高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語課件 湘教版.ppt

第一章集合與常用邏輯用語 1 1集合的概念與運(yùn)算 1 2命題及其關(guān)系 充分條件與必要條件 1 3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 全稱量詞與存在量詞 1 1集合的概念與運(yùn)算 1 集合與元素 1 集合中元素的三個(gè)特性 無序性 2 集合中元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系 對(duì)于元素a與集合a 或者 或者 二者必居其一 確定性 互異性 a a aa 3 常見集合的符號(hào)表示 4 集合的表示法 列舉法 描述法 venn圖法 思考探究 集合 是空集嗎 它與 0 有什么區(qū)別 提示 集合 不是空集 空集是不含任何元素的集合 而集合 中有一個(gè)元素 若把看做一個(gè)元素則有 而 0 表示集合中的元素為0 3 集合的基本運(yùn)算 1 2014 惠州高三調(diào)研 已知集合a 若ab 則實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為 解析 由題意知當(dāng)集合b不能為空集時(shí) 它的元素為1或 1 當(dāng)b為空集時(shí) a 0 故a 0或1或 1 故選d 答案 d 2 設(shè)全集u r 則如圖中陰影部分表示的集合為 解析 答案 b 3 已知集合a m 2 2m2 m 若3 a 則m的值為 解析 因?yàn)? a 所以m 2 3或2m2 m 3 當(dāng)m 2 3時(shí) 即m 1時(shí) 2m2 m 3 此時(shí)集合a中有重復(fù)元素3 所以m 1不符合題意 舍去 當(dāng)2m2 m 3時(shí) 解得m 或m 1 舍去 此時(shí)當(dāng)m 時(shí) m 2 3符合題意 所以m 答案 5 已知集合s 3 a t x x2 3x 0 x z 且s t 1 設(shè)p s t 則集合p的真子集的個(gè)數(shù)是 解析 由已知可得t 1 2 a 1 p s t 1 2 3 故p的真子集的個(gè)數(shù)是23 1 7 答案 7 集合的基本概念 1 掌握集合的概念 關(guān)鍵是把握集合中元素的特性 要特別注意集合中元素的互異性 一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點(diǎn) 另一方面 在解答完畢之時(shí) 注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確 2 用描述法表示集合時(shí) 首先應(yīng)清楚集合的類型和元素的性質(zhì) 如集合 y y 2x x y 2x x y y 2x 表示不同的集合 1 已知集合a 1 2 3 4 5 b x y x a y a x y a 則b中所含元素的個(gè)數(shù)為 2 設(shè)a b r 集合 1 a b a 0 b 則b a 解析 1 由x y a 及a 1 2 3 4 5 得x y 當(dāng)y 1時(shí) x可取2 3 4 5 有4個(gè) 當(dāng)y 2時(shí) x可取3 4 5 有3個(gè) 當(dāng)y 3時(shí) x可取4 5 有2個(gè) 當(dāng)y 4時(shí) x可取5 有1個(gè) 故共有1 2 3 4 10 個(gè) 2 因?yàn)?1 a b a 0 b a 0 所以a b 0 得 1 所以a 1 b 1 所以b a 2 答案 1 10 個(gè) 2 2 變式訓(xùn)練 1 1 已知集合m x x2 1 x a 0 p x a2 x 0 若m p的子集的個(gè)數(shù)為2 則實(shí)數(shù)a的值是 a 0b 1c 1d 1或0 2 對(duì)任意兩個(gè)集合m n 定義 m n x x m且xn 設(shè)m y y x2 x r n y y 3sinx x r 則集合m n m n n m 解析 1 a r x r m x x a 又p x x a2 且m p的子集的個(gè)數(shù)為2 則m p中有且僅有一個(gè)元素 即m p x a2 x a 中有且僅有一個(gè)元素 a2 a 解得a 0或a 1 故正確選項(xiàng)為d 2 由已知m y y 0 n y 3 y 3 m n y y 3 n m y 3 y3 答案 1 d 2 y 3 y3 判斷集合與集合的關(guān)系 基本方法是歸納為判斷元素與集合的關(guān)系 