遼寧省鞍山市2016年高考數學一模試卷（理科）含答案解析

內蒙古赤峰市 2016 年高考數學模擬試卷 （解析版） 一、選擇題 1若集合 A=2， 3， B=x|5x+6=0|，則 AB=（ ） A 2， 3 B C 2 D 2， 3 2若復數 z 滿足 +i，則 z 的共軛復數是（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 3若 m=6， n=4，按照如圖所示的程序框圖運行后，輸出的結果是（ ） A B 100 C 10 D 1 4已知向量 ， 滿足 + =（ 1， 3）， =（ 3， 7）， =（ ） A 12 B 20 C 12 D 20 5若函數 ，則 f（ f（ 1）的值為（ ） A 10 B 10 C 2 D 2 6設 a， bR，若 p： a b， q： 0，則 p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 7若點 P（ 直線 y= 2x 上，則 的值等于（ ） A B C D 8數學活動小組由 12 名同學組成，現將這 12 名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案有（ ）種 A A B C C C 34 C 43 D C C C 43 9從某大學隨機抽取的 5 名女大學生的身高 x（厘米）和體重 y（公斤）數據如下表 x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根據上表可得回歸直線方程為 ，則 =（ ） A 0已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A B C 13 D 11雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦點分別為 c， 0）， c， 0），M， N 兩點在雙曲線 C 上，且 |4|線段 雙曲線 C 于點 Q，且|則雙曲線 C 的離心率為（ ） A B 2 C D 12已知定義在 R 上的奇函數 f（ x）的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線 f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ 1） =a，且當 0 x 1 時， f（ x）的導函數 f（ x）滿足： f（ x） f（ x），則 f（ x）在 2015，2016上的最大值為（ ） A a B 0 C a D 2016 二、填空題 13若實數 x， y 滿足 則 z=x+2y 的最大值是 14已知三棱錐 P 兩垂直，且 ， C=1，則三棱錐 P內切球半徑為 15已知圓（ x+1） 2+ 與拋物線 y2=m0）的準線交于 A、 B 兩點，且 ，則 m 的值為 16已知 足 A= ，（ + ） =0，點 M 在 ，且 ，則取值范圍是 三、解答題 17已知數列 足 ，且 =31， bn= （ 1）求證：數列 等比數列 （ 2）若不等式 m 對 nN*恒成立，求實數 m 的取值范圍 18在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取 500 個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布直方圖如下根據壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于 500 天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于 300 天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品 （ I）根據這 500 個數據的頻率分布直方圖，求出這批日光燈管的平均壽命； （ ）某人從這個批次的燈管中隨機地購買了 4 個進行使用，若以上述頻率作為概率，用 燈管中優(yōu)等品的個數，求 X 的分布列和數學期望 19如圖，菱形 ， 0， 交于點 O， 平面 B= （ ）求證： 平面 （ ）當直線 平面 成角的大小為 45時，求 長度 20已知 f（ x） =線 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y= （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求 f（ x）在 0， 1上的最大值； （ 3）證明：當 x 0 時， 1 e） x 10 21在直角坐標系 ，直線 l 的方程是 y=8，圓 C 的參數方程是 （ 為參數）以 O 為極點， x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系 （ 1）求直線 l 和圓 C 的極坐標方程； （ 2）射線 =（其中 ）與圓 C 交于 O、 P 兩點，與直線 