高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理.2.2利用排列數(shù)公式解應(yīng)用題學(xué)案蘇教版.docx

利用排列數(shù)公式解應(yīng)用題1能用排列數(shù)公式解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題(重點(diǎn))2掌握無(wú)限制條件的排列問(wèn)題的解法(重點(diǎn))3掌握幾種有限制條件的排列問(wèn)題的解法(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))小組合作型無(wú)限制條件的排列問(wèn)題(1)有5本不同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有5種不同的書(shū)，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？【精彩點(diǎn)撥】(1)從5本不同的書(shū)中選出3本分別送給3名同學(xué)，各人得到的書(shū)不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；(2)給每人的書(shū)均可以從5種不同的書(shū)中任選1本，各人得到哪本書(shū)相互之間沒(méi)有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算【自主解答】(1)從5本不同的書(shū)中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是A54360，所以共有60種不同的送法(2)由于有5種不同的書(shū)，送給每個(gè)同學(xué)的每本書(shū)都有5種不同的選購(gòu)方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書(shū)的不同方法種數(shù)是555125，所以共有125種不同的送法1沒(méi)有限制的排列問(wèn)題，即對(duì)所排列的元素或所排列的位置沒(méi)有特別的限制，這一類問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單，分清元素和位置即可2對(duì)于不屬于排列的計(jì)數(shù)問(wèn)題，注意利用計(jì)數(shù)原理求解再練一題1(1)將3張不同的購(gòu)物券分給10人中的3人，每人1張，共有_種不同的分法(2)從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員，文娛委員與體育委員，不同的選法共有_種【解析】(1)問(wèn)題相當(dāng)于從10人中選出3人排列起來(lái)，故不同分法的種數(shù)為A1098720.(2)從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員，文娛委員與體育委員，應(yīng)有A54360種【答案】(1)720(2)60有限制條件的排列問(wèn)題7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？(1)老師甲必須站在中間或兩端；(2)2名女生必須相鄰而站；(3)4名男生互不相鄰；(4)若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站【精彩點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題的方法主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先考慮特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論【自主解答】(1)先考慮甲有A種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法總數(shù)為：AA2 160(種)(2)2名女生站在一起有站法A種，視為一種元素與其余5人全排，有A種排法，所以有不同站法AA1 440(種)(3)先站老師和女生，有站法A種，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空一人，則插入方法A種，所以共有不同站法AA144(種)(4)7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有A種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法2420(種)解決排隊(duì)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題1對(duì)于相鄰問(wèn)題可以采用捆綁的方法，將相鄰的元素作為一個(gè)整體進(jìn)行排列，但是要注意這個(gè)整體內(nèi)部也要進(jìn)行排列2對(duì)于不相鄰問(wèn)題可以采用插空的方法，先排沒(méi)有限制條件的元素，再將不相鄰的元素以插空的方式排入3對(duì)于順序給定的元素的排列問(wèn)題只需考慮其余元素的排列即可4“在”與“不在”的有限制條件的排列問(wèn)題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰(shuí)“特殊”誰(shuí)優(yōu)先再練一題23名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排隊(duì)方案有多少種(1)甲不站中間，也不站兩端；(2)甲、乙兩人必須站兩端【解】(1)分兩步，首先考慮兩端及中間位置，從除甲外的6人中選3人排列，有A種站法，然后再排其他位置，有A種站法，所以共有AA2 880種不同站法(2)甲、乙為特殊元素，先將他們排在兩頭位置，有A種站法，其余5人全排列，有A種站法故共有AA240種不同站法探究共研型數(shù)字排列問(wèn)題探究1偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字有何特征？從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同數(shù)字能組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？【提示】偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定能被2整除先從2,4中任取一個(gè)數(shù)字排在個(gè)位，共2種不同的排列，再?gòu)氖Ｓ鄶?shù)字中任取一個(gè)數(shù)字排在十位，共4種排法，故從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字，能組成248(個(gè))不同的偶數(shù)探究2在一個(gè)三位數(shù)中，身居百位的數(shù)字x能是0嗎？如果在09這十個(gè)數(shù)字中任取不同的三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，如何排才能使百位數(shù)字不為0?