對(duì)于用描述法表示的集合 要緊緊抓住代表元素及它的屬性 可將元素列舉出來直觀發(fā)現(xiàn)或通過元素特征 求同存異 定性分析 注意 要特別注意是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集在解題中的應(yīng)用 集合間的基本關(guān)系 1 若集合p x x2 x 6 0 s x ax 1 0 且sp 求由a的可取值組成的集合 2 若集合a x 2 x 5 b x m 1 x 2m 1 且ba 求由m的可取值組成的集合 解析 1 p 3 2 當(dāng)a 0時(shí) s 滿足sp 當(dāng)a 0時(shí) 方程ax 1 0的解為x 為滿足sp可使 3或 2 即a 或a 故所求集合為0 2 當(dāng)m 1 2m 1 即m 2時(shí) b 滿足ba 若b 且滿足ba 如圖所示 則m 1 2m 1 m 2 m 1 2 即m 3 2m 1 5 m 3 2 m 3 故m 2或2 m 3 即所求集合為 m m 3 4 10 2020 變式訓(xùn)練 2 已知集合a x x2 4x 0 x r b x x2 2 a 1 x a2 1 0 a r x r 若ba 求實(shí)數(shù)a的值 解析 ba可分為ba和b a兩種情況 易知a 0 4 1 當(dāng)a b 0 4 時(shí) 0 4是方程x2 2 a 1 x a2 1 0的兩根 16 8 a 1 a2 1 0 a2 1 0 a 1 2 當(dāng)ba時(shí) 有b 或b 當(dāng)b 時(shí) b 0 或b 4 方程x2 2 a 1 x a2 1 0有相等的實(shí)數(shù)根0或 4 4 a 1 2 4 a2 1 0 a 1 b 0 滿足條件 當(dāng)b 時(shí) 0 a 1 綜上知所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a 1或a 1 集合的基本運(yùn)算 在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí) 先看清集合的元素和所滿足的條件 再把所給集合化為最簡形式 并合理轉(zhuǎn)化求解 必要時(shí)充分利用數(shù)軸 韋恩圖 圖象等工具使問題直觀化 并會(huì)運(yùn)用分類討論 數(shù)形結(jié)合等思想方法 使運(yùn)算更加直觀 簡潔 r 已知全集為r 集合a t t使得 x x2 2tx 4t 3 0 r 集合b t t使得 x x2 2tx 2t 0 其中x t均為實(shí)數(shù) 1 求a b和 a b 2 設(shè)m為整數(shù) g m m2 3 求m m g m g m a b 1 解題時(shí)要注意集合中元素的三個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用 特別是無序性和互異性 要進(jìn)行解題后的檢測 注意符號(hào)語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化 2 解題時(shí)要注意空集的特殊地位 討論時(shí)要防止遺漏 3 元素與集合之間是屬于關(guān)系 集合與集合之間是包含關(guān)系 4 可以用圖示顯示集合與集合之間的關(guān)系 用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)集 注意數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用 5 子集 全集 補(bǔ)集等概念實(shí)質(zhì)上即是生活中的 部分 全體 剩余 等概念在數(shù)學(xué)中的抽象與反映 當(dāng)au時(shí) 的含義是 從集合u中去掉集合a的元素后 由所有剩余的元素組成的新集合 集合a的元素補(bǔ)上的元素后可合成集合u 6 補(bǔ)集與集合a的區(qū)別 兩者沒有相同的元素 兩者的所有元素合在一起就是全集 集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容 也是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容 難度不大 一般是一道選擇題或填空題 通過對(duì)近兩年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出 對(duì)集合內(nèi)容的考查一般以兩種方式出現(xiàn) 一是考查集合的概念 集合間的關(guān)系及集合的運(yùn)算 集合的概念以考查集合中元素的特性為重點(diǎn) 