2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講一2基本不等式同步配套教學(xué)案.docx

2基本不等式 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P41基本不等式的理解重要不等式a2b22ab和基本不等式，成立的條件是不同的前者成立的條件是 a與b都為實(shí)數(shù)，并且a與b都為實(shí)數(shù)是不等式成立的充要條件；而后者成立的條件是a與b都為正實(shí)數(shù)，并且a與b都為正實(shí)數(shù)是不等式成立的充分不必要條件，如a0，b0仍然能使成立兩個(gè)不等式中等號(hào)成立的充要條件都是ab.2由基本不等式可推出以下幾種常見(jiàn)的變形形式(1)a2b2；(2)ab；(3)ab()2；(4)()2；(5)(ab)24ab. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P5利用基本不等式證明不等式例1已知a，b，cR，且abc1.求證：9.思路點(diǎn)撥解答本題可先利用1進(jìn)行代換，再用基本不等式來(lái)證明證明法一：a，b，cR，且abc1，3332229.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立即9.法二：a，b，cR，且abc1，(abc)()111332229.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立9.用基本不等式證明不等式時(shí)，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式進(jìn)行證明1已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證：(abcd)(acbd)4abcd.證明：因?yàn)閍，b，c，d都是正數(shù)，所以0，0，所以abcd，即(abcd)(acbd)4abcd.當(dāng)且僅當(dāng)abcd，acbd，即ad，bc時(shí)，等號(hào)成立2已知a，b，c0，求證：abc.證明：a，b，c，均大于0，又b2 2a，c2 2b.a2 2c.(b)(c)(a)2(abc)即abc.當(dāng)且僅當(dāng)b，c，a，即abc時(shí)取等號(hào).利用基本不等式求最值例2(1)求當(dāng)x0時(shí)，f(x)的值域；(2)設(shè)0x0，y0，且1，求xy的最小值思路點(diǎn)撥根據(jù)題設(shè)條件，合理變形，創(chuàng)造能用基本不等式的條件，求最值解(1)x0，f(x).x2，0.0f(x)1，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”即f(x)值域?yàn)?0,1(2)0x0.y4x(32x)22x(32x)22.當(dāng)且僅當(dāng)2x32x，即x時(shí)，等號(hào)成立y4x(32x)的最大值為.(3)x0，y0，1，xy(xy)1061016.當(dāng)且僅當(dāng)，又1，即x4，y12時(shí)，上式取等號(hào)故當(dāng)x4，y12時(shí)，有(xy)min16.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)， 分以下三步進(jìn)行：(1)首先看式子能否出現(xiàn)和(或積)的定值，若不具備，需對(duì)式子變形，湊出需要的定值；(2)其次，看所用的兩項(xiàng)是否同正，若不滿(mǎn)足，通過(guò)分類(lèi)解決，同負(fù)時(shí)，可提取(1)變?yōu)橥?3)利用已知條件對(duì)取等號(hào)的情況進(jìn)行驗(yàn)證若滿(mǎn)足，則可取最值，若不滿(mǎn)足，則可通過(guò)函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決3已知x0，則2x的最小值和取得最小值時(shí)的x值分別是()A8,2 B8,4C16,2 D16,4解析：2x28，當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x2時(shí)，取“”號(hào)，故選A.答案：A4設(shè)x，yR，且滿(mǎn)足x4y40，則lgxlgy的最大值是()A40 B10C4 D2解析：x，yR，.10.xy100.lg xlg ylg(xy)lg 1002.答案：D5(浙江高考)若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A. BC5 D6解析：x3y5xy，5，x0，y0，(3x4y)942 1325，5(3x4y)25，3x4y5，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)3x4y的最小值是5.答案：C利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題例3某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2014年巴西世界杯期間進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足3x與t1成反比例的關(guān)系，如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件，已知2014年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需要投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷(xiāo)完(1)將2014年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷(xiāo)費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù)(2)該企業(yè)2014年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？思路點(diǎn)撥(1)兩個(gè)基本關(guān)系式是解答關(guān)鍵，即利潤(rùn)銷(xiāo)售收入生產(chǎn)成本促銷(xiāo)費(fèi)；生產(chǎn)成本固定費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用；(2)表示出題中的所有已知量和未知量，利用它們之間的關(guān)系式列出函數(shù)表達(dá)式解(1)由題意可設(shè)3x，將t0，x1代入，得k2.x3.當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí)，年生產(chǎn)成本年生產(chǎn)費(fèi)用固定費(fèi)用，年生產(chǎn)成本為32x3323.當(dāng)銷(xiāo)售x萬(wàn)件時(shí)，年銷(xiāo)售收入為150%t.