l 交于點 M，射線與 圓 C 交于 O、 Q 兩點，與直線 l 交于點 N，求 的最大值 2016年內蒙古赤峰市高考數學模擬試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題 1若集合 A=2， 3， B=x|5x+6=0|，則 AB=（ ） A 2， 3 B C 2 D 2， 3 【分析】 利用已知條件求出集合 B，然后求解交集 【解答】 解：集合 A=2， 3， B=x|5x+6=0|=2， 3， 則 AB=2， 3 故選： A 【點評】 本題考查集合的基本運算， 交集的求法，考查計算能力 2若復數 z 滿足 +i，則 z 的共軛復數是（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 【分析】 求出復數 z 即可求解結果 【解答】 解：復數 z 滿足 +i， z= = =1 i z 的共軛復數是： 1+i 故選： B 【點評】 本題考查復數的基本運算，是基礎題 3若 m=6， n=4，按照如圖所示的程序框圖運行后，輸出的結果是（ ） A B 100 C 10 D 1 【分析】 模擬程序的運行過程，由于條件 m n 成立，執(zhí)行 y=m+n），計算即可解得答案 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 m=6， n=4 滿足條件 m n， y=6+4） =1， 輸出 y 的值為 1 故選： D 【點評】 本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，屬于基礎題 4已知向量 ， 滿足 + =（ 1， 3）， =（ 3， 7）， =（ ） A 12 B 20 C 12 D 20 【分 析】 求出兩向量的坐標，代入數量積的坐標運算即可 【解答】 解： =（ 4， 4）， ， =（ 1， 5） =2（ 1） 25= 12 故選 A 【點評】 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于基礎題 5若函數 ，則 f（ f（ 1）的值為（ ） A 10 B 10 C 2 D 2 【分析】 先求 f（ 1），再求 f（ f（ 1）即可 【解答】 解： f（ 1） =2 4= 2， f（ f（ 1） =f（ 2） =2（ 2） +2= 2， 故選 C 【點評】 本題考查了分段函數的應用及復合函數的應用 6設 a， bR，若 p： a b， q： 0，則 p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不 充分也不必要條件 【分析】 根據不等式的基本性質，結合充要條件的定義，可得答案 【解答】 解：當 a b 時， 0 不一定成立，故 p 是 q 的不充分條件； 當 0 時， a b 0，故 p 是 q 的必要條件， 綜上可得： p 是 q 的必要不充分條件， 故選： B 【點評】 本題考查的知識點是充要條件的概念，不等式的 基本特，難度不大，屬于基礎題 7若點 P（ 直線 y= 2x 上，則 的值等于（ ） A B C D 【分析】 根據點 P 在直線上，得到 用萬能公式和誘導公式化簡得出答案 【解答】 解： 點 P（ 直線 y= 2x 上， 2 2 = = 故選： B 【點評】 本題考查了誘導公式的應用，同角三角函數的關系，屬于基礎題 8數學活動小組由 12 名同學組成，現將這 12 名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案 有（ ）種 A A B C C C 34 C 43 D C C C 43 【分析】 先分組，再分配，最后選組長，根據分步計數原理可得 【解答】 解：將這 12 名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題有 后選一名組長各有 3 種， 故不同的分配方案為： 故選： B 【點評】 本題考查排列、組合的應用，分組分配問題，進行分組分析時要特別注意是否為平均分組，屬于中檔題 9從某大學隨機抽取的 5 名女大學生的身高 x（厘米）和體重 y（公斤）數據如下表 x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根據上表可得回歸直線方程為 ，則 =（ ） A 分析】 根據所給的表格做出本組數據的樣本中心點，根據樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數法做出 a 的值， 【解答】 解：由表中數據可得 =165， =55， （ ， ）一定在回歸直線方程 上， 55=67+a， 解得 a= 故選： A 【點評】 本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點，這是求解線性回歸方程的步驟之一 10已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A