數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)活動(dòng)——折紙做60度30度15度的角.docx

第十八章 數(shù)學(xué)活動(dòng) 折紙做60，30，15的角 學(xué)校： 廈門(mén)集美中學(xué) 授課人： 秦沖 1、 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：1、能折出60，30，15等特殊度數(shù)的角； 2、通過(guò)折紙活動(dòng)，進(jìn)一步加深對(duì)軸對(duì)稱、等腰三角形、等邊三角形性質(zhì)的理解； 過(guò)程與方法：探索折60、30、15的角，經(jīng)歷折疊、觀察、猜想、論證、交流、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度尋找解決問(wèn)題的策略，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力、創(chuàng)新能力、合作意識(shí)； 情感與態(tài)度：在折紙活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂(lè)趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知能力、演繹推理能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二、教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：讓學(xué)生學(xué)會(huì)折紙做60，30，15等特殊角，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，并在動(dòng)手過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生思考探究的習(xí)慣，養(yǎng)成合作交流意識(shí) ；難點(diǎn)：讓學(xué)生通過(guò)自己的嘗試和思考折出特殊度數(shù)的角。 3、 學(xué)情分析 學(xué)生經(jīng)過(guò)之前的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步掌握了平行四邊形相關(guān)的性質(zhì)和推理論證方法。本節(jié)內(nèi)容圍繞特殊的平行四邊形展開(kāi)，通過(guò)折紙做特殊度數(shù)的角，再得到與之相應(yīng)的一系列角度。本節(jié)課既有動(dòng)手操作，又有一定的趣味性，還可以鞏固學(xué)生對(duì)矩形性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)的理解運(yùn)用，有效鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力、觀察發(fā)現(xiàn)能力以及推理論證能力。四、教學(xué)過(guò)程（1） 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 折紙是一門(mén)藝術(shù)形式，動(dòng)物、花、船和人等都是折紙的創(chuàng)作題材，在折的過(guò)程里要用到軸對(duì)稱等數(shù)學(xué)知識(shí)。怎么樣把生活中的折紙和數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)呢？今天讓我們一起探究，走進(jìn)折紙的世界。 （2） 提出問(wèn)題，深度思考 課題引入：在沒(méi)有圓規(guī)、三角尺、量角器的情況下，又需要作60、30、15的角，怎么得到呢？本節(jié)課就來(lái)進(jìn)行折紙活動(dòng)，探索解決這一問(wèn)題的途徑。 問(wèn)題1 利用一張矩形的紙片，怎么折出一個(gè)45的角？ （學(xué)生分組折疊，學(xué)生很快會(huì)折出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生分析，得出結(jié)論：對(duì)折可以平分一個(gè)角。） 問(wèn)題2 用矩形紙片還能折出哪些度數(shù)的角？ （從簡(jiǎn)單的折紙游戲出發(fā)，提高學(xué)生課堂參與度，經(jīng)過(guò)學(xué)生的互相補(bǔ)充得出22.5、67.5、112.5等度數(shù)的角。由此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上面的結(jié)論。此過(guò)程也讓學(xué)生感受折紙可以得到角的倍分關(guān)系。） 小結(jié)： 在折紙過(guò)程中，怎樣得到不同度數(shù)的角？ 1、通過(guò)對(duì)折平分一個(gè)角； 2、通過(guò)尋找余角或補(bǔ)角； 3、通過(guò)角與角的組合； 4、通過(guò)三角形或者四邊形內(nèi)角和。 （三）動(dòng)手操作，實(shí)驗(yàn)探究 問(wèn)題3 你能試著用矩形紙片折出30角嗎？ （學(xué)生先折疊，交流、討論，再由各小組代表展示本小組折疊方法。） （1）方法引導(dǎo)： 直接折30角有難度，可以考慮間接獲得。 學(xué)生答：可以先用矩形紙片折60角，通過(guò)互余關(guān)系得到30角。 如何折60角？ 引導(dǎo)學(xué)生思考：等邊三角形中含有60角。 學(xué)生答：可以先折等邊三角形! （2）方法窺探 也就是如果折一個(gè)等邊三角形，問(wèn)題就解決了，怎樣得到等邊三角形呢？