必修5第一章 解三角形

奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 1 頁 第一章第一章 解三角形章節(jié)總體設計解三角形章節(jié)總體設計 一 課標要求 一 課標要求 本章的中心內容是如何解三角形 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具 最后落實 在解三角形的應用上 通過本章學習 學生應當達到以下學習目標 1 通過對任意三角形邊長和角度關系的探索 掌握正弦定理 余弦定理 并能解 決一些簡單的三角形度量問題 2 能夠熟練運用正弦定理 余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關 的生活實際問題 二 編寫意圖與特色 二 編寫意圖與特色 1 1 數(shù)學思想方法的重要性 數(shù)學思想方法的重要性 數(shù)學思想方法的教學是中學數(shù)學教學中的重要組成部分 有利于學生加深數(shù)學知識的 理解和掌握 本章重視與內容密切相關的數(shù)學思想方法的教學 并且在提出問題 思考解決問題的 策略等方面對學生進行具體示范 引導 本章的兩個主要數(shù)學結論是正弦定理和余弦定理 它們都是關于三角形的邊角關系的結論 在初中 學生已經學習了相關邊角關系的定性的 知識 就是 在任意三角形中有大邊對大角 小邊對小角 如果已知兩個三角形的兩條 對應邊及其所夾的角相等 那么這兩個三角形全 等 教科書在引入正弦定理內容時 讓學生從已有的幾何知識出發(fā) 提出探究性問題 在任意三角形中有大邊對大角 小邊對小角的邊角關系 我們是否能得到這個邊 角的關 系準確量化的表示呢 在引入余弦定理內容時 提出探究性問題 如果已知三角形的兩 條邊及其所夾的角 根據(jù)三角形全等的判定方法 這個三角形是大小 形狀完全確定的三角 形 我們仍然從量化的角度來研究這個問題 也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計 算出三角形的另一邊和兩個角的問題 設置這些問題 都是為了加強數(shù)學思想方法的教 學 2 2 注意加強前后知識的聯(lián)系 注意加強前后知識的聯(lián)系 加強與前后各章教學內容的聯(lián)系 注意復習和應用已學內容 并為后續(xù)章節(jié)教學內容 做好準備 能使整套教科書成為一個有機整體 提高教學效益 并有利于學生對于數(shù)學知 識的學習和鞏固 本章內容處理三角形中的邊角關系 與初中學習的三角形的邊與角的基本關系 已知 三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系 教科書在引入正弦定理內容時 讓學生從已有的幾何知識出發(fā) 提出探究性問題 在任意三角形中有大邊對大角 小邊對 小角的邊角關系 我們是否能得到這個邊 角的關系準確量化的表示呢 在引入余弦定理 內容時 提出探究性問題 如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角 根據(jù)三角形全等的判定 方法 這個三角形是大小 形狀完全確定的三角形 我們仍然從量化的角度來研究這個問題 也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題 這樣 從聯(lián)系的觀點 從新的角度看過去的問題 使學生對于過去的知識有了新的認識 同時使 新知識建立在已有知識的堅實基礎上 形成良好的知識結構 課程標準 和教科書把 解三角形 這部分內容安排在數(shù)學五的第一部分內容 位 置相對靠后 在此內容之前學生已經學習了三角函數(shù) 平面向量 直線和圓的方程等與本 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 2 頁 章知識聯(lián)系密切的內容 這使這部分內容的處理有了比較多的工具 某些內容可以處理得 更加簡潔 比如對于余弦定理的證明 常用的方法是借助于三角的方法 需要對于三角形 進行討論 方法不夠簡潔 教科書則用了向量的方法 發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威 力 在證明了余弦定理及其推論以后 教科書從余弦定理與勾股定理的比較中 提出了一 個思考問題 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系 余弦定理則指出了一般 三角形中三邊平方之間的關系 如何看這兩個定理之間的關系 并進而指出 從余弦 定理以及余弦函數(shù)的性質可知 如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方 那么第 三邊所對的角是直角 如果小于第三邊的平方 那么第三邊所對的角是鈍角 如果大于第 三邊的平方 那么第三邊所對的角是銳角 從上可知 余弦定理是勾股定理的推廣 3 3 重視加強意識和數(shù)學實踐能力 重視加強意識和數(shù)學實踐能力 學數(shù)學的最終目的是應用數(shù)學 而如今比較突出的兩個問題是 學生應用數(shù)學的意識 不強 創(chuàng)造能力較弱 學生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學問題 不能把所學的數(shù)學知識 應用到實際問題中去 對所學數(shù)學知識的實際背景了解不多 雖然學生機械地模仿一些常 見數(shù)學問題解法的能力較強 但當面臨一種新的問題時卻辦法不多 對于諸如觀察 分析 歸納 類比 抽象 概括 猜想等發(fā)現(xiàn)問題 解決問題的科學思維方法了解不夠 針對這 些實際情況 本章重視從實際問題出發(fā) 引入數(shù)學課題 最后把數(shù)學知識應用于實際問 題 三 教學內容及課時安排建議 三 教學內容及課時安排建議 1 1 正弦定理和余弦定理 約 3 課時 1 2 應用舉例 約 4 課時 1 3 實習作業(yè) 約 1 課時 四 評價建議 四 評價建議 1 