高中數(shù)學(xué) 第一講 不等式和絕對值不等式 1.2.1 絕對值三角不等式課件 新人教A版選修45.ppt

二絕對值不等式1 絕對值三角不等式 自主預(yù)習(xí) 1 絕對值的幾何意義 原點(diǎn) 距離 長度 a 2 絕對值三角不等式 1 定理1 如果a b r 則 a b 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 2 定理1的推廣 如果a b是實(shí)數(shù) 則 a b a b a b a b ab 0 3 定理2 如果a b c r 那么 a c a b b c 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 a b b c 0 即時(shí)小測 1 已知a b r 則使不等式 a b 0b a b0d ab 0 解析 選d 根據(jù)絕對值的意義 可知只有當(dāng)ab 0時(shí) 不等式 a b a b 成立 2 對任意x y r x 1 x y 1 y 1 的最小值為 a 1b 2c 3d 4 解析 選c 對任意x y r x 1 x y 1 y 1 x 1 x 1 y y 1 x 1 x 1 y y 1 3 當(dāng)且僅當(dāng)x 0 1 y 1 1 時(shí) 等號成立 3 不等式 x 1 x 1 a恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析 因?yàn)?x 1 x 1 x 1 x 1 2 當(dāng)且僅當(dāng) 1 x 1時(shí)等號成立 所以 使不等式 x 1 x 1 a恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a 2 答案 a 2 知識探究 探究點(diǎn)絕對值三角不等式1 用向量a b分別替換a b 當(dāng)a與b不共線時(shí) 有 a b a b 其幾何意義是什么 提示 其幾何意義是 三角形的兩邊之和大于第三邊 2 不等式 a b a b a b 中 成立的條件分別是什么 提示 右側(cè) 成立的條件是ab 0 左側(cè) 成立的條件是ab 0且 a b 歸納總結(jié) 1 對定理1的兩點(diǎn)說明 1 由于定理1與三角形邊之間的聯(lián)系 故稱此不等式為絕對值三角不等式 2 定理1可推廣到n個(gè)實(shí)數(shù)情況即 a1 a2 an a1 a2 an 2 定理2的幾何解釋在數(shù)軸上 a b c所對應(yīng)的點(diǎn)分別為a b c 當(dāng)點(diǎn)b在點(diǎn)a c之間時(shí) a c a b b c 當(dāng)點(diǎn)b不在點(diǎn)a c之間時(shí) 1 點(diǎn)b在a或c上時(shí) a c a b b c 2 點(diǎn)b不在a c上時(shí) a c a b b c 類型一利用絕對值三角不等式證明不等式 典例 設(shè)函數(shù)f x x2 2x 實(shí)數(shù) x a 1 求證 f x f a 2 a 3 解題探究 典例中對于 f x f a 如何構(gòu)造 使其滿足絕對值不等式的形式 提示 f x f a x2 2x a2 2a x a x a 2 證明 因?yàn)楹瘮?shù)f x x2 2x 實(shí)數(shù) x a 1 所以 f x f a x2 2x a2 2a x a x a 2 x a 2 x a 2a 2 x a 2a 2 1 2a 2 2 a 3 所以 f x f a 2 a 3 方法技巧 兩類含絕對值不等式的證明技巧一類是比較簡單的不等式 往往可通過平方法 換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明 或利用 a b a b a b 通過適當(dāng)?shù)奶?