高考數(shù)學(xué)4應(yīng)用題的解法50.doc

高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解法2007年全國(guó)數(shù)學(xué)考試大綱（課標(biāo)版）中，能力要求中指出，能力是指思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力以及實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，其中對(duì)實(shí)踐能力的界定是：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題；能理解對(duì)問(wèn)題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表達(dá)和說(shuō)明.實(shí)踐能力是將客觀事物數(shù)學(xué)化的能力.主要過(guò)程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以解決.2007年山東數(shù)學(xué)考試說(shuō)明對(duì)實(shí)踐能力的界定是：能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表述、說(shuō)明對(duì)實(shí)踐能力的考查主要采用解決應(yīng)用問(wèn)題的形式.命題時(shí)要堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，試題設(shè)計(jì)要切合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的難度符合考生的水平.數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題是歷年高考命題的主要題型之一, 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題. 由于這類題目文字?jǐn)⑹鲩L(zhǎng)，數(shù)學(xué)背景陌生，涉及面又廣，對(duì)相當(dāng)一部分學(xué)生來(lái)講，連題目都不“敢”去看了，心理失衡，導(dǎo)致在閱讀和理解方面存在著一定困難.解答這類問(wèn)題的要害是消除心理和語(yǔ)言障礙，深刻理解題意,做好文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言的翻譯轉(zhuǎn)化, 自信，冷靜地去讀完題目，保持冷靜，認(rèn)真對(duì)待，不能隨意放棄.讀題是翻譯的基礎(chǔ)，讀題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵字、詞、句，弄清題中的已知事項(xiàng)，初步了解題目中講的是什么事情，要求的結(jié)果是什么。在讀題的基礎(chǔ)上，要能復(fù)述題目中的要點(diǎn)，深思題意，很多情況下，可將應(yīng)用題翻譯成圖表形式，形象鮮明地表現(xiàn)出題中各數(shù)量之間的關(guān)系，將文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這個(gè)過(guò)程其實(shí)就是建模。函數(shù),數(shù)列,不等式，排列組合、概率是較為常見(jiàn)的模型,而三角,立幾,解幾等模型也時(shí)有出現(xiàn).一般來(lái)說(shuō)，可采用下列策略建立數(shù)學(xué)模型：（1）雙向推理列式，利用已知條件順向推理，運(yùn)用所求結(jié)果進(jìn)行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題可建立指、對(duì)數(shù)或方程模型，行程、工程、濃度問(wèn)題可以建立方程（組）或不等式模型，拱橋、炮彈發(fā)射、衛(wèi)星制造問(wèn)題可建立二次模型，測(cè)量問(wèn)題可建立解三角形模型；計(jì)數(shù)問(wèn)題可建立排列組合問(wèn)題；機(jī)會(huì)大小問(wèn)題可建立概率模型，優(yōu)化問(wèn)題可建立線性規(guī)劃模型一、 建構(gòu)函數(shù)模型的應(yīng)用性問(wèn)題 解答函數(shù)型應(yīng)用題，一般先從建立函數(shù)的解析表達(dá)式入手，通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)獲得解答因此，這類問(wèn)題的難點(diǎn)一般有兩個(gè)：一是解析式的建立，二是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用1某公司為幫助尚有26.8萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的殘疾人商店，借出20萬(wàn)元將該商店改建成經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店，并約定用該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)逐步償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計(jì)利息)已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價(jià)p（元件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實(shí)線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月13200元（）若當(dāng)銷售價(jià)p為52元件時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；（）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時(shí)每件消費(fèi)品的價(jià)格定為多少元？講解 本題題目的篇幅較長(zhǎng)，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要?jiǎng)澐侄温鋵哟?，弄清每一層次?dú)立的含義和相互間的關(guān)系，更需要抓住矛盾的主要方面由題目的問(wèn)題找到關(guān)鍵詞“收支平衡”、“還清所有債務(wù)”，不難想到，均與“利潤(rùn)”相關(guān)從閱讀和以上分析，可以達(dá)成我們對(duì)題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題為此，首先應(yīng)該建立利潤(rùn)與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價(jià)p之間的關(guān)系，然后，通過(guò)研究解析式，來(lái)對(duì)問(wèn)題作出解答由于銷售量和各種支出均以月為單位計(jì)量，所以，先考慮月利潤(rùn)（）設(shè)該店的月利潤(rùn)為S元，有職工m名則又由圖可知：所以， 