要在本章的教學中 應該根據(jù)教學實際 啟發(fā)學生不斷提出問題 研究問題 在對 于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中 應該因勢利導 根據(jù)具體教學過程中學生思 考問題的方向來啟發(fā)學生得到自己對于定理的證明 如對于正弦定理 可以啟發(fā)得到有應 用向量方法的證明 對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法 在應用兩個定 理解決有關的解三角形和測量問題的過程中 一個問題也常常有多種不同的解決方案 應 該鼓勵學生提出自己的解決辦法 并對于不同的方法進行必要的分析和比較 對于一些常 見的測量問題甚至可以鼓勵學生設計應用的程序 得到在實際中可以直接應用的算法 2 適當安排一些實習作業(yè) 目的是讓學生進一步鞏固所學的知識 提高學生分析問題 的解決實際問題的能力 動手操作的能力以及用數(shù)學語言表達實習過程和實習結果能力 增強學生應用數(shù)學的意識和數(shù)學實踐能力 教師要注意對于學生實習作業(yè)的指導 包括對 于實際測量問題的選擇 及時糾正實際操作中的錯誤 解決測量中出現(xiàn)的一些問題 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 3 頁 課題課題 1 1 1 1 1 1 正弦定理正弦定理 教學目標教學目標 知識與技能 知識與技能 通過對任意三角形邊長和角度關系的探索 掌握正弦定理的內容及其證明方 法 會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題 過程與方法 過程與方法 讓學生從已有的幾何知識出發(fā) 共同探究在任意三角形中 邊與其對角的關系 引導學生通過觀察 推導 比較 由特殊到一般歸納出正弦定理 并進行定理基本應用的 實踐操作 情感態(tài)度與價值觀 情感態(tài)度與價值觀 培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力 培養(yǎng)學生 合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力 通過三角形函數(shù) 正弦定理 向量的數(shù)量積等 知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一 教學重點教學重點 正弦定理的探索和證明及其基本應用 教學難點 教學難點 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù) 教學過程教學過程 課題導入課題導入 如圖 1 1 1 固定ABC 的邊 CB 及B 使邊 AC 繞著頂點 C 轉動 思考 C 的大小與它的對邊 AB 的長度之間有怎樣的數(shù)量關系 顯然 邊 AB 的長度隨著其對角C 的大小的增大而增大 能否用一個等 式把這種關系精確地表示出來 講授新課講授新課 探索研究探索研究 在初中 我們已學過如何解直角三角形 下面就首先來探討直角三角形中 角與邊的等式關系 如圖 1 1 2 在 RtABC 中 設 BC a AC b AB c 根據(jù)銳角三角函數(shù) 中正弦函數(shù)的定義 有 又 a sinA c si n b B c si n1 c C c 則 從而在直角三角形 ABC 中 abc c sinAsinBsinC si nsi nsi n abc ABC 思考 那么對于任意的三角形 以上關系式是否仍然成立 由學生討論 分析 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況 如圖 1 1 3 當ABC 是銳角三角形時 設邊 AB 上的高是 CD 根據(jù)任意角三 角函數(shù)的定義 有 CD si nsi naBbA 則 同理可得 從而 si nsi n ab AB si nsi n cb CB si nsi n ab AB si n c C 思考 是否可以用其它方法證明這一等式 由于涉及邊長問題 從而可以考 慮用向量來研究這個問題 證法二 過點 A 作 由向量的加法可得 jAC ABACC B 則 jABjACC B jABjACjC B 00 cos 900cos 90 j ABAj CBC c b aC B A 圖 1 1 2 C B A 圖 1 1 1 c b aCB A 圖 1 1 3 c b aCB A j 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 4 頁 即sinsin cA aC sinsin ac AC 同理 過點 C 作 可得 從而 jBC sinsin bc BC abc sinAsinBsinC 類似可推出 當ABC 是鈍角三角形時 以上關系式仍然成立 由學生課后自己推導 從上面的研探過程 可得以下定理 正弦定理 正弦定理 在一個三角形中 各邊和它所對角的正弦的比相等 即 abc sinAsinBsinC 理解定理理解定理 1 正弦定理說明同一三角形中 邊與其對角的正弦成正比 且比例系數(shù)為同一正數(shù) 即 存在正數(shù) k 使 si nakA si nbkB si nckC 2 等價于 abc sinAsinBsinC si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 從而知正弦定理的基本作用為 已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊 如 si n si n bA a B 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值 如 si nsi n a AB b 一般地 已知三角形的某些邊和角 求其他的邊和角的過程叫作解三角形解三角形 例題分析例題分析 例例 1 1 在中 已知 cm 解三角形 ABC 0 32 0 A 0 81 8 B42 9 a 解 解 