+bc2a2c2,b23a2,則e=2.5.(2018衡水一模)已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(2,t)到焦點(diǎn)的距離為52.(1)若M,過(guò)點(diǎn)M,P的直線(xiàn)l1與拋物線(xiàn)相交于另一點(diǎn)Q,求|QF|PF|的值.(2)若直線(xiàn)l2與拋物線(xiàn)C相交于A,B兩點(diǎn),與圓M:(x-a)2+y2=1相交于D,E兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OAOB,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)a,使得|DE|的長(zhǎng)為定值?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(2,t),所以2+=52,解得p=1,故拋物線(xiàn)C的方程為y2=2x,當(dāng)x=2時(shí),t=2,所以l1的方程為y=45x+25,聯(lián)立可得xQ=18,又因?yàn)閨QF|=xQ+12,|PF|=xP+12,所以|QF|PF|=14.(2)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=ty+m,代入拋物線(xiàn)方程可得y2-2ty-2m=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2t,y1y2=-2m,由OAOB得:(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,整理得(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2=0,將代入解得m=2,所以直線(xiàn)l:x=t