等腰三角形典型例題.doc

等腰三角形1如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，和都是等邊三角形，AN、BM相交于點(diǎn)O，AN、CM交于點(diǎn)P，BM、CN交于點(diǎn)Q（1）求證：（2）求的度數(shù)（3）求證：【分析】（1）欲證，只需證明它所在的兩個(gè)三角形全等（2）的度數(shù)可用的外角來求，但要注意全等所得到這一條件的使用（3）要，則，應(yīng)該為一個(gè)等邊三角形，可證明，從而得到（1）證明：和都是等邊三角形， ， ， 即 在和中， ， （2）由（1）知， ， 即（3）在和中， ， ， 又， ， 即， 【點(diǎn)撥】（1）要證明線段相等（或角相等），找它們所在的三角形全等（2）本題的圖形規(guī)律：共一個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)等邊三角形構(gòu)成的圖形中，存在一對或多對繞公共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換的三角形全等2如圖，在中,，的平分線AM的長15，求BC的長【分析】由AM平分，可得，則，所以在中，可得，由，可求出BC的長 解：在中，AM平分，在中，【點(diǎn)撥】含30度的直角三角形的性質(zhì)常與直角三角形的兩個(gè)銳角互余一起運(yùn)用，此性質(zhì)是求線段長度和證明線段倍分問題的重要方法3如圖，求證：【分析】根據(jù)已知“，”聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”，通過輔助線將證明轉(zhuǎn)化為證明證明：延長CE、BA交于點(diǎn)F，在和中，即，在和中，【點(diǎn)撥】（1）利用等腰三角形“三線合一”不僅能得到線段相等、角相等，而且能得到線段的倍半關(guān)系（2）聯(lián)系等腰三角形“三線合一”作頂角平分線或底邊的中線或底邊的高線是常用的輔助線4如圖，ABC中，AB=AC，在AB邊上取點(diǎn)D，在AC延長線上取點(diǎn)E，使BD=CE，連結(jié)DE交BC于G求證：DG=GE 【分析】由于ABC是等腰三角形，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長線上一點(diǎn)，故可考慮過D或E作腰AC或AB的平行線，通過構(gòu)造等腰三角形，可獲得結(jié)論證法1：過D作DFAC，交BC于F（如圖） DFB=ACB 又AB=AC， B=ACB B=DFB DB=DF CE=BD(已知)， DF=CE 又DGF=CGE，GDF=E， DFGECG（AAS） DG=GE證法2：過E作EMAB交BC延長線于M B=M 又AB=AC， B=ACB 又ACB=ECM， M=ECM EC=EM CE=BD(已知)， EM=BD 在BDG與MEG中， BDGMEG（AAS） DG=GE【點(diǎn)撥】（1）本題的證明方法很多，其思路是通過利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE條件，構(gòu)造新的 等腰三角形來尋求結(jié)論（2）本題在推證含DG、GE為對應(yīng)邊的兩個(gè)三角形全等時(shí)，尋找等邊是一個(gè)難點(diǎn)，也是本題最易出錯(cuò)的 地方，主要表現(xiàn)為把BD=CE這一條件直接作為三角形全等時(shí)的對應(yīng)邊5已知：如圖，ABC中，AB=AC，A=36，仿照圖（1），請你再設(shè)計(jì)兩種不同的方法，將ABC分割成3個(gè)三角形，使得每個(gè)三角形都是等腰三角形（如圖（1）（2）圖(2)（3）供畫圖用，作圖工具不限，不要求寫畫法，不要求證明；要求標(biāo)出所分得的每個(gè)等腰三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)）【分析】由于所給三角形是一個(gè)含36的等腰三角形，因而將它分成三個(gè)等腰三角形時(shí)仍只需考慮以36，72，108等為內(nèi)角的等腰三角形即可解：本題顯然應(yīng)有多種結(jié)果，現(xiàn)提供3種，以供同學(xué)們參考，如圖中（2）、（3）、（4）；【點(diǎn)撥】像本例這種圖形的分割問題的求解，一方面應(yīng)把握原圖形的特征，借助經(jīng)驗(yàn)予以解決，另一方面還應(yīng)大膽嘗試，在操作中獲得結(jié)果6如圖，在一個(gè)寬度為的小巷內(nèi)，一個(gè)梯子的長度為b，梯子的腳位于P點(diǎn)將梯子的頂端放于一堵墻上Q點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)離地面的高度為c，此時(shí)梯子與地面的夾角為將梯子頂端放于對面一堵墻上R點(diǎn)，離開地面的高度為d，此時(shí)梯子與地面的夾