根據(jù)三角形內角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根據(jù)正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根據(jù)正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 評述 對于解三角形中的復雜運算可使用計算器 例例 2 2 在中 已知cm cm 解三角形 角度精確到 邊 ABC20 a28 b 0 40 A 0 1 長精確到 1cm 解 解 根據(jù)正弦定理 因為 所以 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 0 0B 0 180 或 0 64 B 0 116 B 當時 0 64 B 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 當時 0 116 B 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 評述 應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時 可能有兩解的情形 課堂練習課堂練習第 5 頁練習第 1 1 2 1 題 補充練習補充練習 已知ABC 中 求 答案 1 2 3 si n si n si n1 2 3ABC a b c 課時小結課時小結 由學生歸納總結 1 定理的表示形式 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 5 頁 或 si nsi n ab AB si n c C 0 si nsi nsi n abc k k ABC si nakA si nbkB si nckC 0 k 2 正弦定理的應用范圍 已知兩角和任一邊 求其它兩邊及一角 已知兩邊和其中 一邊對角 求另一邊的對角 課后作業(yè)課后作業(yè) 第 10 頁 習題 1 1 A 組第 1 1 2 1 題 課題課題 1 1 2 1 1 2 余弦定理余弦定理 教學目標教學目標 知識與技能 知識與技能 掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法 并會運用余弦定 理解決兩類基本的解三角形問題 過程與方法 過程與方法 利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論 并通過實踐演算掌握運用余弦定 理解決兩類基本的解三角形問題 情感態(tài)度與價值觀 情感態(tài)度與價值觀 培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力 通過三角 函數(shù) 余弦定理 向量的數(shù)量積等知識間的關系 來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng) 一 教學重點教學重點 余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用 教學難點教學難點 勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用 教學過程教學過程 課題導入課題導入 如圖 1 1 4 在ABC 中 設 BC a AC b AB c 已知 a b 和C 求邊 c 講授新課講授新課 探索研究探索研究 聯(lián)系已經學過的知識和方法 可用什么途徑來解決這個問題 用正弦定理試求 發(fā)現(xiàn) 因 A B 均未知 所以較難求邊 c 由于涉及邊長問題 從而可以考慮用向量來研究這個問 題 如圖 1 1 5 設 那么 則 C Ba C A b ABc cab cc ca ba ba a b ba baba b 222 22 從而 222 2coscababC 同理可證 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 于是得到以下定理 余弦定理余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去 這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考 這個式子中有幾個量 從方程的角度看已知其中三個量 可以求出第四個量 能否 由三邊求出一角 由學生推出 從余弦定理 又可得到以下推論 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac C ba 理解定理理解定理 c b aCB A 圖 1 1 4 c b a CB A 圖 1 1 5 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 6 頁 從而知余弦定理及其推論的基本作用為 已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊 已知三角形的三條邊就可以求出其它角 思考 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系 余弦定理則指出了一般三 角形中三邊平方之間的關系 如何看這兩個定理之間的關系 由學生總結 若ABC 中 C 則 這時 0 90cos0 C 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣 勾股定理是余弦定理的特例 例題分析例題分析 例例 1 1 在ABC 中 已知 求 b 及 A 2 3 a62 c 0 60 B 解 解 222 2cos bacacB cos 22 2 3 62 2 2 3 62 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 A 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 32 1 8 3 6 即 ac 0 0A 0 90 0 