集合間的關(guān)系以子集 真子集 空集的定義為重點(diǎn) 二是與其他知識(shí)相聯(lián)系 以集合語言和集合思想為載體 考查函數(shù)的定義域 值域 函數(shù) 方程與不等式的關(guān)系 直線與曲線的位置關(guān)系等問題 2013 福建卷 設(shè)s t是r的兩個(gè)非空子集 如果存在一個(gè)從s到t的函數(shù)y f x 滿足 i t f x x s ii 對(duì)任意x1 x2 s 當(dāng)x1 x2時(shí) 恒有f x1 f x2 那么稱這兩個(gè)集合 保序同構(gòu) 現(xiàn)給出以下3對(duì)集合 a n b n a x 1 x 3 b x 8 x 10 a x 0 x 1 b r 其中 保序同構(gòu) 的集合對(duì)的序號(hào)是 寫出所有 保序同構(gòu) 的集合對(duì)的序號(hào) 規(guī)范解答 對(duì) 取f x x 1 x n 所以b n a n是 保序同構(gòu) 對(duì) 取f x x 1 x 3 所以a x 1 x 3 b x 8 x 10 是 保序同構(gòu) 對(duì) 取f x tan x 0 x 1 所以a x 0 x 1 b r是 保序同構(gòu) 故應(yīng)填 答案 4 10 2020 閱后報(bào)告 求解此類新定義的存在性問題的關(guān)鍵是 首先 讀懂新定義的含義 其次 會(huì)利用特值法來快速智取 如本題 通過取特殊函數(shù) 注意此特殊函數(shù)應(yīng)滿足題設(shè)中的兩個(gè)條件 就可輕松解決此難題 4 10 2020 1 2013 福建卷 滿足a b 1 0 1 2 且關(guān)于x的方程ax2 2x b 0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì) a b 的個(gè)數(shù)為 a 14b 13c 12d 10 b 解析 方程ax2 2x b 0有實(shí)數(shù)解 分析討論 當(dāng)a 0時(shí) 很顯然為垂直于x軸的直線方程 有解 此時(shí)b可以取4個(gè)值 故有4種有序數(shù)對(duì) 當(dāng)a 0時(shí) 需要 4 4ab 0 即ab 1 顯然有3個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)不滿足題意 分別為 1 2 2 1 2 2 a b 共有4 4 16種實(shí)數(shù)對(duì) 故答案應(yīng)為16 3 13 答案 b 2 2013 廣東卷 設(shè)整數(shù)n 4 集合x 1 2 3 n 令集合s x y z x y z x 且三條件x y z y z x z x y恰有一個(gè)成立 若 x y z 和 z w x 都在s中 則下列選項(xiàng)正確的是 a y z w s x y w sb y z w s x y w sc y z w s x y w sd y z w s x y w s b 解析 特殊值法 不妨令x 2 y 3 z 4 w 1 則 y z w 3 4 1 s x y w 2 3 1 s 故選b 直接法 因?yàn)?x y z s z w x s 所以x y z y z x z x y 三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立 z w x w x z x z w 三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立 配對(duì)后只有四種情況 第一種 成立 此時(shí)w x y z 于是 y z w s x y w s 第二種 成立 此時(shí)x y z w 于是 y z w s x y w s 第三種 成立 此時(shí)y z w x 于是 y z w s x y w s 第四種 成立 此時(shí)z w x y 于是 y z w s x y w s 綜合上述四種情況 可得 y z w s x y w s 答案 b 3 2013 山東卷 已知集合a 0 1 2 則集合b x y x a y a 中元素的個(gè)數(shù)是 a 1b 3c 5d 9 解析 當(dāng)x 0時(shí) y 0 1 2 此時(shí)x y的值分別為0 1 2 當(dāng)x 1時(shí) y 0 1 2 此時(shí)x y的值分別為1 0 1 當(dāng)x 2時(shí) y 0 1 2 此時(shí)x y的值分別為2 1 0 綜上可知 x y的值可能為 2 1 0 1 2 共5個(gè) 故選c 答案 c 4 10 2020 4 