拆項(xiàng)證明 另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的不等式 往往可考慮利用一般情況成立 則特殊情況也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明 變式訓(xùn)練 1 設(shè)m是 a b 和1中最大的一個(gè) 當(dāng) x m時(shí) 求證 2 解題指南 利用m a m b m 1求解 證明 因?yàn)?x m b 且 x m 1 所以 x2 b 又因?yàn)?x m a 所以故原不等式成立 2 若f x x2 x c c為常數(shù) x a 1 求證 f x f a 2 a 1 解題指南 將 f x f a 分解成含 x a 的形式 再利用 x a 1證明 證明 f x f a x2 x c a2 a c x2 x a2 a x a x a 1 x a x a 1 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2 a 1 2 a 1 類型二利用絕對值三角不等式求最值或取值范圍 典例 求函數(shù)y x 3 x 1 的最大值和最小值 解題探究 典例中求 x 3 x 1 的最值可利用哪個(gè)絕對值不等式 提示 根據(jù) a b a b 求最值 解析 因?yàn)?x 3 x 1 x 3 x 1 4 所以 4 x 3 x 1 4 所以ymax 4 ymin 4 延伸探究 1 典例中函數(shù)y取到最大值時(shí) 需滿足什么條件 解析 函數(shù)y取到最大值 需要滿足解得x 1 2 若將典例條件改為 x 3 x 1 a的解集不是r 求a的取值范圍 解析 只要a不小于 x 3 x 1 的最小值 則 x 3 x 1 a的解集不是r 而 x 3 x 1 3 x x 1 3 x x 1 4 當(dāng)且僅當(dāng) 3 x x 1 0 即 1 x 3時(shí)取最小值4 所以a的取值范圍是 4 方法技巧 求f x x a x b 和f x x a x b 的最值的三種方法 1 轉(zhuǎn)化法 轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解 2 利用絕對值三角不等式進(jìn)行 放縮 求解 但要注意兩數(shù)的 差 還是 和 的絕對值為定值 3 利用絕對值的幾何意義 變式訓(xùn)練 已知x r 求函數(shù)f x x 1 x 2 的最大值 解析 根據(jù)絕對值的三角不等式 有 x 1 x 2 x 1 x 2 3 當(dāng)且僅當(dāng)x 2時(shí)等號成立 故函數(shù)f x x 1 x 2 3 所以最大值為3 類型三絕對值三角不等式的綜合應(yīng)用 典例 2014 全國卷 設(shè)函數(shù)f x x a a 0 1 證明 f x 2 2 若f 3 5 求a的取值范圍 解題探究 1 典例 1 中可利用什么來證明f x 2 提示 利用絕對值不等式去掉x 再利用平均不等式證明 2 典例 2 中含絕對值的不等式如何轉(zhuǎn)化為不含絕對值 提示 可通過對a討論 去掉絕對值 解不等式 解析 1 由a 0 有f x 所以f x 2 2 f 3 3 a 當(dāng)a 3時(shí) f 3 a 由f 3 5 得3 a 當(dāng)0 a 3時(shí) f 3 6 a 由f 3 5 得 a 3 綜上 a的取值范圍是 方法技巧 絕對值不等式綜合應(yīng)用的解題策略含絕對值的綜合問題 綜合性強(qiáng) 所用到的知識多 在解題時(shí) 要注意應(yīng)用絕對值不等式的性質(zhì) 推論及已知條件 還要注意配方等等價(jià)變形 同時(shí)在應(yīng)用絕對值不等式放縮性質(zhì)求最值時(shí) 還要注意等號成立的條件 變式訓(xùn)練 1 設(shè)f x ax2 bx c 當(dāng) x 1時(shí) 恒有 f x 1 求證 f 2 7 證明 因?yàn)?x 1時(shí) 有 f x 1 所以 f 0 c 1 f 1 1 f 1 1 又f 1 a b c f 1 a b c 所以 f 2 4a 2b c 3 a b c a b c 3c 3f 1 f 1 3f 0 3 f 1 f 1 3 f 0 3 1 3 7 所以 f 2 7 2 已知函數(shù)f x lg 1 判斷f x 在 1 1 上的單調(diào)性 并給出證明 2 若t r 求證 解析 1 f x 在 1 1 上是減函數(shù) 證明 令取 1 x1 x2 1 則u1 u2 因?yàn)?x1 1 x2 1 x10 即u1 u2 又在 1 1 上u 0 故lgu1 lgu2 得f x1 f x2 所以f x 在 1 1 上是減函數(shù) 2 因?yàn)樗?