60 A 評述 解法二應注意確定 A 的取值范圍 例例 2 2 在ABC 中 已知 解三角形 134 6 acm87 8 bcm161 7 ccm 見課本第 8 頁例 4 可由學生通過閱讀進行理解 解 解 由余弦定理的推論得 cos 222 2 b ca A bc 222 87 8161 7134 6 2 87 8 161 7 0 5543 0 56 20 A cos 222 2 cab B ca 222 134 6161 787 8 2 134 6 161 7 0 8398 0 32 53 B 0000 180 180 56 2032 53 CA B 課堂練習課堂練習第 8 頁練習第 1 1 2 1 題 補充練習補充練習 在ABC 中 若 求角 A 答案 A 120 222 abcbc 0 課時小結課時小結 1 余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律 勾股定理是余弦定理的特例 2 余弦定理的應用范圍 已知三邊求三角 已知兩邊及它們的夾角 求第三 邊 課后作業(yè)課后作業(yè) 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 7 頁 課后閱讀 課本第 9 頁 探究與發(fā)現(xiàn) 課時作業(yè) 第 11 頁 習題 1 1 A 組第 3 1 4 1 題 板書設計板書設計 授后記授后記 課題課題 1 1 1 1 3 3 解三角形的進一步討論解三角形的進一步討論 教學目標教學目標 知識與技能 知識與技能 掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時 有兩解或一解或無 解等情形 三角形各種類型的判定方法 三角形面積定理的應用 過程與方法 過程與方法 通過引導學生分析 解答三個典型例子 使學生學會綜合運用正 余弦定理 三角函數(shù)公式及三角形有關性質求解三角形問題 情感態(tài)度與價值觀 情感態(tài)度與價值觀 通過正 余弦定理 在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三 角函數(shù)的關系 反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉化的可能 從而從本質上 反映了事物之間的內在聯(lián)系 教學重點教學重點 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時 有兩解或一解或無解等情形 三角形各種類型的判定方法 三角形面積定理的應用 教學難點教學難點 正 余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用 教學過程教學過程 課題導入課題導入 創(chuàng)設情景創(chuàng)設情景 思考 在ABC 中 已知 解三角形 22acm 25bcm 0 133A 由學生閱讀課本第 9 頁解答過程 從此題的分析我們發(fā)現(xiàn) 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時 在某些 條件下會出現(xiàn)無解的情形 下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題 講授新課講授新課 探索研究探索研究 例例 1 1 在ABC 中 已知 討論三角形解的情況 a b A 分析 分析 先由可進一步求出 B 則 從而 si n si n bA B a 0 180 CAB si naC c A 1 當 A 為鈍角或直角時 必須才能有且只有一解 否則無解 ab 2 當 A 為銳角時 如果 那么只有一解 ab 如果 那么可以分下面三種情況來討論 1 若 則有兩解 2 若ab si nabA 則只有一解 3 若 則無解 si nabA si nabA 以上解答過程詳見課本第 910 頁 評述 注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時 只有當 A 為銳角且 時 有兩解 其它情況時則只有一解或無解 si nbA ab 隨堂練習隨堂練習 1 1 1 在ABC 中 已知 試判斷此三角形的解的情況 80a 100b 0 45A 2 在ABC 中 若 則符合題意的 b 的值有 個 1a 1 2 c 0 40C 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 8 頁 3 在ABC 中 如果利用正弦定理解三角形有兩解 求 axcm 2bcm 0 45B x 的取值范圍 答案 1 有兩解 2 0 3 22 2x 例例 2 2 在ABC 中 已知 判斷ABC 的類型 7a 5b 3c 分析 由余弦定理可知 注意 222 222 222 是直角ABC 是直角三角形 是鈍角ABC 是鈍角三角形 是銳角 abcA abcA abcA ABC 是銳角三角形 是銳角A ABC 是銳角三角形 解 解 即 222 753 222 abc ABC 是鈍角三角形 隨堂練習隨堂練習 2 2 1 在ABC 中 已知 判斷ABC 的類型 si n si n si n1 2 3ABC 2 已知ABC 滿足條件 判斷ABC 的類型 coscosaA bB 答案 1 2 ABC 是等腰或直角三角形 ABC 是鈍角三角形 例例 3 3 在ABC 中 面積為 求的值 0 60A 1b 3 2si nsi nsi n abc ABC 分析 可利用三角形面積定理以及正弦定理 111 si nsi nsi n 222 SabCacBbcA si nsi n ab AB si n c C si nsi nsi n abc ABC 解 解 由得 13 si n 22 SbcA 2c 則 3 即 從而 222 2cosabcbcA 3a si nsi nsi n abc ABC 2 si n a A 課堂練習課堂練習 1 在ABC 中 若 且此三角形的面積 求角 C 55a 16b 220 3S 2 在ABC 中 其三邊分別為 a b c 