【提示】在一個(gè)三位數(shù)中，百位數(shù)字不能為0，在具體排數(shù)時(shí)，從元素0的角度出發(fā)，可先將0排在十位或個(gè)位的一個(gè)位置，其余數(shù)字可排百位、個(gè)位(或十位)位置；從“位置”角度出發(fā)可先從19這9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字排百位，然后再?gòu)氖Ｓ?個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字排十位與個(gè)位位置探究3如何從26,17,31,48,19中找出大于25的數(shù)？【提示】先找出十位數(shù)字比2大的數(shù)，再找出十位數(shù)字是2，個(gè)位數(shù)字比5大的數(shù)即可用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的(1)六位奇數(shù)？(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)？【精彩點(diǎn)撥】這是一道有限制條件的排列問(wèn)題，每一問(wèn)均應(yīng)優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排的原則另外，還可以用間接法求解【自主解答】(1)法一：從特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填個(gè)位，有A種填法，第二步再填十萬(wàn)位，有A種填法，第三步填其他位，有A種填法，故共有AAA288(個(gè))六位奇數(shù)法二：從特殊元素入手(直接法)0不在兩端有A種排法，從1,3,5中任選一個(gè)排在個(gè)位有A種排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A種排法，故共有AAA288(個(gè))六位奇數(shù)法三：排除法6個(gè)數(shù)字的全排列有A個(gè)，0,2,4在個(gè)位上的六位數(shù)為3A個(gè)，1,3,5在個(gè)位上，0在十萬(wàn)位上的六位數(shù)有3A個(gè)，故滿足條件的六位奇數(shù)共有A3A3A288(個(gè))(2)法一：排除法0在十萬(wàn)位的六位數(shù)或5在個(gè)位的六位數(shù)都有A個(gè)，0在十萬(wàn)位且5在個(gè)位的六位數(shù)有A個(gè)故符合題意的六位數(shù)共有A2AA504(個(gè))法二：直接法十萬(wàn)位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同因此需分兩類：第一類：當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，符合條件的六位數(shù)有A個(gè)第二類：當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，符合條件的六位數(shù)有AAA個(gè)故共有符合題意的六位數(shù)AAAA504(個(gè))解排數(shù)字問(wèn)題常見(jiàn)的解題方法1“兩優(yōu)先排法”：特殊元素優(yōu)先排列，特殊位置優(yōu)先填充如“0”不排“首位”2“分類討論法”：按照某一標(biāo)準(zhǔn)將排列分成幾類，然后按照分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行，要注意以下兩點(diǎn)：一是分類標(biāo)準(zhǔn)必須恰當(dāng)；二是分類過(guò)程要做到不重不漏3“排除法”：全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù)4“位置分析法”：按位置逐步討論，把要求數(shù)字的每個(gè)數(shù)位排好再練一題3用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)取不同的數(shù)字組數(shù)(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？(2)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)？(3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列an，則240 135是第幾項(xiàng)【解】(1)符合要求的五位數(shù)可分為兩類：第一類，個(gè)位上的數(shù)字是0的五位數(shù)，有A個(gè)；第二類，個(gè)位上的數(shù)字是5的五位數(shù)，有AA個(gè)故滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)共有AAA216(個(gè))(2)符合要求的比1 325大的四位數(shù)可分為三類：第一類，形如2，3，4，5，共AA個(gè)；第二類，形如14，15，共有AA個(gè)；第三類，形如134，135，共有AA個(gè)由分類計(jì)數(shù)原理知，無(wú)重復(fù)數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)共有：AAAAAA270(個(gè))(3)由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有A個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬(wàn)位上為0,1,3中的一個(gè)有3A個(gè)數(shù)，240 135的項(xiàng)數(shù)是A3A1193，即240 135是數(shù)列的第193項(xiàng)構(gòu)建體系16名學(xué)生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)種【解析】由于6人排兩排，沒(méi)有什么特殊要求的元素，故排法種數(shù)為A720(種)【答案】7202要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有_種. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440007】【解析】從5名志愿者中選2人排在兩端有A種排法，2位老人的排法有A種，其余3人和老人排有A種排法，共有AAA960種不同的排法【答案】9603用1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)字排列組成一個(gè)七位數(shù)，要求在其偶數(shù)位上必須是偶數(shù)，奇數(shù)位上必須是奇數(shù)，則這樣的七位數(shù)有_個(gè)【解析】先排奇數(shù)位有A種，再排偶數(shù)位有A種，故共有AA144個(gè)【答案】1444(2016連云港高二檢測(cè))兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起去公園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園為安全起見(jiàn)，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為_(kāi)種【解析】分3步進(jìn)行分析，先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有A2種排法，兩個(gè)小孩一定要排在一起，將其看成一個(gè)元素，考慮其順序有A2種排法，將兩個(gè)小孩看作一個(gè)元素與兩位媽媽進(jìn)行全排列，有A6種排法則共有22624種排法【答案】245從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問(wèn)共有多少種參賽方案？