2021高三數(shù)學(xué)北師大版（理）：平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例含解析.doc

教學(xué)資料范本2021高三數(shù)學(xué)北師大版（理）：平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例含解析編 輯：_時 間：_最新考綱1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題1向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：0，2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：abba；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|a|數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2夾角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|1平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2兩個向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角ab0且a，b不共線一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量()(2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1已知ab12，|a|4，a和b的夾角為135，則|b|為()A12B6C3D3Bab|a|b|cos 13512，所以|b|6.2已知|a|5，|b|4，a與b 的夾角120，則向量b在向量a方向上的投影為_2由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos 4cos 1202.3已知|a|2，|b|6，ab6，則a與b的夾角_.cos .又因為0，所以.4已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m_.8a(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)，由(ab)b可得(ab)b122m4162m0，即m8.考點1平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積的3種運算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解(1)(20xx全國卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，則()A3B2C2D3(2)一題多解如圖，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若2，則_.(1)C(2)12(1)(1，t3)，|1，t3，(2,3)(1,0)2.(2)法一：(定義法)因為2，所以，所以.因為ABCD，CD2，BAD，所以2|cos ，化簡得|2.故()|2(2)222cos 12.法二：(坐標法)如圖，建立平面直角坐標系xAy.依題意，可設(shè)點D(m，m)，C(m2，m)，B(n,0)，其中m0，n0，則由2，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化簡得m2.故(m，m)(m2，m)2m22m12.逆向問題已知菱形ABCD的邊長為6，ABD30，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC2BE，CDCF.若9，則的值為()A2B3C4D5B依題意得，因此22，于是有6262cos 609，由此解得3，故選B.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算常有兩種思路：一是定義法，二是坐標法，定義法可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補；坐標法要建立合適的坐標系1.(20xx昆明模擬)在ABCD中，|8，|6，N為DC的中點，2，則_.24法一：(定義法)()()22826224.法二：(特例圖形)：若ABCD為矩形，建立如圖所示坐標系，則N(4,6)，M(8,4)所以(8,4)，(4，2)所以(8,4)(4，2)32824.2在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中點，E在BC上，且AEBD，則()A16B12C8D4A建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)設(shè)E(0，b)，因為AEBD，所以0，即(4，b)(2,3)0，所以b，所以E，所以16，故選A.考點2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量的模求向量模的方法利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|；(3)若a(x，y)，則|a|.(1)一題多解(20xx昆明調(diào)研)已知向量a(1,2)，b(1,3)，則|2ab|()AB2CD10(2)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D為BC中點，則|等于()A2B4C6D8(3)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_(1)C(2)A(3)5(1)法一：因為a(1,2)，所以2a(2,4)，因為b(1,3)，所以2ab(3,1)，所以|2ab|，故選C.法二：在直角坐標系xOy中作出平面向量a,2a，b,2ab，如圖所示，由圖易得|2ab|，故選C.(2)因為()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，則|2.(3)建立平面直角坐標系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b)，則3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)當(dāng)yb時，|3|min5.在求解與向量的模有關(guān)的問題時，往往會涉及“平方”技巧，注意對結(jié)論(ab)2|a|2|b|22ab，(abc)2|a|2|b|2|c|22(abbcac)的靈活運用另外，向量作為工具性的知識，具備代數(shù)和幾何兩種特征，求解此類問題時可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，從而加快解題速度平面向量的夾角求向量夾角問題的方法(1)定義法：當(dāng)a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求出ab及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cos 求得(2)坐標法：若已知a(x1，y1)與b(x2，y2)，則cosa，b，a，b0，(3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解(1)一題多解(20xx全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角為()A. B.C.D.(2)一題多解(20xx全國卷)已知a，b為單位向量，且ab0，若c2ab，則cosa，c_.(1)B(2)(1)法一：因為(ab)b，所以(ab)bab|b|20，又因為|a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，b，又知a，b0，所以a，b，故選B.法二：如圖，令a，b，則ab，因為(ab)b，所以O(shè)BA90，又|a|2|b|，所以AOB，即a，b.故選B.(2)法一：|a|b|1，ab0，aca(2ab)2a2ab2，|c|2ab|3.cosa，c.法二：不妨設(shè)a(1,0)，b(0,1)，則c2(1,0)(0,1)(2，)，cosa，c.逆向問題若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_因為2a3b與c的夾角為鈍角，所以(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，所以4k660，所以k3.若2a3b與c反向共線，則6，解得k，此時夾角不是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是.(1)研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點”；兩個非零共線向量的夾角可能是0或180；求角時，注意向量夾角的取值范圍是0，180(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角如本例的逆向問題兩向量垂直問題abab0x1x2y1y20.已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實數(shù)的值為_因為，所以0.又，所以()()0，即(1)220，所以(1)|cos 120940.所以(1)32940.解得.1.利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可2已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù)1.(20xx南寧模擬)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|1，|b|，則a2b與b的夾角是()A. B.C.D.A因為|a 2b|2|a|24|b|24ab1141cos 3，所以|a2b|.又(a2b)bab2|b|21cos 2，所以cosa2b，b，所以a2b與b的夾角為.故選A.2(20xx青島模擬)已知向量|3，|2，mn，若與的夾角為60，且，則實數(shù)的值為()A. B.C.6D.4A因為向量|3，|2，mn，與夾角為60，所以32cos 603，所以()(mn)(mn)m|2n|23(mn)9m4n6mn0，所以，故選A.3設(shè)向量a，b滿足|a|2，|b|ab|3，則|a2b|_.4因為|a|2，|b|ab|3，所以(ab)2|a|22ab|b|2492ab9，所以ab2，所以|a2b|4.考點3平面向量的應(yīng)用平面向量是有“數(shù)”與“形”的雙重身份，溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛，主要體現(xiàn)在平面向量與平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面，解決此類問題的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積、模、夾角等問題，進而利用向量方法求解(1)在ABC中，已知向量(2,2)，|2，4，則ABC的面積為()A4B5C2D3(2)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則()的最小值是()A2BCD1(1)C(2)B(1)(2,2)，|2，|cos A22cos A4，cos A，又A(0，)，sin A，SABC|sin A2，故選C.(2)建立坐標系如圖所示，則A，B，C三點的坐標分別為A(0，)，B(1,0)，C(1,0)設(shè)P點的坐標為(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.當(dāng)且僅當(dāng)x0，y時，()取得最小值，最小值為.故選B.用向量法解決平面(解析)幾何問題的2種方法(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知，?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算；(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算一般地，存在坐標系或易建坐標系的題目適合用坐標法1.平行四邊形ABCD中，AB4，AD2，4，點P在邊CD上，則的取值范圍是()A1,8B1，)C0,8D1,0A由題意得|cosBAD4，解得BAD.以A為原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因為點P在邊CD上