且三角形的面積 求角 C 222 4 abc S 答案 1 或 2 0 60 0 120 0 45 課時小結課時小結 1 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時 有兩解或一解或無解等情形 2 三角形各種類型的判定方法 3 三角形面積定理的應用 課后作業(yè)課后作業(yè) 1 在ABC 中 已知 試判斷此三角形的解的情況 4b 10c 0 30B 2 設 x x 1 x 2 是鈍角三角形的三邊長 求實數(shù) x 的取值范圍 3 在ABC 中 判斷ABC 的形狀 0 60A 1a 2bc 4 三角形的兩邊分別為 3cm 5cm 它們所夾的角的余弦為方程的根 2 5760 xx 求這個三角形的面積 板書設計板書設計 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 9 頁 授后記授后記 課題課題 1 2 1 1 2 1 解三角形應用舉例解三角形應用舉例 1 1 教學目標教學目標 知識與技能 知識與技能 能夠運用正弦定理 余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問 題 了解常用的測量相關術語 過程與方法 過程與方法 首先通過巧妙的設疑 順利地引導新課 為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊 其次 結合學生的實際情況 采用 提出問題 引發(fā)思考 探索猜想 總結規(guī)律 反饋 訓練 的教學過程 根據(jù)大綱要求以及教學內容之間的內在關系 鋪開例題 設計變式 同時通過多媒體 圖形觀察等直觀演示 幫助學生掌握解法 能夠類比解決實際問題 對 于例 2 這樣的開放性題目要鼓勵學生討論 開放多種思路 引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當 的指點和矯正 情感態(tài)度與價值觀 情感態(tài)度與價值觀 激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣 并體會數(shù)學的應用價值 同時培養(yǎng)學生運用 圖形 數(shù)學符號表達題意和應用轉化思想解決數(shù)學問題的能力 重點重點 實際問題中抽象出一個或幾個三角形 然后逐個解決三角形 得到實際問題的解 難點難點 根據(jù)題意建立數(shù)學模型 畫出示意圖 教學過程教學過程 課題導入課題導入 1 1 復習舊知復習舊知 復習提問什么是正弦定理 余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形 2 2 設置情境設置情境 請學生回答完后再提問 前面引言第一章 解三角形 中 我們遇到這么一個問題 遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢 在古代 天文學家沒有先進的儀器就已經 估算出了兩者的距離 是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢 我們知道 對于未知的距 離 高度等 存在著許多可供選擇的測量方案 比如可以應用全等三角形 相似三角形的 方法 或借助解直角三角形等等不同的方法 但由于在實際測量問題的真實背景下 某些 方法會不能實施 如因為沒有足夠的空間 不能用全等三角形的方法來測量 所以 有些 方法會有局限性 于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的 今天我們開始學習 正弦定理 余弦定理在科學實踐中的重要應用 首先研究如何測量距離 講授新課講授新課 解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意 正確做出圖形 把實際問題里的 條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊 角 通過建立數(shù)學模型來求解 例題講解例題講解 例例 1 1 如圖 設 A B 兩點在河的兩岸 要測量兩點之間的距離 測量者在 A 的同側 在所在的河岸邊選定一點 C 測出 AC 的距離 是 55m BAC ACB 求 A B 兩點的距離 精確到 51 75 0 1m 啟發(fā)提問 1 ABC 中 根據(jù)已知的邊和對應角 運用哪個 定理比較適當 啟發(fā)提問 2 運用該定理解題還需要那些邊和角呢 請學生回答 分析 這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題 題目 條件告訴了邊 AB 的對角 AC 為已知邊 再根據(jù)三角形的內角和定理很容易根據(jù)兩個已知 角算出 AC 的對角 應用正弦定理算出 AB 邊 解 解 根據(jù)正弦定理 得 ACB AB sinABC AC sin 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 10 頁 AB 65 7 m ABC ACBAC sin sin ABC ACB sin sin55 7551180sin 75sin55 54sin 75sin55 答 A B 兩點間的距離為 65 7 米 變式練習 兩燈塔 A B 與海洋觀察站 C 的距離都等于 a km 燈塔 A 在觀察站 C 的北偏東 30 燈塔 B 在觀察站 C 南偏東 60 則 A B 之間的距離為多少 老師指導學生畫圖 建立數(shù)學模型 解略 a km2 例例 2 2 如圖 A B 兩點都在河的對岸 不可到達 設計一 種測量 A B 兩點間距離的方法 分析 這是例 1 的變式題 研究的是兩個不可到達的點之 間的距離測量問題 首先需要構造三角形 所以需要確定 C D 兩點 根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與 一邊既可求出另兩邊的方法 分別求出 AC 和 BC 再利用 余弦定理可以計算出 AB 的距離 解 解 測量者可以在河岸邊選定兩點 