由已知，當(dāng)時(shí)，即解得即此時(shí)該店有50名職工（）若該店只安排40名職工，則月利潤(rùn)當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，S取最大值7800元當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，S取最大值6900元綜上，當(dāng)時(shí)，S有最大值7800元設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù)，依題意，有解得所以，該店最早可在5年后還清債務(wù)，此時(shí)消費(fèi)品的單價(jià)定為55元點(diǎn)評(píng)求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過(guò)閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義（2）建模關(guān)：即建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（3）數(shù)理關(guān)：運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型2某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系：注：次品率，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品其余為合格品已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；（）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？講解：（）當(dāng)時(shí)，所以，每天的盈利額當(dāng)時(shí)，所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有件，次品約有件故，每天的盈利額綜上，日盈利額（元）與日產(chǎn)量（件）的函數(shù)關(guān)系為：（）由（）知，當(dāng)時(shí)，每天的盈利額為0當(dāng)時(shí)，為表達(dá)方便，令，則故（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立）所以，（1）當(dāng)時(shí)，（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）（2） 當(dāng)時(shí)，由得，易證函數(shù)在上單調(diào)遞增（證明過(guò)程略）所以，所以，即（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得）綜上，若，則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)；若，則當(dāng)日產(chǎn)量為時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)點(diǎn)評(píng)基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性是求解函數(shù)最值問(wèn)題的兩大重要手段3.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）萬(wàn)元，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)100臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R(x)滿足R(x)=.假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律.（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應(yīng)控制在什么范圍？（2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)贏利最大？并求此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為多少？解：依題意，G（x)=x+2,設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x),則(1)要使工廠有贏利，則有f(x)0.當(dāng)0x5時(shí)，有0.4x2+3.2x2.80,得1x7,15時(shí)，有8.2x0,得x8.2,5x8.2.綜上，要使工廠贏利，應(yīng)滿足1x5時(shí)f(x)b,各字母均為正值，所以y1y20，即y20,由cb及每字母都是正值，得cb+.所以，當(dāng)cb+時(shí)y2y3,由y2y1即y2最小，當(dāng)bacb+時(shí)，y3y21時(shí)，才可對(duì)沖浪者開(kāi)放.1, 0.2k,即有12k3t13k+3.由0t24,故可令k=0,1,2,得0t3或9t15或210,2n2+40n720，解得2n18.由nN知從第三年開(kāi)始獲利.（2）年平均利潤(rùn)=402(n+)16.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào).故此方案先獲利616+48=144（萬(wàn)美元），此時(shí)n=6,f(n)=2(n10)2+128.當(dāng)n=10時(shí)，f(n)|max=128.故第種方案共獲利128+16=144（萬(wàn)美元）.故比較兩種方案，獲利都是144萬(wàn)美元，但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案.8.某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產(chǎn)品P、Q，該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多有2500件，月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多有1200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個(gè)A、2個(gè)B，組裝一件Q產(chǎn)品要6個(gè)A、8個(gè)B，該廠在某個(gè)月能用的A零件最多14000個(gè)；B零件最多12000個(gè).已知P產(chǎn)品每件利潤(rùn)1000元，Q產(chǎn)品每件2000元，欲使月利潤(rùn)最大，需要組裝P、Q產(chǎn)品各多少件？最大利潤(rùn)多少萬(wàn)元.解：設(shè)分別生產(chǎn)P、Q產(chǎn)品x件、y件，則有設(shè)利潤(rùn)S=1000x+2000y=1000(x+2y)要使利潤(rùn)S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) 有x+2y=(2x+3y)+(x+4y)7000+6000.當(dāng)且僅當(dāng)解得時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大利潤(rùn)Smax=1000(x+2y)=4000000=400(萬(wàn)元).另外此題可運(yùn)用“線性規(guī)劃模型”解決.9. 隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬(wàn)元.