高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 高考專題突破三 高考中的數(shù)列問題課件 文 北師大版.ppt

高考中的數(shù)列問題 高考專題突破三 考點(diǎn)自測 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 考點(diǎn)自測 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2017 洛陽模擬 已知等差數(shù)列 an 的公差和首項都不等于0 且a2 a4 a8成等比數(shù)列 則等于a 2b 3c 5d 7 a1 3d 2 a1 d a1 7d d2 a1d 1 2 4 5 解析 3 答案 1 2 4 5 3 解析設(shè)等差數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d an a1 n 1 d n 1 2 4 5 3 解析 3 若a b是函數(shù)f x x2 px q p 0 q 0 的兩個不同的零點(diǎn) 且a b 2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列 也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列 則p q的值等于a 6b 7c 8d 9 答案 1 2 4 5 3 解析由題意知a b p ab q p 0 q 0 a 0 b 0 在a b 2這三個數(shù)的6種排序中 成等差數(shù)列的情況有 a b 2 b a 2 2 a b 2 b a 成等比數(shù)列的情況有 a 2 b b 2 a p 5 q 4 p q 9 故選d 解析 答案 1 2 4 5 3 1 2 4 5 3 解析 an 是等比數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 解析 1 2 4 5 3 答案 4 1 2 4 5 3 an 2an 1 又a1 1 an 是以 1為首項 以 2為公比的等比數(shù)列 an 2 n 1 由1 sk 9 得4 2 k 28 又k n k 4 題型分類深度剖析 例1 2016 四川 已知數(shù)列 an 的首項為1 sn為數(shù)列 an 的前n項和 sn 1 qsn 1 其中q 0 n n 1 若a2 a3 a2 a3成等差數(shù)列 求數(shù)列 an 的通項公式 題型一等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題 解答 解由已知 sn 1 qsn 1 得sn 2 qsn 1 1 兩式相減得an 2 qan 1 n 1 又由s2 qs1 1得a2 qa1 故an 1 qan對所有n 1都成立 所以數(shù)列 an 是首項為1 公比為q的等比數(shù)列 從而an qn 1 由a2 a3 a2 a3成等差數(shù)列 可得2a3 a2 a2 a3 所以a3 2a2 故q 2 所以an 2n 1 n n 解答 解由 1 可知 an qn 1 1 1 1 q2 1 q2 n 1 n 1 q2 q2 n 1 等差數(shù)列 等比數(shù)列綜合問題的解題策略 1 分析已知條件和求解目標(biāo) 為最終解決問題設(shè)置中間問題 例如求和需要先求出通項 求通項需要先求出首項和公差 公比 等 確定解題的順序 2 注意細(xì)節(jié) 在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中 如果等比數(shù)列的公比不能確定 則要看其是否有等于1的可能 在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等 這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的 解答 跟蹤訓(xùn)練1 2018 滄州模擬 已知首項為的等比數(shù)列 an 不是遞減數(shù)列 其前n項和為sn n n 且s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 因?yàn)閟3 a3 s5 a5 s4 a4成等差數(shù)列 所以s5 a5 s3 a3 s4 a4 s5 a5 即4a5 a3 解答 當(dāng)n為奇數(shù)時 sn隨n的增大而減小 當(dāng)n為偶數(shù)時 sn隨n的增大而增大 題型二數(shù)列的通項與求和 例2 2018 邢臺模擬 已知等差數(shù)列 an 的公差為2 前n項和為sn 且s1 s2 s4成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解答 由題意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 解答 1 一般求數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列 此時從要證的結(jié)論出發(fā) 這是很重要的解題信息 2 根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法 常用的求和方法有錯位相減法 分組轉(zhuǎn)化法 裂項相消法等 證明 2 求數(shù)列 an 的通項公式與前n項和sn 解答 題型三數(shù)列與其他知識的交匯 命題點(diǎn)1數(shù)列與函數(shù)的交匯例3 2018 長春模擬 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 點(diǎn) an bn 在函數(shù)f x 2x的圖像上 n n 1 若a1 2 點(diǎn) a8 4b7 在函數(shù)f x 的圖像上 求數(shù)列 an 的前n項和sn 解答 解答 解f x 2xln2 f a2 故函數(shù)f x 2x在 a2 b2 處的切線方程為y x a2 解得a2 2 所以d a2 a1 1 命題點(diǎn)2數(shù)列與不等式的交匯例4 2016 天津 已知 an 是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列 公差為d 對任意的n n bn是an和an 1的等比中項 證明 因此cn 1 cn 2d an 2 an 1 2d2 所以 cn 是等差數(shù)列 證明 命題點(diǎn)3數(shù)列應(yīng)用題例5某企業(yè)為了進(jìn)行技術(shù)改造 設(shè)計了兩種方案 甲方案 一次性貸款10萬元 第一年便可獲利1萬元 以后每年比前一年增加30 的利潤 乙方案 每年貸款1萬元 第一年可獲利1萬元 以后每年比前一年增加5千元 兩種方案的使用期都是10年 到期一次性歸還本息 若銀行兩種形式的貸款都按年息5 的復(fù)利計算 試比較兩種方案中哪種獲利更多 