C D 測得 CD a 并且在 C D 兩點分別測得 BCA ACD CDB BDA 在ADC 和BDC 中 應用正弦定理得 AC 180sin sin a sin sin a BC 180sin sin a sin sin a 計算出 AC 和 BC 后 再在ABC 中 應用余弦定理計算出 AB 兩點間的距離 AB cos2 22 BCACBCAC 分組討論 還沒有其它的方法呢 師生一起對不同方法進行對比 分析 變式訓練 變式訓練 若在河岸選取相距 40 米的 C D 兩點 測得 BCA 60 ACD 30 CDB 45 BDA 60 略解 將題中各已知量代入例 2 推 出的公式 得 AB 20 6 評注 可見 在研究三角形時 靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案 但有 些過程較繁復 如何找到最優(yōu)的方法 最主要的還是分析兩個定理的特點 結合題目條件 來選擇最佳的計算方式 學生閱讀課本學生閱讀課本 4 4 頁 了解測量中基線的概念 并找到生活中的相應例子 頁 了解測量中基線的概念 并找到生活中的相應例子 課堂練習課堂練習 課本第 14 頁練習第 1 2 題 課時小結課時小結 解斜三角形應用題的一般步驟 1 分析 理解題意 分清已知與未知 畫出示意圖 2 建模 根據(jù)已知條件與求解目標 把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中 建 立一個解斜三角形的數(shù)學模型 3 求解 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形 求得數(shù)學模型的解 4 檢驗 檢驗上述所求的解是否符合實際意義 從而得出實際問題的解 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 11 頁 課后作業(yè)課后作業(yè) 課本第 22 頁第 1 2 3 題 板書設計板書設計 授后記授后記 課題課題 1 2 2 解三角形應用舉例解三角形應用舉例 2 2 教學目標教學目標 知識與技能 知識與技能 能夠運用正弦定理 余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物 體高度測量的問題 過程與方法 過程與方法 本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸 采用啟發(fā)與嘗試的方法 讓學生在溫故 知新中學會正確識圖 畫圖 想圖 幫助學生逐步構建知識框架 通過 3 道例題的安排和 練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法 教學形式要堅持引導 討論 歸納 目的不在于讓學生記住結論 更多的要養(yǎng)成良好的研究 探索習慣 作業(yè)設計思考題 提 供學生更廣闊的思考空間 情感態(tài)度與價值觀 情感態(tài)度與價值觀 進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學 應用數(shù)學的意識及觀察 歸納 類比 概 括的能力 教學重點教學重點 結合實際測量工具 解決生活中的測量高度問題 教學難點教學難點 能觀察較復雜的圖形 從中找到解決問題的關鍵條件 教學過程教學過程 課題導入課題導入 提問 現(xiàn)實生活中 人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高 度呢 又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃?度呢 今天我們就來共同探討這方面的問題 講授新課講授新課 范例講解范例講解 例例 1 1 AB 是底部 B 不可到達的一個建筑物 A 為建筑物的最高 點 設計一種測量建筑物高度 AB 的方法 分析 分析 求 AB 長的關鍵是先求 AE 在ACE 中 如能求出 C 點到建筑物頂部 A 的距離 CA 再測出由 C 點觀察 A 的仰角 就可以計算出 AE 的長 解 解 選擇一條水平基線 HG 使 H G B 三點在同一條直線上 由在 H G 兩 點用測角儀器測得 A 的仰角分別是 CD a 測角儀器的高是 h 那 么 在ACD 中 根據(jù)正弦定理可得 AC sin sin a AB AE h AC h h sin sin sinsin a 例例 2 2 如圖 在山頂鐵塔上 B 處測得地面上一點 A 的俯角 54 在塔底 0 4 C 處測得 A 處的俯角 50 已知鐵塔 BC 部分的高為 27 3 m 求出山高 CD 精確到 1 m 1 師 根據(jù)已知條件 大家能設計出解題方案嗎 給時間給學生討論思考 若在ABD 中求 CD 則關鍵需要求出哪條邊呢 生 需求出 BD 邊 師 那如何求 BD 邊呢 生 可首先求出 AB 邊 再根據(jù)BAD 求得 解解 在ABC 中 BCA 90 ABC 90 BAC BAD 根據(jù)正弦 定理 所以 AB sin BC 90sin AB sin 90sin BC sin cos BC 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 12 頁 解 RtABD 中 得 BD ABsinBAD sin sincos BC 將測量數(shù)據(jù)代入上式 得 BD 177 m 1500454sin 0454sin150cos3 27 934sin 0454sin150cos 3 27 CD BD BC 177 27 3 150 m 答 山的高度約為 150 米 師 有沒有別的解法呢 生 若在ACD 中求 CD 可先求出 AC 師 分析得很好 請大家接著思考如何求出 AC 生 同理 在ABC 中 根據(jù)正弦定理求 得 解題過程略 例例 3 3 如圖 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛 到 A 處時測得公路南側遠處一山頂 D 在東偏南 15的方向上 行駛 