據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬(wàn)元，但公司需付下崗職員每人每年萬(wàn)元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？ 解 設(shè)裁員人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為萬(wàn)元,則 =依題意 0.又140420, 70210.(1)當(dāng)0,即70,即140210時(shí)， , 取到最大值;OABvt2(1k)t4kt15 綜上所述，當(dāng)70140時(shí)，應(yīng)裁員人；當(dāng)140210時(shí)，應(yīng)裁員人.在多字母的數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，分類求解時(shí)需要搞清：為什么分類？對(duì)誰(shuí)分類？如何分類？10.醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)108的時(shí)候小白鼠將死亡但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確到天）（2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）天數(shù)t病毒細(xì)胞總數(shù)N12345671248163264 已知：lg2=0.3010天數(shù)t病毒細(xì)胞總數(shù)N12345671248163264講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由兩邊取對(duì)數(shù)得 n27.5, 即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,再經(jīng)過(guò)x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,由題意108，兩邊取對(duì)數(shù)得， 故再經(jīng)過(guò)6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.11.在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15角，速度為2.5km/h，同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問(wèn)此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？講解: 不妨畫一個(gè)圖形,將文字語(yǔ)言翻譯為圖形語(yǔ)言, 進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型.設(shè)船速為v，顯然時(shí)人是不可能追上小船，當(dāng)km/h時(shí)，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí)，人才能追上小船。設(shè)船速為v，人追上船所用時(shí)間為t，人在岸上跑的時(shí)間為，則人在水中游的時(shí)間為，人要追上小船，則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿足如圖所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則有且解得. 故當(dāng)船速在內(nèi)時(shí)，人船運(yùn)動(dòng)路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見(jiàn)當(dāng)船速為2.5km/h時(shí), 人可以追上小船.涉及解答三角形的實(shí)際應(yīng)用題是近年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn), 復(fù)課時(shí)值得關(guān)注.有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +g(0)- e(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)； （2）求證：當(dāng)g(0) 時(shí)，湖泊的污染程度將越來(lái)越嚴(yán)重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%？ 講解（1）g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0, g(0)= .(2) 我們易證得0t1t2, 則g(t1)-g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ,g(0)0,t1e,g(t1)80% ？（）求使得60%成立的最小的自然數(shù).為了解決這些問(wèn)題，我們可以根據(jù)題意，列出數(shù)列的相鄰項(xiàng)之間的函數(shù)關(guān)系，然后由此遞推公式出發(fā)，設(shè)法求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式由題可知：，所以，當(dāng)時(shí)，兩式作差得：又，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以， 由上式可知：對(duì)于任意，均有即全縣綠地面積不可能超過(guò)總面積的80%（）令，得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：隨的增大而單調(diào)遞減，因此，我們只需從開(kāi)始驗(yàn)證，直到找到第一個(gè)使得的自然數(shù)即為所求驗(yàn)證可知：當(dāng)時(shí)，均有，而當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，均有所以，從2000年底開(kāi)始，5年后，即2005年底，全縣綠地面積才開(kāi)始超過(guò)總面積的60%點(diǎn)評(píng)：（）中，也可通過(guò)估值的方法來(lái)確定的值2. 某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場(chǎng)超歷史記錄的大暴雨，為確保萬(wàn)無(wú)一失，指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪淹沒(méi)正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測(cè)算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問(wèn)24小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說(shuō)明理由.講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型.由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可完成全部工程可知，每輛車，每小時(shí)的工作效率為，設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，a2，, a25小時(shí)，依題意它們組成公差（小時(shí)）的等差數(shù)列，且，化簡(jiǎn)可得. 