高考數(shù)學(xué) 4.3平面向量的數(shù)量積配套課件 文 新人教A版.ppt

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積 1 平面向量的數(shù)量積 1 定義 a b cos 2 向量的投影設(shè) 為a與b的夾角 則向量a在b方向上的投影是 向量b在a方向上的投影是 3 平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度 a 與 的乘積 a cos b cos b在a的方向 上的投影 b cos 2 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a b都是非零向量 e是單位向量 為a與b 或e 的夾角 則 3 當(dāng)a與b同向時(shí) a b a b 當(dāng)a與b反向時(shí) a b a b 特別地 a a 或者 a 4 cos 5 a b a 2 a b 3 數(shù)量積的運(yùn)算律 1 交換律 a b b a 2 數(shù)乘結(jié)合律 a b 3 分配律 a b c a b a b a b a c 4 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 模 夾角設(shè)向量a x1 y1 b x2 y2 向量a與b的夾角為 則 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量 而不是向量 2 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù) 向量的加 減 數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量 3 由a b 0可得a 0或b 0 4 由a b a c及a 0不能推出b c 5 a2 a 2 解析 1 正確 由向量的投影的定義可知正確 2 正確 由數(shù)量積及向量線性運(yùn)算的定義易得正確 3 不正確 因?yàn)楫?dāng)a b時(shí)也有a b 0 而不必a 0或b 0 4 正確 向量的數(shù)量積不滿足消去律 5 正確 a2 a a a a a 2 答案 1 2 3 4 5 1 若a b c為任意向量 m r 則下列等式不一定成立的是 a a b c a b c b a b c a c b c c m a b ma mb d a b c a b c 解析 選d a b c表示與c共線的向量 a b c 表示與a共線的向量 而a c不一定共線 因此d選項(xiàng)不一定成立 2 若非零向量a b c滿足a b 且a c 則c a 2b a 4 b 3 c 2 d 0 解析 選d 由a b及a c 得b c 則c a 2b c a 2c b 0 3 已知向量a 1 2 向量b x 2 且a a b 則實(shí)數(shù)x等于 a 9 b 4 c 0 d 4 解析 選a a b 1 x 4 由a a b 得1 x 8 0 x 9 4 已知向量a 1 2 b 2 3 若向量c滿足 c a b c a b 則c 解析 選d 設(shè)c m n 則a c 1 m 2 n a b 3 1 對(duì)于 c a b 則有 3 1 m 2 2 n 又c a b 則有3m n 0 則有 5 已知向量a b滿足 b 2 a與b的夾角為60 則b在a上的投影是 解析 b在a上的投影是 b cos a b 2cos60 1 答案 1 6 已知 a b 2 a 2b a b 2 則a與b的夾角為 解析 由 a b 2 a 2b a b 2 得a b 2 cos a b 又 a b 0 所以 a b 答案 考向1平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算 典例1 1 已知a 1 sin2x b 2 sin2x 其中x 0 若 a b a b 則tanx的值等于 2 2012 天津高考 在 abc中 a 90 ab 1 ac 2 設(shè)點(diǎn)p q滿足若則 3 2012 北京高考 已知正方形abcd的邊長(zhǎng)為1 點(diǎn)e是ab邊上的動(dòng)點(diǎn) 則的值為 的最大值為 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 1 選a 由 a b a b 知 a b 所以sin2x 2sin2x 即2sinxcosx 2sin2x 而x 0 所以sinx cosx 即 2 選b 由題意可得又ab 1 ac 2 4 1 2 解得 3 方法一 如圖所示 以ab ad所在的直線分別為x y軸建立直角坐標(biāo)系 設(shè)e t 0 0 t 1 則d 0 1 b 1 0 c 1 1 t 1 0 1 方法二 選取作為基底 設(shè)則答案 11 拓展提升 向量數(shù)量積運(yùn)算的兩種方法 1 定義法 依據(jù)兩向量的長(zhǎng)度和夾角的余弦值計(jì)算 即a b a b cos a b 2 坐標(biāo)法 依據(jù)向量的坐標(biāo)來計(jì)算 即a x1 y1 b x2 y2 則a b x1x2 y1y2 變式訓(xùn)練 1 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 滿足條件 8a b c 30 則x a 6 b 5 c 4 d 3 解析 選c 8a b 8 1 1 2 5 6 3 所以 8a b c 6 3 3 x 30 即 18 3x 30 解得 x 4 故選c 2 已知兩個(gè)單位向量e1 e2的夾角為若向量b1 e1 2e2 b2 3e1 4e2 則b1 b2 解析 b1 b2 e1 2e2 3e1 4e2 3 e1 2 2e1 e2 8 e2 2 又 e1 e2 e1 1 e2 1 b1 b2 3 8 3 1 8 6 答案 6 考向2平面向量的垂直與夾角 典例2 1 2013 廣州模擬 設(shè)向量a b均為單位向量 且 a b 1 則a與b夾角為 2 已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量 k為實(shí)數(shù) 若向量a b與向量ka b垂直 則k 3 設(shè)兩個(gè)向量a b 滿足 a 2 b 1 a與b的夾角為若向量2ta 7b與a tb的夾角為鈍角 求實(shí)數(shù)t的范圍 思路點(diǎn)撥 1 a 1 b 1 利用 a b 1 兩邊平方可求得a b 進(jìn)而得出a b的夾角 2 向量a b與向量ka b垂直等價(jià)于 a b ka b 0 展開用數(shù)量積公式求得k的值 3 利用向量的夾角為鈍角與兩向量的數(shù)量積小于0且兩向量不共線反向解題 規(guī)范解答 1 選c a b為單位向量 2 a b ka b a b ka b 0 即ka2 k 1 a b b2 0 又 a b為兩個(gè)不共線的單位向量 式可化為k 1 1 k a b 若1 k 0 則a b 1 這與a b不共線矛盾 若1 k 0 則k 1 1 k a b恒成立 綜上可知 k 1時(shí)符合題意 答案 1 3 由向量2ta 7b與a tb的夾角為鈍角 得即 