2014 福建卷 已知集合 a b c 0 1 2 且下列三個(gè)關(guān)系 a 2 b 2 c 0有且只有一個(gè)正確 則100a 10b c等于 解析 i 若 正確 則 不正確 由 不正確得c 0 由 正確得a 1 所以b 2 與 不正確矛盾 故 不正確 ii 若 正確 則 不正確 由 不正確得a 2 與 正確矛盾 故 不正確 iii 若 正確 則 不正確 由 不正確得a 2 由 不正確及 正確得b 0 c 1 符合題意 故 正確 則100a 10b c 100 2 10 0 1 201 答案 201 課時(shí)作業(yè)1 1 1 2命題及其關(guān)系 充分條件與必要條件 1 命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言 符號(hào)或式子表達(dá)的 可以的陳述句叫做命題 其中的語句叫真命題 的語句叫假命題 判斷真假 判斷為真 判斷為假 2 四種命題及其關(guān)系 1 四種命題間的逆否關(guān)系 2 四種命題的真假關(guān)系 兩個(gè)命題互為逆否命題 它們有的真假性 兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題 它們的真假性 思考探究 一個(gè)命題的 否命題 與 否定 是同一個(gè)命題嗎 相同 沒有關(guān)系 提示 不是 命題的否命題既否定命題的條件又否定命題的結(jié)論 而命題的否定僅是否定命題的結(jié)論 3 充分條件與必要條件 1 如果pq 則p是q的 q是p的 2 如果pq qp 則p是q的 充分條件 必要條件 充要條件 1 下列命題是真命題的為 a 若 則x yb 若x2 1 則x 1c 若x y 則 d 若x y 則x2 y2 解析 由 得x y a正確 b c d錯(cuò)誤 答案 a 2 2013 北京西城模擬 命題 若a b 則a 1 b 的逆否命題是 a 如果a 1 b 則a bb 如果a 1 b 則a bc 如果a 1 b 則a bd 如果a 1 b 則a b 解析 逆否命題為 若a 1 b 則a b 答案 c 3 a 0且 1 b 0 是 a ab 0 的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件 a 命題及其關(guān)系與命題的真假判定 在判斷四種命題之間的關(guān)系時(shí) 首先要分清命題的條件與結(jié)論 再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系 要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性 一個(gè)命題定為原命題 也就相應(yīng)地有了它的 逆命題 否命題 和 逆否命題 能判斷真假的陳述句稱之為命題 因此命題有真有假 判斷數(shù)學(xué)命題的真假需要相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和推理方法 同時(shí)四種命題間有著下列相應(yīng)的真假結(jié)論 即原命題為真 它的逆命題不一定為真 它的否命題也不一定為真 但它的逆否命題一定為真 分別寫出下列命題的逆命題 否命題和逆否命題 并判斷它們的真假 1 實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù) 2 等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形 3 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心 并平分弦所對(duì)的弧 解析 1 逆命題 若一個(gè)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù) 則這個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù) 真命題 否命題 若一個(gè)數(shù)不是實(shí)數(shù) 則它的平方不是非負(fù)數(shù) 真命題 逆否命題 若一個(gè)數(shù)的平方不是非負(fù)數(shù) 則這個(gè)數(shù)不是實(shí)數(shù) 真命題 2 逆命題 若兩個(gè)三角形全等 則這兩個(gè)三角形等底等高 真命題 否命題 若兩個(gè)三角形不等底或不等高 則這兩個(gè)三角形不全等 真命題 逆否命題 若兩個(gè)三角形不全等 則這兩個(gè)三角形不等底或不等高 假命題 3 逆命題 若一條直線經(jīng)過圓心 且平分弦所對(duì)的弧 則這條直線是這條弦的垂直平分線 