參考數(shù)據(jù) 取1 0510 1 629 1 310 13 786 1 510 57 665 解答 解甲方案中 每年所獲利潤組成等比數(shù)列 首項為1 公比為 1 30 所以10年所獲得的總利潤為s10 1 1 30 1 30 2 1 30 9 貸款到期時 需要償還銀行的本息是10 1 5 10 16 29 萬元 故使用甲方案所獲純利潤為42 62 16 29 26 33 萬元 乙方案中 每年的利潤組成等差數(shù)列 首項為1 公差為0 5 所以10年所獲得的總利潤為t10 1 1 0 5 1 2 0 5 1 9 0 5 故使用乙方案所獲純利潤為32 5 13 21 19 29 萬元 綜上可知 甲方案獲利更多 故貸款到期時 需要償還銀行的本息是1 1 5 10 1 5 9 1 5 數(shù)列與其他知識交匯問題的常見類型及解題策略 1 數(shù)列與函數(shù)的交匯問題 已知函數(shù)條件 解決數(shù)列問題 此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì) 圖像研究數(shù)列問題 已知數(shù)列條件 解決函數(shù)問題 解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系 掌握遞推數(shù)列的常見解法 2 數(shù)列與不等式的交匯問題 函數(shù)方法 即構(gòu)造函數(shù) 通過函數(shù)的單調(diào)性 極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式 通過對關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式 放縮方法 數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到 比較方法 作差或者作商比較 3 數(shù)列應(yīng)用題 根據(jù)題意 確定數(shù)列模型 準(zhǔn)確求解模型 問題作答 不要忽視問題的實(shí)際意義 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解答 解f x 2ax b 由題意知b 2n 16n2a 4nb 0 又f x x 2n 當(dāng)n 1時 a1 4也符合 解答 tn b1 b2 bn 課時作業(yè) 解當(dāng)n 2時 4s4 5s2 8s3 s1 基礎(chǔ)保分練 1 2 3 4 5 6 解答 證明 1 2 3 4 5 6 證明因?yàn)?sn 2 5sn 8sn 1 sn 1 n 2 所以4sn 2 4sn 1 sn sn 1 4sn 1 4sn n 2 即4an 2 an 4an 1 n 2 1 2 3 4 5 6 所以n 1也滿足此式 所以4an 2 an 4an 1 n n 1 2 3 4 5 6 解答 3 求數(shù)列 an 的通項公式 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解答 1 2 3 4 5 6 2 2017 福建漳州八校聯(lián)考 已知遞增的等比數(shù)列 an 滿足 a2 a3 a4 28 且a3 2是a2和a4的等差中項 1 求數(shù)列 an 的通項公式 an 是遞增數(shù)列 a1 2 q 2 數(shù)列 an 的通項公式為an 2 2n 1 2n 2 若bn anan sn b1 b2 bn 求使sn n 2n 1 62成立的正整數(shù)n的最小值 解答 1 2 3 4 5 6 sn b1 b2 bn 1 2 2 22 n 2n 則2sn 1 22 2 23 n 2n 1 得sn 2 22 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 則sn n 2n 1 2n 1 2 解2n 1 2 62 得n 5 n的最小值為6 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解答 1 2 3 4 5 6 解設(shè)正項等差數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d 且an 0 解答 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解 bn 1 bn an 1且an 2n 1 n n bn 1 bn 2n 3 當(dāng)n 2時 bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 2n 1 2n 1 5 3 n n 2 當(dāng)n 1時 b1 3滿足上式 bn n n 2 1 2 3 4 5 6 4 2018屆廣州海珠區(qū)綜合測試 已知數(shù)列 an 的首項a1 1 前n項和為sn an 1 2sn 1 n n 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解答 1 2 3 4 5 6 解由題意得an 1 2sn 1 an 2sn 1 1 n 2 兩式相減得an 1 an 2 sn sn 1 2an 則an 1 3an n 2 所以當(dāng)n 2時 an 是以3為公比的等比數(shù)列 1 2 3 4 5 6 an 是首項為1 公比為3的等比數(shù)列 所以an 3n 1 解答 2 設(shè)bn log3an 1 求數(shù)列 an bn 的前n項和tn 1 2 3 4 5 6 解bn log3an 1 log33n n 所以an bn 3n 1 n tn 30 1 31 2 32 3 3n 2 n 1 3n 1 n 30 31 32 3n 2 3n 1 1 2 3 n 1 n 技能提升練 1 2 3 4 5 6 5 2017 濟(jì)寧模擬 已知sn是正項數(shù)列 an 的前n項和 且2sn a an 等比數(shù)列 bn 的公比q 1 b1 2 且b1 b3 b2 10成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 和 bn 的通項公式 解答 1 2 3 4 5 6 解當(dāng)n 2時 由題意得 an an 1 an an 1 1 0 an 是正項數(shù)列 an an 1 0 an an 1 1 a1 0 a1 1 數(shù)列 an 是首項為1 公差為1的等差數(shù)列 an 1 n 1 1 n 由b1 2 2b3 b1 b2 10 得2q2 q 6 0 解答 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 記w2n 1 2 2 22 2n 22n 則2w2n 1 22 2 23 2n 22n 1 1 2 3 4 5 6 w2n 2n 1 22n 1 2 解答 拓展沖刺練 1 2 3 4 5 6 1 求數(shù)列 an bn 的通項公式 1 2 3 4 5 6 解由