解得.可見(jiàn)a1的工作時(shí)間可以滿足要求，即工程可以在24小時(shí)內(nèi)完成.3. 某學(xué)校為了教職工的住房問(wèn)題，計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費(fèi)為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費(fèi)用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費(fèi)用就增加30元/m2.試設(shè)計(jì)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費(fèi)用最少，并求出其最少費(fèi)用.（總費(fèi)用為建筑費(fèi)用和征地費(fèi)用之和）.講解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎樣建構(gòu)數(shù)學(xué)模型?設(shè)樓高為n層，總費(fèi)用為y元，則征地面積為，征地費(fèi)用為元，樓層建筑費(fèi)用為445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2） 元，從而（元）當(dāng)且僅當(dāng) , n=20（層）時(shí)，總費(fèi)用y最少.故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時(shí), 最少總費(fèi)用為1000A元.5某人計(jì)劃年初向銀行貸款10萬(wàn)元用于買房他選擇10年期貸款，償還貸款的方式為：分10次等額歸還，每年一次，并從借后次年年初開(kāi)始?xì)w還，若10年期貸款的年利率為4，且每年利息均按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息），問(wèn)每年應(yīng)還多少元（精確到1元）？講解：作為解決這個(gè)問(wèn)題的第一步，我們首先需要明確的是：如果不考慮其它因素，同等款額的錢在不同時(shí)期的價(jià)值是不同的比如說(shuō)：現(xiàn)在的10元錢，其價(jià)值應(yīng)該大于1年后的10元錢原因在于：現(xiàn)在的10元錢，在1年的時(shí)間內(nèi)要產(chǎn)生利息在此基礎(chǔ)上，這個(gè)問(wèn)題，有兩種思考的方法：法1如果注意到按照貸款的規(guī)定，在貸款全部還清時(shí)，10萬(wàn)元貸款的價(jià)值，與這個(gè)人還款的價(jià)值總額應(yīng)該相等則我們可以考慮把所有的款項(xiàng)都轉(zhuǎn)化到同一時(shí)間（即貸款全部付清時(shí)）去計(jì)算10萬(wàn)元，在10年后（即貸款全部付清時(shí)）的價(jià)值為元設(shè)每年還款x元?jiǎng)t第1次償還的x元，在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為；第2次償還的x元，在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為；第10次償還的x元，在貸款全部付清時(shí)的價(jià)值為元于是：105(1+4)10= x(1+4)9+x(14)8x(14)7+x由等比數(shù)列求和公式可得：其中所以，法2從另一個(gè)角度思考，我們可以分步計(jì)算考慮這個(gè)人在每年還款后還欠銀行多少錢仍然設(shè)每年還款x元?jiǎng)t第一年還款后，欠銀行的余額為：元；如果設(shè)第k年還款后，欠銀行的余額為元，則不難得出：105(1+4)10x(1+4)9x(14)8x(14)7x另一方面，按道理，第10次還款后，這個(gè)人已經(jīng)把貸款全部還清了，故有由此布列方程，得到同樣的結(jié)果點(diǎn)評(píng)：存、貸款問(wèn)題為典型的數(shù)列應(yīng)用題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于：1分清單利、復(fù)利（即等差與等比）；2尋找好的切入點(diǎn)（如本題的兩種不同的思考方法），恰當(dāng)轉(zhuǎn)化3.一般來(lái)說(shuō)，數(shù)列型應(yīng)用題的特點(diǎn)是：與n有關(guān)6. 某城市2001年末汽車保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛?講解 設(shè)2001年末汽車保有量為萬(wàn)輛，以后各年末汽車保有量依次為萬(wàn)輛，萬(wàn)輛，每年新增汽車萬(wàn)輛，則 ，所以，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：（1）顯然，若，則，即，此時(shí)（2）若，則數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，.（i）若，則對(duì)于任意正整數(shù)，均有，所以，此時(shí)，（ii）當(dāng)時(shí)，則對(duì)于任意正整數(shù)，均有，所以，由，得，要使對(duì)于任意正整數(shù)，均有恒成立，即 對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，. 本題是2002年全國(guó)高考題，上面的解法不同于參考答案，其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.7現(xiàn)有流量均為300的兩條河流A、B會(huì)合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2和0.2假設(shè)從匯合處開(kāi)始，沿岸設(shè)有若干個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的過(guò)程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100的水量，即從A股流入B股100水，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100水并混合問(wèn)：從第幾個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開(kāi)始，兩股河水的含沙量之差小于0.01（不考慮泥沙沉淀）？講解：本題的不等關(guān)系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建構(gòu)這樣的不等關(guān)系較為困難為表達(dá)方便，我們分別用來(lái)表示河水在流經(jīng)第n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)時(shí)，A水流和B水流的含沙量則2，0.2，且（）由于題目中的問(wèn)題是針對(duì)兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列由（）可得：所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以，由題，令0）.將點(diǎn)（4，5）代入求得p=.x2=y.將點(diǎn)（2，y1）代入方程求得y1=.+|y1|=+=2（m）.答案：211.下圖是一種加熱水和食物的太陽(yáng)灶，上面裝有可旋