真命題 否命題 若一條直線不是弦的垂直平分線 則這條直線不過圓心或不平分弦所對(duì)的弧 真命題 逆否命題 若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對(duì)的弧 則這條直線不是這條弦的垂直平分線 真命題 變式訓(xùn)練 1 分別寫出下列命題的逆命題 否命題 逆否命題 并判斷它們的真假 1 面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 2 若x2 y2 0 則實(shí)數(shù)x y全為零 3 若3 2x x2 0 則x 1或x 3 解析 1 原命題是假命題 逆命題 兩個(gè)全等三角形的面積相等 真命題 否命題 面積不相等的兩個(gè)三角形不是全等三角形 真命題 逆否命題 兩個(gè)不全等的三角形的面積不相等 假命題 2 原命題是真命題 逆命題 若實(shí)數(shù)x y全為零 則x2 y2 0 真命題 否命題 若x2 y2 0 則實(shí)數(shù)x y不全為零 真命題 逆否命題 若實(shí)數(shù)x y不全為零 則x2 y2 0 真命題 3 由3 2x x2 0得x2 2x 3 0 3 x 1 原命題是假命題 逆命題 若x 1 或x 3 則3 2x x2 0 假命題 否命題 3 2x x2 0 則 1 x 3 假命題 逆否命題 若 1 x 3 則3 2x x2 0 假命題 充分條件與必要條件的判定 充分條件 必要條件 充要條件的判定 1 定義法 分清條件和結(jié)論 分清哪個(gè)是條件 哪個(gè)是結(jié)論 找推式 判斷 pq 及 qp 的真假 下結(jié)論 根據(jù)推式及定義下結(jié)論 2 等價(jià)轉(zhuǎn)化法條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題 常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷 指出下列各小題中 p是q的什么條件 1 p x 2 x 3 0 q x 2 0 2 p 四邊形的對(duì)角線相等 q 四邊形是平行四邊形 3 p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 4 在 abc中 p a b q bc ac 解析 1 x 2 x 3 0 x 2 0 可能x 3 0 但x 2 0 x 2 x 3 0 p是q的必要不充分條件 2 四邊形的對(duì)角線相等四邊形是平行四邊形 四邊形是平行四邊形四邊形的對(duì)角線相等 p是q的既不充分也不必要條件 3 x 1 2 y 2 2 0 x 1且y 2 x 1 y 2 0 而 x 1 y 2 0 x 1 2 y 2 2 0 p是q的充分不必要條件 4 在 abc中 大邊對(duì)大角 大角對(duì)大邊 a bbc ac 同時(shí) bc ac a b p是q的充要條件 變式訓(xùn)練 2 判斷下列各題中p是q的什么條件 1 p x 2 q x2 x 2 0 2 p 直線a2x y 6 0與直線4x a 3 y 9 0互相垂直 q a 1 3 p cosa cosb q a0 解析 1 p x 2或x 2 q x 1或x 2 pq 但qp 故p是q的充分不必要條件 2 當(dāng)且僅當(dāng)4a2 a 3 0 即a 1或a 時(shí) 兩條直線互相垂直 即pq 而qp 故p是q的必要不充分條件 3 由于pq 且qp 故p是q的既不充分也不必要條件 4 p 0 p是q的充要條件 充分條件與必要條件的應(yīng)用 解決此類問題一般是把充分條件 必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系 然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解 1 對(duì)命題正誤的判斷 正確的命題要加以論證 不一定正確的命題要舉出反例 這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式 在判斷命題正誤的過程中 要注意簡單命題與復(fù)合命題之間的真假關(guān)系 要注意命題四種形式之間的真假關(guān)系 2 在充分條件 必要條件和充要條件的判斷過程中 可利用圖示這種數(shù)形結(jié)合的思想方法 在證明充要條件時(shí) 首先要弄清充分性和必要性 3 特殊情況下如果命題以p x a q x b的形式出現(xiàn) 則有 1 若ab 則p是q的充分條件 2 若ba 則p是q的必要條件 3 若a b 則p是q的充要條件 從近兩年的高考試題看 充要條件的判定 