（3）突破重難點(diǎn)MCDABN 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以先折等腰三角形：折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形紙片內(nèi)部某點(diǎn)N，折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM。 由折疊的軸對(duì)稱性可得AB=BN.因此ABN是等腰三角形。 由得到的等腰三角形，怎樣進(jìn)一步折出等邊三角形呢？ （4）解決問(wèn)題 （安排小組交流，利用幾何畫(huà)板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示。） 方法如右圖所示：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，D使點(diǎn)A 落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)，得到線段BN. 問(wèn)題4 在右圖中，ABN是等邊三角形，（1）操作的依據(jù)是什么？ （請(qǐng)學(xué)生作答：垂直平分線的性質(zhì)定理） （2）觀察所得的ABM，MBN和NBC， 這三個(gè)角有什么關(guān)系？ （請(qǐng)學(xué)生思考并作答： ABM=NBM=NBC=30）（4） 引發(fā)猜想，理論驗(yàn)證 （學(xué)生自主寫(xiě)出證明過(guò)程） 已知：將矩形ABCD沿EF對(duì)折，折疊AB使點(diǎn)A落在折痕EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM.同時(shí)，得到了線段BN.證明：ABM=NBM=NBC=30. 證明：連接AN. 經(jīng)折疊，AB=BN，ABM=NBM， 且 EF垂直平分AB.D 點(diǎn)N 在線段EF上，AN=BN. AB=BN=AN， ABN是等邊三角形 ABN=60， NBC=30， ABM=NBM=30， ABM=NBM=NBC=30 思考：還能用什么樣的方法證明？（問(wèn)題設(shè)計(jì)的目的在于讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的清晰，能對(duì)知識(shí)間的練習(xí)融會(huì)貫通，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性。）D（5） 繼續(xù)實(shí)踐，探索新知 （1）你能用矩形紙片折出15角嗎？ （學(xué)生自主折疊，請(qǐng)同學(xué)回答折疊方法并展示。） （2）60，120以及150角呢？ （請(qǐng)學(xué)生作答，其實(shí)答案就在折好圖紙中。） （3）還可以得到多少度的角？ （引導(dǎo)學(xué)生小組討論，得出結(jié)果） 小結(jié)：發(fā)現(xiàn)通過(guò)折30角的過(guò)程，可以同時(shí)產(chǎn)生15，45,60,75,105,120,135,150,165角，這些角都是15的倍數(shù)。 （6） 知識(shí)運(yùn)用，解決問(wèn)題（通過(guò)補(bǔ)充練習(xí)，鍛煉學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力）練1：如圖，面積為1的正方形ABCD中，M，N分別為AD、BC的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連接PQ那么，以PQ為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于多少？ 解：連接BP，PC. 正方形ABCD面積為1，則BC=1. 經(jīng)折疊，BP=BC=1，BPQ=C=90,PBQ=CBQ. 點(diǎn)M，N分別為AD、BC的中點(diǎn)， MN垂直平分BC. 點(diǎn)P在MN上，PB=PC. PB=PC=BP，BCP是等邊三角形 PBC=60，PBQ=CBQ=30. 在RtPBQ中，設(shè)PQ=,則BQ=，則， 得，以PQ為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于. FE練2：如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點(diǎn)，將ADM沿直線AM對(duì)折，得到ANMO（1）當(dāng)AN平分MAB時(shí)，求DM的長(zhǎng)；（2）連接BN，當(dāng)DM=1時(shí)，求ABN的面積； 解：（1）經(jīng)折疊，DAM=MAN, 當(dāng)AN平分MAB時(shí)，MAN=NAB， DAM=MAN=NAB， 又DAM+MAN+NAB=90， DAM=MAN=NAB=30. 在RtADM中，設(shè)DM=，則AM=，則 ，DM= . （2） 過(guò)點(diǎn)N作NECD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NFAB于點(diǎn)F， 連接DN，交AM于點(diǎn)O. 經(jīng)折疊，AD=AN，MD=MN， 故AM垂直平分DN. 在RtADM中，ADDM=AMDO， 又AM=， DO=，DN=， 在RtAOD中，MO=， 在MND中，DNMO=DMEN， EN=，NF=3-=， . . H練3：如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把矩形紙片折疊，使點(diǎn)B剛好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF，若CD=6，求AF.解：經(jīng)折疊，AE=AB，AEF=B=90，BAF=EAF.CD=6，E為CD中點(diǎn)，ED=3，AE=AB=CD=6.在RtADE，中取AE中點(diǎn)H，連接DH. 則DH=AH=EH=3.DH=EH=ED，DEH是等邊三角形，DHE=60.D