麥克斯韋速率分布律的推導與驗證.doc

熱學研究（論文）麥克斯韋速度分布律的推導與實驗驗證摘要：本文對麥克斯韋速度分布律的內容及其歷史來歷做了簡略概述，重點是用初等方法推導了麥克斯韋速度分布律，同時簡單地描述了一下它的實驗驗證。關鍵詞：速度分布函數(shù)，實驗驗證。一 內容1、 麥克斯韋速度分布律的內容當氣體處于平衡態(tài)時，氣體分子的速度在間隔內，及分子速度分量在，間隔內的分子數(shù)占總分子數(shù)N的比率為：，其中m為分子的質量，T為氣體溫度，k為波爾茲曼常數(shù)，為氣體分子平動能。表示速度矢量的端點在速度體元內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率，換言之，一個分子取得間隔內速度的幾率。2、 分子速度分布函數(shù)的物理意義是：分子速度在v附近，單位時間間隔內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。3、速度分量分布函數(shù)3、 麥克斯韋速率分布律將以為軸的笛氏坐標進行坐標變換，變?yōu)榍蜃鴺朔肿铀俣仍?，內的分子?shù)占總分子數(shù)的比率為對，積分，得分子的速度在內分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為4、 分子速率分布函數(shù)物理意義:分子速率在v附近，單位速率間隔內的幾率。二 歷史1859年4月，麥克斯韋偶然的讀到克勞修斯關于平均自由路程的那篇論文，很受鼓舞，重燃了他原來在土星衛(wèi)環(huán)問題上運用概率理論的信念，認為可以用所掌握的概率理論對動理論進行更全面的論證。1859年麥克斯韋寫了氣體動力理論的說明一文。接著他用概率方法找出粒子速度在某一限值內的粒子的平均數(shù)，即速率分布律。麥克斯韋的這一推導受到了克勞修斯的批評，也引起了其他物理學家的懷疑。這是因為他在推導中把速度分解為x，y和z三個分量，并假設他們相互獨立的分布。直到1866年，麥克斯韋對氣體分子運動理論做了進一步的研究以后，他寫了氣體的動力理論的長篇論文，討論氣體的輸運過程。其中有一段是關于速度分布律的嚴格推導，這一推導不再有“速度三個分量的分布相互獨立”的假設，也得出了上述速度分布律。它不依賴于任何假設，因而結論是普遍的。三 麥克斯韋速度分布律的推導設容器內有一定量的氣體處于平衡態(tài)，氣體總分子數(shù)為N，分子速度在x，y，z三個方向上的分量為。處于平衡態(tài)的氣體分子速度分布應該是各向同性的，在速度區(qū)間，內的分子數(shù)dN顯然與總分子數(shù)N和速度間隔體元成正比即 （） （1）這里比例系數(shù) (2 )為速度分布函數(shù)由于速度分布函數(shù)的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量無關，故可設 （3）對上式兩邊取對數(shù)的上式分別對求偏導先對 整理后可得 同理有 以上三式左邊相同，故右邊也相等可令 對上式積分得將其帶入（3）式有 （5）考慮到具有無限大速率的分子出現(xiàn)的幾率極小，故應為負值令，有歸一條件有：由積分公式 可知上式 得于是 （6）在利用分子平均動能等于則 即 （7）僅取上積分式中一項由積分公式 可得 原式則 代入（7）式有 得 代入（6）式有 （8）通常說的速率分函數(shù)，f（u）指的是不論速度方向如何，只考慮速度的大小點的分布，在這種情況下，自然應該用球坐標系表示速度區(qū)間則 可得： 四 實驗驗證在麥克斯韋從理論推導速度分布律后的近半個世紀，由于當時的技術條件，主要是高真空技術和測量技術的限制，要從實驗上來驗證麥克斯韋速度分布律是非常困難的，直到1920年，英國物理學家斯特恩才做了第一次的嘗試。雖然實驗技術曾經有許多物理工作者做了進一步的改進，但直到1955年才由哥倫比亞大學的密勒和庫士提出了這個定律的高精確的實驗證明。1、 實驗裝置簡介（1）、o為分子或原子射線源（2）、R是用鋁合金制成的圓柱體，圓柱體上均勻地刻制了一些螺旋形的細槽，細槽的入口狹縫與出口狹縫之間的夾角（3）、D是根據(jù)電離計原理制成的檢測器，用來接收原子射線，并測定其強度（4）、整個裝置都放在抽成真空的容器內2、實驗原理 實驗時，圓柱體R以一定的角速度轉動，由于不同的速率的分子通過細槽所需的時間不同，各種速率的分子射入入口狹縫后，只有速率嚴格限定的分子才能通過這些細槽，而不和細槽壁碰撞。分子沿細槽前進所需的時間為，從而有只有速率滿足上述關系的分子才能通過細槽，其它速率的分子將沉積在細槽的內壁上。因此旋轉主體起到了速率選擇器的作用，改變角速度，就可以使不同的分子通過。3、實驗過程與結果改變圓柱體轉動的角速度，依次測定相應分子射線的強度，就可以確定分子射線的速率分布情況。試驗表明，射線強度確為速率的函數(shù)，強度大，表明分布在該速率區(qū)間內的分子數(shù)所占的比率較大，反之亦然。實驗還表明，在相同條件下，各相等速率區(qū)間內的分子數(shù)比率不同，多次實驗得到同一速率區(qū)間內的分子數(shù)比率大致相同。這就說明分子速率確實存在一個恒定的分布律。1955年密勒與庫士測定了從加熱爐內發(fā)射出來的鉈原子速率分布，實驗溫度為1400K,并由實驗數(shù)據(jù)會出了鉈原子速率分布的試驗曲線（見下圖）。由試驗曲線可知：（1）、值兩頭小，中間大，有一極大值（2）、可認為大量原子（或分子）的速率是連續(xù)分布的，當取得很小時，則有 這一函數(shù)，麥克斯韋首先從理論上找到了密勒與庫士于1955年在實驗上比較精確的證明了麥克斯韋速度分布律?？偨Y：應用麥克斯韋速率分布律可以求與速度有關的函數(shù)的各種平均值；可以計算速率在內的分子數(shù)；可以計算速率在有限間隔內的分子數(shù)或者百分數(shù)；也可以推導理想氣體的壓強公式、溫度公式、狀態(tài)方程及幾個實驗定律；還可以推導能量均分定理。麥克斯韋速度分布律對于研究氣體無規(guī)則熱運動有重要意義，找到了微觀量求統(tǒng)計平均值的途徑，為氣體分子運動論奠定了基