判斷命題的真假等是高考的熱點(diǎn) 題型以選擇題 填空題為主 分值為5分 屬中低檔題目 本節(jié)知識(shí)常和函數(shù) 不等式及立體幾何中直線 平面的位置關(guān)系等有關(guān)知識(shí)相結(jié)合 考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 不等式的解法及直線與平面位置關(guān)系判定的掌握程度 2013 安徽卷 a 0 是 函數(shù)f x ax 1 x 在區(qū)間 0 內(nèi)單調(diào)遞增 的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件 c 規(guī)范解答 當(dāng)a 0時(shí) f x x y f x 在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng)a0時(shí) f x ax 1 x y f x 在 0 上單調(diào)遞增 a 0是y f x 在 0 上單調(diào)遞增的充分條件 相反 當(dāng)y f x 在 0 上單調(diào)遞增a 0 a 0是y f x 在 0 上單調(diào)遞增的必要條件 故前者是后者的充分必要條件 所以選c 答案 c 閱后報(bào)告 高考對(duì)命題的考查 充要條件的判斷是重點(diǎn) 常以方程 不等式 函數(shù)等代數(shù)知識(shí)及幾何知識(shí)為載體考查 從能力上主要考查推理判斷能力和論證能力 涉及參數(shù)問題 直接解決較為困難 先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 將復(fù)雜 生疏的問題化歸為簡單 熟悉的問題來解決 1 2014 福建卷 直線l y kx 1與圓o x2 y2 1相交于a b兩點(diǎn) 則 k 1 是 oab的面積為 的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充分必要條件d 既不充分又不必要條件 a 解析 由直線l與圓o相交 得圓心o到直線l的距離d 解得k 0 當(dāng)k 1時(shí) d ab 則 oab的面積為 當(dāng)k 1時(shí) 同理可得 oab的面積為 則 k 1 是 oab的面積為 的充分不必要條件 答案 a 2 2014 廣東卷 在 abc中 角a b c所對(duì)應(yīng)的邊分別為a b c 則 a b 是 sina sinb 的 a 充分必要條件b 充分非必要條件c 必要非充分條件d 非充分非必要條件 解析 設(shè)r是三角形外切圓的半徑 r 0 由正弦定理 得a 2rsina b 2rsinb 則a bsina sinb 故選a 答案 a 3 2013 上海卷 錢大姐常說 便宜沒好貨 她這句話的意思是 不便宜 是 好貨 的 a 充分條件b 必要條件c 充分必要條件d 既非充分又非必要條件 解析 便宜沒好貨 不代表不便宜就有好貨 但認(rèn)為好貨一定不便宜 所以是必要條件 答案 b 1 3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 全稱量詞與存在量詞 1 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 1 用聯(lián)結(jié)詞 且 聯(lián)結(jié)命題p和命題q 記做 讀做 2 用聯(lián)結(jié)詞 或 聯(lián)結(jié)命題p和命題q 記做 讀做 3 對(duì)一個(gè)命題p全盤否定記做 讀做 非p 或 p的否定 4 命題p q p q p的真假判斷 p且q 有假則 p或q 有真則 p 真假對(duì) p q p且q p q p或q p 假 真 相反 2 全稱量詞與存在量詞 1 短語在邏輯中通常叫做全稱量詞 并用符號(hào) 表示 含有全稱量詞的命題 叫做 可用符號(hào)簡記為它的否定 2 短語在邏輯中通常叫做存在量詞 并用符號(hào) 表示 含有存在量詞的命題 叫做 可用符號(hào)簡記為 它的否定 所有的 任意一個(gè) 全稱命題 x m p x x m p x 存在一個(gè) 至少有一個(gè) 特稱命題 x m p x x m p x 2 2014 皖南八校聯(lián)考 下列命題中 真命題是 a 存在x0 r b 任意x 0 sinx cosxc 任意x 0 x2 1 xd 存在x0 r x02 x0 1 解析 對(duì)于a選項(xiàng) x r 故a為假命題 對(duì)于b選項(xiàng) 存在x sinx cosx sinx0恒成立 c為真命題 對(duì)于d選項(xiàng) x2 