5km 后到達 B 處 測得此山頂在東偏南 25 的方向上 仰角為 8 求此山的高度 CD 師 欲求出 CD 大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢 生 在BCD 中 師 在BCD 中 已知 BD 或 BC 都可求出 CD 根據(jù)條件 易計算 出哪條邊的長 生 BC 邊 解解 在ABC 中 A 15 C 25 15 10 根據(jù)正弦定理 BC 7 4524 km A BC sinC AB sinC AAB sin sin 10sin 15sin5 CD BCtanDBC BCtan8 1047 m 答 山的高度約為 1047 米 課堂練習課堂練習 課本第 17 頁練習第 1 2 3 題 課時小結課時小結 利用正弦定理和余弦定理來解題時 要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖 要懂得 從所給的背景資料中進行加工 抽取主要因素 進行適當?shù)暮喕?課后作業(yè)課后作業(yè) 1 課本第 23 頁練習第 6 7 8 題 2 為測某塔 AB 的高度 在一幢與塔 AB 相距 20m 的樓的樓頂處測得塔頂 A 的仰角為 30 測得塔基 B 的俯角為 45 則塔 AB 的高度為多少 m 答案 20 m 3 320 板書設計板書設計 授后記授后記 課題課題 1 2 3 1 2 3 解三角形應用舉例解三角形應用舉例 3 3 教學目標教學目標 知識與技能 知識與技能 能夠運用正弦定理 余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問 題 過程與方法 過程與方法 本節(jié)課是在學習了相關內容后的第三節(jié)課 學生已經對解法有了基本的了解 這節(jié)課應通過綜合訓練強化學生的相應能力 除了安排課本上的例 1 還針對性地選擇了 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 13 頁 既具典型性有具啟發(fā)性的 2 道例題 強調知識的傳授更重能力的滲透 課堂中要充分體現(xiàn) 學生的主體地位 重過程 重討論 教師通過導疑 導思讓學生有效 積極 主動地參與 到探究問題的過程中來 逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律 舉一反三 情感態(tài)度與價值觀 情感態(tài)度與價值觀 培養(yǎng)學生提出問題 正確分析問題 獨立解決問題的能力 并在教學 過程中激發(fā)學生的探索精神 教學重點教學重點 能根據(jù)正弦定理 余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系 教學難點教學難點 靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題 教學過程教學過程 課題導入課題導入 創(chuàng)設情境創(chuàng)設情境 提問 前面我們學習了如何測量距離和高度 這些實際上都可轉化已知三角形的一些 邊和角求其余邊的問題 然而在實際的航海生活中 人們又會遇到新的問題 在浩瀚無垠的 海面上如何確保輪船不迷失方向 保持一定的航速和航向呢 今天我們接著探討這方面的 測量問題 講授新課講授新課 范例講解范例講解 例例 1 1 如圖 一艘海輪從 A 出發(fā) 沿北偏東 75的方向航行 67 5 n mile 后到達海島 B 然 后從 B 出發(fā) 沿北偏東 32的方向航行 54 0 n mile 后達到海島 C 如果下次航行直接從 A 出發(fā)到達 C 此船應該沿怎樣的方向航行 需要航行多少距離 角度精確到 0 1 距離精確 到 0 01n mile 學生看圖思考并講述解題思路 教師根據(jù)學生的回答歸納分析 首先根 據(jù)三角形的內角和定理求出 AC 邊所對的角ABC 即可用余弦定理算 出 AC 邊 再根據(jù)正弦定理算出 AC 邊和 AB 邊的夾角CAB 解 解 在ABC 中 ABC 180 75 32 137 根據(jù)余弦定理 AC ABCBCABBCAB cos2 22 113 15 137cos 0 54 5 672 0 54 5 67 22 根據(jù)正弦定理 sinCAB 0 3255 AC ABCBC sin 15 113 137sin0 54 所以 CAB 19 0 75 CAB 56 0 答 此船應該沿北偏東 56 1的方向航行 需要航行 113 15n mile 例例 2 2 在某點 B 處測得建筑物 AE 的頂端 A 的仰角為 沿 BE 方向前進 30m 至點 C 處測得 頂端 A 的仰角為 2 再繼續(xù)前進 10m 至 D 點 測得頂端 A 的仰角為 4 求的大小 3 和建筑物 AE 的高 師 請大家根據(jù)題意畫出方位圖 生 上臺板演方位圖 上圖 教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法 讓學生動手練習 請三位同學用三種不同方法 板演 然后教師補充講評 解法一 解法一 用正弦定理求解 由已知可得在ACD 中 AC BC 30 AD DC 10 ADC 180 4 3 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 14 頁 因為 sin4 2sin2cos2 2sin 310 4180sin 30 cos2 得 2 30 15 2 3 在 RtADE 中 AE ADsin60 15 答 所求角為 15 建筑物高度為 15m 解法二 解法二 設方程來求解 設 DE x AE h 在 RtACE 中 10 x h 30 3 222 在 RtADE 中 x h 10 22 3 2 兩式相減 得 x 5 h 153 在 RtACE 中 tan2 2 30 15 x h 310 3 3 答 所求角為 15 建筑物高度為 15m 解法三 解法三 用倍角公式求解 設建筑物高為 AE 8 由題意 得 BAC CAD 2 AC BC 30m AD