由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷(xiāo)完，由年利潤(rùn)年銷(xiāo)售收入年生產(chǎn)成本促銷(xiāo)費(fèi)，得年利潤(rùn)y(t0)(2)y50502 502 42，當(dāng)且僅當(dāng)，即t7時(shí)，等號(hào)成立，ymax42，當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)最大利用不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，首先要仔細(xì)閱讀題目，弄清要解決的實(shí)際問(wèn)題，確定是求什么量的最值；其次，分析題目中給出的條件，建立y的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)f(x)(x一般為題目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有關(guān)知識(shí)解題求解過(guò)程中要注意實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量x的范圍制約6一商店經(jīng)銷(xiāo)某種貨物，根據(jù)銷(xiāo)售情況，年進(jìn)貨量為5萬(wàn)件，分若干次等量進(jìn)貨(設(shè)每次進(jìn)貨x件)，每進(jìn)一次貨運(yùn)費(fèi)50元，且在銷(xiāo)售完該貨物時(shí)，立即進(jìn)貨，現(xiàn)以年平均件貨儲(chǔ)存在倉(cāng)庫(kù)里，庫(kù)存費(fèi)以每件20元計(jì)算，要使一年的運(yùn)費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)最省，每次進(jìn)貨量x應(yīng)是多少？解：設(shè)一年的運(yùn)費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)共y元，由題意知：y502010x2104，當(dāng)且僅當(dāng)10x即x500時(shí)，ymin10 000，即每次進(jìn)貨500件時(shí)，一年的運(yùn)費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)最省7.圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x(單位：元)(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用解：(1)如題圖所示，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m.則y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x0)(2)x0，225x210 800.y225x36010 440，當(dāng)且僅當(dāng)225 x時(shí)，等號(hào)成立即當(dāng)x24 m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10 440元 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P71下列不等式中，正確的個(gè)數(shù)是()若a，bR，則若xR，則x222若xR，則x212若a，b為正實(shí)數(shù)，則A0B1C2 D3解析：顯然不正確；正確；對(duì)雖然x22無(wú)解，但x222成立，故正確；不正確，如a1，b4.答案：C2已知a0，b0，a，b的等差中項(xiàng)是，且a，b，則的最小值是()A3 B4C5 D6解析：ab21，a0，b0，ab115，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)答案：C3. “a1”是“對(duì)任意正數(shù)x,2x1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件解析：當(dāng)a1時(shí)，2x2x2(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào))，所以a12x1(x0)，反過(guò)來(lái)，對(duì)任意正數(shù)x，如當(dāng)a2時(shí)，2x1恒成立，所以2x1/a1.答案：A4某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比，如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站()A5千米處 B4千米處C3千米處 D2千米處解析：由已知：y1，y20.8x(x為倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離)費(fèi)用之和yy1y20.8x2 8.當(dāng)且僅當(dāng)0.8x，即x5時(shí)等號(hào)成立答案：A5若x0，則f(x)23x2的最大值是_，取得最值時(shí)x的值是_解析：f(x)23(x2)23410，當(dāng)且僅當(dāng)x2即x時(shí)取等號(hào)答案：106當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yx的最小值為_(kāi)解析：因?yàn)閤，所以x0，所以yx4，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時(shí)，取“”答案：7y(x0)的最小值是_解析：x0，yx1121.當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)答案：218已知a0，b0，ab1，求證：(1)8；(2)9.證明：(1)ab1，a0，b0，22244 48(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)，8.(2)1，由(1)知8.9.9設(shè)x0，y0且xy4，要使不等式m恒成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍解：由x0，y0且xy4.得1，.當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立即y2x(x0，y0，y2x舍去)此時(shí)，結(jié)合x(chóng)y4，解得x，y.的最小值為.m.m的取值范圍為.10某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD，公園由長(zhǎng)方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示)(1)若設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬的比x，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式；(2)要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬應(yīng)如