x 1 x 2 0恒成立 不存在x0 r 使x02 x0 1成立 故d為假命題 答案 c 3 若 p且q 與 p或q 均為假命題 則 a p真q假b p假q真c p與q均真d p與q均假 解析 p且q為假 則p與q不可能全真 而 p或q為假 則 p與q均為假 從而p為真 q為假 答案 a 4 命題 存在x r 使得x2 2x 5 0 的否定是 解析 命題的否定是僅否定結(jié)論的命題 即有原命題的否定為 不存在x r 使得x2 2x 5 0 也即對(duì)任何x r 都有x2 2x 5 0 答案 對(duì)任何x r 都有x2 2x 5 0 5 命題 ex r 2x2 3ax 9 0 為假命題 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 x r 2x2 3ax 9 0 為假命題 則 x r 2x2 3ax 9 0 為真命題 因此 9a2 4 2 9 0 故 a 答案 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的構(gòu)成與分解及命題的真假判斷 1 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的構(gòu)成與分解一個(gè)命題可以是不含任何邏輯聯(lián)結(jié)詞的簡單形式 也可以是含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的較復(fù)雜形式 判斷有關(guān)命題的真假時(shí) 往往需要弄清命題的構(gòu)成形式 這時(shí)不但要看一個(gè)命題中是否含有邏輯聯(lián)結(jié)詞 更重要的是要看命題的內(nèi)容結(jié)構(gòu)中是否含有邏輯聯(lián)結(jié)真正含義 2 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷 1 確定命題的構(gòu)成形式 2 判斷其中命題p q的真假 3 確定 p q p q p 形式命題的真假 1 分別寫出由下列各組命題構(gòu)成的 p q p q p 形式的新命題 并判斷它們的真假 p 5是奇數(shù) q 5是12的約數(shù) p 相等向量的模相等 q 相等向量的方向相同 2 指出下列命題的構(gòu)成形式 判斷它們的真假 并對(duì)各命題進(jìn)行分解 正方體的各條棱長相等 對(duì)角線互相平分 負(fù)數(shù)的平方不大于0 解析 1 p q 5是奇數(shù)且是12的約數(shù) 假命題 p q 5是奇數(shù)或是12的約數(shù) 真命題 p 5不是奇數(shù) 假命題 p q 相等向量的模相等且方向相同 真命題 p q 相等向量的模相等或方向相同 真命題 p 相等向量的模不相等 假命題 2 是p q形式的命題 真命題 其中p 正方體的各條棱長相等 q 正方體的對(duì)角線互相平分 是p q形式的命題 假命題 其中p 負(fù)數(shù)的平方小于0 q 負(fù)數(shù)的平方等于0 變式訓(xùn)練 1 1 已知命題p x r 使tanx 1 命題q x2 3x 2 0的解集是 x 1 x 2 下列結(jié)論 命題 p q 是真命題 命題 p q 是假命題 命題 p q 是真命題 命題 p q 是假命題 其中正確的是 a b c d 2 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 a 命題 若p則q 與命題 若q則p 同真同假b 命題p x 0 1 ex 1 命題q x r x2 x 1 0 則p q為真c 若am2 bm2 則a b 的逆命題為真命題d 若p q為假命題 則p q均為假命題 解析 1 命題p x r 使tanx 1正確 命題q x2 3x 2 0的解集是 x 1 x 2 也正確 命題 p q 是真命題 命題 p q 是假命題 命題 p q 是真命題 命題 p q 是假命題 故應(yīng)選d 2 a中兩個(gè)命題互為逆否命題 它們同真同假 a正確 b中的命題p是真命題 而q是假命題 p q也為真命題 b正確 c中原命題是真命題 但它的逆命題 若a b 則am2 bm2 是假命題 即c錯(cuò)誤 d中命題是真命題 故選c 全 特 稱命題的真假判斷與否定 1 全 特 稱命題的真假判斷 1 要判斷一個(gè)全稱命題是真命題 必須對(duì)限定集合m中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p x 成立 但要判斷全稱命題為假命題 只要能舉出集合m中的一個(gè)x x0 使得p x0 不成立即可 2 