CD 10m3 在 RtACE 中 sin2 30 x 在 RtADE 中 sin4 310 4 得 cos2 2 30 15 AE ADsin60 15 2 3 答 所求角為 15 建筑物高度為 15m 例例 3 3 某巡邏艇在 A 處發(fā)現(xiàn)北偏東 45相距 9 海里的 C 處有一艘走 私船 正沿南偏東 75的方向以 10 海里 小時的速度向我海岸行駛 巡邏艇立即以 14 海里 小時的速度沿著直線方向追去 問巡邏艇應 該沿什么方向去追 需要多少時間才追趕上該走私船 師 你能根據(jù)題意畫出方位圖 教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型 分析 這道題的關鍵是計算出三角形的各邊 即需要引入時間這個參變量 解 解 如圖 設該巡邏艇沿 AB 方向經過 x 小時后在 B 處追上走私船 則 CB 10 x AB 14x AC 9 ACB 75 45 120 14x 9 10 x 2910 xcos 222 120 化簡得 32x 30 x 27 0 即 x 或 x 舍去 2 2 3 16 9 所以 BC 10 x 15 AB 14x 21 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 15 頁 又因為 sinBAC AB BC 120sin 21 15 2 3 14 35 BAC 38 或BAC 141 鈍角不合題意 舍去 3 1 7 4 38 83 3 1 453 1 答 巡邏艇應該沿北偏東 83方向去追 經過 1 4 小時才追趕上該走私船 3 1 評注 評注 在求解三角形中 我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解 但作為有關現(xiàn)實生活 的應用題 必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義 從而得出實際問題的解 課堂練習課堂練習 課本第 18 頁練習 課時小結課時小結 解三角形的應用題時 通常會遇到兩種情況 1 已知量與未知量全部集 中在一個三角形中 依次利用正弦定理或余弦定理解之 2 已知量與未知量涉及兩個或 幾個三角形 這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究 再逐步在其余的三角形中求出問 題的解 課后作業(yè)課后作業(yè) 1 課本第 23 頁練習第 9 10 11 題 2 我艦在敵島 A 南偏西相距 12 海里的 B 處 發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西的方向以 10 50 10 海里 小時的速度航行 問我艦需以多大速度 沿什么方向航行才能用 2 小時追上敵艦 角度用反三角函數(shù)表示 板書設計板書設計 授后記授后記 課題課題 1 2 3 1 2 3 解三角形應用舉例解三角形應用舉例 4 4 教學目標教學目標 知識與技能 知識與技能 能夠運用正弦定理 余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用 過程與方法 過程與方法 本節(jié)課補充了三角形新的面積公式 巧妙設疑 引導學生證明 同時總結出 該公式的特點 循序漸進地具體運用于相關的題型 另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學 知識的生動運用 教師要放手讓學生摸索 使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余 弦定理的特點 能不拘一格 一題多解 只要學生自行掌握了兩定理的特點 就能很快開 闊思維 有利地進一步突破難點 情感態(tài)度與價值觀 情感態(tài)度與價值觀 讓學生進一步鞏固所學的知識 加深對所學定理的理解 提高創(chuàng)新能 力 進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力 讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗 教學重點教學重點 推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目 奎屯市第一高級中學 人教 A 版 數(shù)學教案 必修 5 第一章 解三角形 王新敞 第 16 頁 教學難點教學難點 利用正弦定理 余弦定理來求證簡單的證明題 教學過程教學過程 課題導入課題導入 創(chuàng)設情境創(chuàng)設情境 師 以前我們就已經接觸過了三角形的面積公式 今天我們來學習它的另一個表達公 式 在 ABC 中 邊 BC CA AB 上的高分別記為 h h h 那么它們如何用已知邊和角表示 abc 生 h bsinC csinB h csinA asinC h asinB bsinaA abc 師 根據(jù)以前學過的三角形面積公式 S ah 應用以上求出的高的公式如 h bsinC 代入 2 1 a 可以推導出下面的三角形面積公式 S absinC 大家能推出其它的幾個公式嗎 2 1 生 同理可得 S bcsinA S acsinB 2 1 2 1 師 除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外 知道哪些條件也可求出三角形 的面積呢 生 如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 講授新課講授新課 范例講解范例講解 例例 1 1 在ABC 中 根據(jù)下列條件 求三角形的面積 S 精確到 0 1cm 2 1 已知 a 14 8cm c 23 5cm B 148 5 2 已知 B 62 7 C 65 8 b 3 16cm 3 已知三邊的長分別為 a 41 4cm b 27 3cm c 38 7cm 分析 分析 這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問