【解】法一：從運(yùn)動(dòng)員(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類：第1類，甲不參賽，有A種參賽方案；第2類，甲參賽，可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒，有2種方法，然后安排其他3棒，有A種方法，此時(shí)有2A種參賽方案由分類計(jì)數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有A2A240種法二：從位置(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮第一棒和第四棒，則這兩棒可以從除甲之外的5人中選2人，有A種方法；其余兩棒從剩余4人中選，有A種方法由分步計(jì)數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有AA240種我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1有4種不同的蔬菜，從中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則不同的種植方法有_種【解析】A43224(種)【答案】242用1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有_個(gè)【解析】分2步完成：個(gè)位必為奇數(shù)，有A種選法；從余下的4個(gè)數(shù)中任選2個(gè)排在三位數(shù)的百位、十位上，有A種選法由分步計(jì)數(shù)原理，得共有AA36(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)【答案】3636人站成一排，甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為_(kāi)種【解析】(間接法)甲、乙、丙三人在一起的排法種數(shù)為AA；不考慮任何限制，6人的全排列有A，所以符合題意的排法種數(shù)為：AAA576.【答案】5764從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)ax2bxc中的參數(shù)a，b，c，可組成不同的二次函數(shù)共有_個(gè)【解析】若得到二次函數(shù)，則a0，a有A種選擇，故二次函數(shù)有AA33218(個(gè))【答案】185從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有_種. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440008】【解析】沒(méi)有女生的選法有A種，一共有A種選法，則至少有1名女生的選派方案共有AA186(種)【答案】1866某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法共有_種【解析】分兩種情況：第一種，增加的兩個(gè)新節(jié)目相連；第二種，增加的兩個(gè)新節(jié)目不相連，不同插法的種數(shù)為AAA42(種)【答案】427若把英語(yǔ)單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有_種【解析】“o，o”為重復(fù)元素，故共有12(種)排列順序，所以出現(xiàn)錯(cuò)誤的共有12111(種)【答案】118用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒(méi)有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1,2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是_【解析】可分為三步來(lái)完成這件事：第一步：先將3,5進(jìn)行排列，共有A種排法；第二步：再將4,6插空排列，共有2A種排法；第三步：將1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A種排法由分步計(jì)數(shù)原理得，共有A2AA40種不同的排法【答案】40二、解答題9喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進(jìn)行談判，通過(guò)談判他們握手言和，準(zhǔn)備一起照合影像(排成一排)(1)要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？【解】(1)把喜羊羊家族的四位成員看成一個(gè)元素，排法為A.又因?yàn)樗奈怀蓡T交換順序產(chǎn)生不同排列，所以共有AA144種排法(2)第一步，將喜羊羊家族的四位成員排好，有A種排法；第二步，讓灰太狼、紅太狼插入四人形成的空(包括兩端)，有A種排法，共有AA480種排法10(2016上饒二模)有紅、藍(lán)、黃、綠四種顏色的球各6個(gè)，每種顏色的6個(gè)球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中任取3個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球，顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù)【解】所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的方法有135,136,146,246，共4種方法.3個(gè)顏色互不相同有4A432124種，所以這3個(gè)顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù)有42496種能力提升1把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種【解析】設(shè)其他不同的產(chǎn)品分別為D，E，先把產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁有A種，再與產(chǎn)品D，E全排有A種，最后把產(chǎn)品C插空有A種，所以共有AAA36種不同擺法【答案】362六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有_種【解析】當(dāng)甲在最左端時(shí)，有A120(種)排法；當(dāng)甲不在最左端時(shí)，乙必須在最左端，且甲也不在最右端，有AAA42496(種)排法，共計(jì)12096