要判斷一個(gè)特稱命題為真命題 只要在限定集合m中 至少能找到一個(gè)x x0 使p x0 成立即可 否則 這一特稱命題就是假命題 2 全 特 稱命題的否定對(duì)一個(gè)命題的否定是全部否定 而不是部分否定 1 全 特 稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別 全 特 稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞 或存在量詞改為全稱量詞 并把結(jié)論否定 而命題的否定 則直接否定結(jié)論即可 2 要判斷 p 的真假 可以直接判斷 也可以判斷p的真假 利用p與 p 的真假相反判斷 已知下列命題 寫出它們的否定 并判斷原命題與命題的否定的真假 1 x r 2 x 0 3 所有末位數(shù)是0的整數(shù)都能被5整除 4 存在一個(gè)三角形 它的內(nèi)角和大于180 5 有些梯形的對(duì)角線互相平分 sinx 解析 1 對(duì)于任意x r 均有 原命題是假命題 它的否定是 x r 命題的否定是真命題 2 cos2x 1 2 對(duì)x 0 sinx 即原命題是真命題 它的否定是 x 0 sinx 這是一個(gè)假命題 3 原命題是真命題 它的否定是 存在一個(gè)末位數(shù)是0的整數(shù)不能被5整除 這是一個(gè)假命題 4 原命題是假命題 它的否定是 所有的三角形的內(nèi)角和都小于或等于180 這是一個(gè)真命題 5 原命題是假命題 它的否定是 任意一個(gè)梯形的對(duì)角線都不互相平分 這是一個(gè)真命題 變式訓(xùn)練 2 指出下列命題是全稱命題還是特稱命題 寫出它們的否定形式 并判斷真假 1 每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) 2 任意實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根 3 能夠被3整除的整數(shù) 能夠被6整除 4 存在實(shí)數(shù) 使f x sin 2x 是偶函數(shù) 5 存在實(shí)數(shù)x 0 1 解析 1 全稱命題 指數(shù)函數(shù)或是減函數(shù) 或是增函數(shù) 是真命題 它的否定形式是 存在指數(shù)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù) 這是一個(gè)假命題 2 全稱命題 負(fù)數(shù)顯然沒有算術(shù)平方根 是假命題 它的否定形式是 存在實(shí)數(shù)沒有算術(shù)平方根 這是一個(gè)真命題 3 全稱命題 由于3能被3整除 但不能被6整除 是假命題 它的否定形式是 存在能被3整除的整數(shù)不能被6整除 是真命題 4 特稱命題 如 2k k z 時(shí) 函數(shù)f x sin 2x 是偶函數(shù) 是真命題 它的否定形式是 對(duì)任意實(shí)數(shù) 函數(shù)f x sin 2x 都不是偶函數(shù) 是假命題 5 特稱命題 當(dāng)x 時(shí) 1 而 1 是真命題 它的否定形式是 任意x 0 1 是假命題 含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的應(yīng)用 存在一類與含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷相關(guān)的命題 它們常與不等式相結(jié)合 與所含參數(shù)的取值范圍相聯(lián)系 求解這類綜合性問題時(shí) 常需要分解復(fù)合命題 利用下列真值表幫助找到簡單命題與復(fù)合命題間的真假關(guān)系 已知a 1 設(shè)命題p a是使a x 2 1 0成立的所有的x構(gòu)成的集合 命題q b是使 x 1 2 a x 2 1成立的所有的x構(gòu)成的集合 若 p q為假命題 試求由x構(gòu)成的集合 變式訓(xùn)練 3 已知命題p 函數(shù)y a 1 x在r上單調(diào)遞增 命題q 不等式x x 3a 1的解集為r 若p q為真 p q為假 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 若p真 則a 1 1a 2 q真x x 3a 1恒成立 設(shè)h x x x 3a 則h x min 1 h x 2x 3a x 3a 3a x1 即a p q為真 p q為假 p q一真一假 1 若p真q假 則a 2且a 矛盾 2 若p假q真 則a 2且a a 2 綜上可知 a的取值范圍是