2ta 7b a tb 0 化簡(jiǎn)即得2t2 15t 7 0 解得當(dāng)夾角為 時(shí) 也有 2ta 7b a tb 0 但此時(shí)夾角不是鈍角 設(shè)2ta 7b a tb 0 可求得 所求實(shí)數(shù)t的范圍是 拓展提升 向量垂直的判斷方法及應(yīng)用 1 若a b為非零向量 則a ba b 0 若非零向量a x1 y1 b x2 y2 則a bx1x2 y1y2 0 2 兩個(gè)向量垂直與向量所在直線垂直是一致的 向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算是求解向量問題的兩大途徑 提醒 a b 00 0 0 是 為銳角 鈍角 的必要而不充分條件 變式訓(xùn)練 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a與b的夾角 2 求 a b 和 a b 3 若作 abc 求 abc的面積 解析 1 由 2a 3b 2a b 61 得4 a 2 4a b 3 b 2 61 a 4 b 3 代入上式求得a b 6 2 可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 42 2 6 32 13 a b 同理 考向3平面向量的模及應(yīng)用 典例3 1 已知向量a cos sin 向量b 則 2a b 的最大值 最小值分別是 2 2012 新課標(biāo)全國(guó)卷 已知向量a b的夾角為45 且 a 1 則 b 3 2013 東莞模擬 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 已知點(diǎn)a 1 2 b 2 3 c 2 1 求以線段ab ac為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng) 設(shè)實(shí)數(shù)t滿足求t的值 思路點(diǎn)撥 1 運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解決 2 將 2a b 的平方展開 代入 a a b的值 將所得看作關(guān)于 b 的方程 解方程即可 3 將平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為向量的模長(zhǎng)或兩點(diǎn)間的距離問題解決 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決 規(guī)范解答 1 選d 由于 2a b 2 4a2 b2 4a b 易知0 8 8cos 16 故 2a b 的最大值和最小值分別為4和0 2 a b的夾角為45 a 1 答案 3 方法一 由題設(shè)知 3 5 1 1 則所以故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 方法二 設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為d 兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為e 則e為bc的中點(diǎn) e 0 1 又e 0 1 為ad的中點(diǎn) 所以d 1 4 故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 由題設(shè)知 2 1 拓展提升 解決向量長(zhǎng)度問題的方法 1 幾何法 利用向量的幾何意義 即利用向量的加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量 再利用余弦定理等方法求解 2 代數(shù)法 即利用公式把長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算來解決 變式訓(xùn)練 1 若a b c均為單位向量 且a b 0 a c b c 0 則 a b c 的最大值為 解析 選b 由向量a b c都是單位向量 可得a2 1 b2 1 c2 1 由a b 0及 a c b c 0 可以知道 a b c c2 1 因?yàn)?a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 所以有 a b c 2 3 2 a c b c 3 2 a b c 故 a b c 1 2 設(shè)在平面上有兩個(gè)向量a cos sin 0 360 求證 向量a b與a b垂直 當(dāng)向量與的模相等時(shí) 求 的大小 解析 因?yàn)?a b a b a 2 b 2故a b與a b垂直 由兩邊平方得 即cos 120 0 120 k 180 90 k z 即 k 180 210 k z 又0 360 則 30 或 210 滿分指導(dǎo) 平面向量與三角函數(shù)綜合題的規(guī)范解答 典例 13分 2013 廣州模擬 已知向量其中x r 1 當(dāng)時(shí) 求x值的集合 2 設(shè)函數(shù)f x a c 2 求f x 的最小正周期及其單調(diào)增區(qū)間 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 1 k z 2分 所求x的集合為 4分 13分 失分警示 下文 見規(guī)范解答過程 1 2012 湖南高考 在 abc中 ab 2 ac 3 則bc 解析 選a 由余弦定理得 2 2013 陽(yáng)江模擬 如圖 已知正六邊形p1p2p3p4p5p6 下列向量的數(shù)量積中最大的是 解析 選a 設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1 則所以數(shù)量積最大的為 3 2012 廣東高考 對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量定義若兩個(gè)非零的平面向量a b 滿足a與b的夾角 且都在集合 則 解析 選d 結(jié)合選項(xiàng)a b c d分析可知 只有d符合 4 2013 湛江模擬 已知a b均為單位向量 它們的夾角為那么 等于 解析 選c 因?yàn)?a 3b 2 a 2 3b 2 2a 3b 所以 a 3b 2 1 9 2 13 所以 5 2013 汕頭模擬 已知 a 2 b 0 且關(guān)于x的方程x2 a x a b 0有實(shí)根 則a與b的夾角的取值范圍是 解析 由關(guān)于x的方程x2 a x a b 0有實(shí)根 得 a 2 4a b 0 a b a 2 設(shè)向量a b的夾角為 則 又 a 2 b 0 答案 1 已知向量m n的夾角為且在 abc中 d為bc邊的中點(diǎn) 則 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 選a 由題意知 2 已知o為平面上的一個(gè)定點(diǎn) a b c是該平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn)p滿足條件 0 則動(dòng)點(diǎn)p的軌