B C 13 D 【分析】 幾何體為三棱臺，其中兩個側面和底面垂直，上下底為直角三角形利用勾股定理求出斜高 【解答】 解：由三視圖可知幾何體為三棱臺，作出直觀圖如圖所示， 則 平面 下底均為等腰直角三角形， C=1， AC=BC=CC=2， AB=2 棱臺的上底面積為 = ，下底面積為 =2，梯形 的面積為（ 1+2） 2=3， 梯形 的面積為 =3， 過 A 作 AC于 D，過 D 作 AB，則 C=2， ABC斜邊高的 ， ， = 梯形 的面積為 （ ） = 幾何體的表面積 S= =13 故選： C 【點評】 本題考查了棱臺的結構特征和三視圖，面積計算，屬于中檔題 11雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦點分別為 c， 0）， c， 0），M， N 兩點在雙曲線 C 上，且 |4|線段 雙曲線 C 于點 Q，且|則雙曲線 C 的離心率為（ ） A B 2 C D 【分析】 確定 N， Q 的坐標，代入雙曲線方程，即可求出雙曲線 C 的離心率 【解答】 解： |4| | ， N（ ， y）， | Q 是 中點， Q（ c， y）， N， Q 代入雙曲線 C： =1，可得 =1， =1， e= 故選： D 【點評】 本題考查雙曲線 C 的離心率，考查學生的計算能力，屬于中檔題 12已知定義在 R 上的奇函數 f（ x）的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線 f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ 1） =a，且當 0 x 1 時， f（ x）的導函數 f（ x）滿足： f（ x） f（ x），則 f（ x）在 2015，2016上的最大值為（ ） A a B 0 C a D 2016 【分析】 求出函數的周期，結合函數在 0 x 1 時， f（ x）遞減，求出 f（ x）在 2015， 2016上的單調性，從而求出函數的最大值即可 【解答】 解： 定義在 R 上的函數 f（ x）是奇函數， 滿足 f（ x） +f（ x） =0， f（ x） = f（ x）， f（ x+1） =f（ 1 x）， f（ x+2） =f（ x+1） +1=f1（ x+1） =f（ x） = f（ x）， 即 f（ x+2） = f（ x）， f（ x+4） = f（ x+2）， f（ x+4） =f（ x）， 函數的周期為 4， 0 x 1 時， f（ x）的導函數 f（ x）滿足： f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 1）遞減，即 f（ x）在 2015， 2016遞減， f（ x）在 2015， 2016上的最大值為 f（ 2015）， f（ 2015） =f（ 4504 1） =f（ 1） = f（ 1）， f（ 1） =a， f（ 2015） = a， 故選： C 【點評】 本題考查了函數的奇偶性、周期性、單調性問題，考查導數的應用，是一道中檔題 二、填空題 13若實數 x， y 滿足 則 z=x+2y 的最大值是 2 【分析】 先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值， z=x+2y 表示直線在 y 軸上的截距，只需求出可行域直線在 y 軸上的截距最大值即可 【解答】 解：滿足題中約束條件的可行域如圖所示 目標函數 z=x+2y 取得最大值， 即使得函數 在 y 軸上的截距 最大 結合可行域范圍知，當其過點 P（ 0， 1）時， +21=2 故答案為： 2 【點評】 本題考查簡單線性規(guī)劃，解題的重點是作出正確的約束條件對應的區(qū)域，根據目標函數的形式及圖象作出正確判斷找出最優(yōu)解， 14已知三棱錐 P 兩垂直，且 ， C=1，則三棱錐 P內切球半徑為 【分析】 利用三棱錐 P 內切球的球心，將三棱錐分 割成 4 個三棱錐，利用等體積，即可求得結論 【解答】 解：由題意，設三棱錐 P 內切球的半徑為 r，球心為 O，則由等體積 O O O 得 = + ， r= 故答案為： 【點評】 本題考查三棱錐 P 內切球，考查學生分析轉化問題的能力，正確求體積是關鍵 15已知圓（ x+1） 2+ 與拋物線 y2=m0）的準線交于 A、 B 兩點，且 ，則 m 的值為 8 【分析】 拋物線 y2=m0）的準線為： x= ，圓心到準線的距離 d= ，可得=2 ，解出即可得出 【解答】 解：拋物線 y2=m0）的準線為： x= ， 圓心（ 1， 0）到準線的距離 d= ， =2 ，化為： =1， m0，解得 m=8 故答案為： 8 【點評】 本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質、直線與圓相交弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 16已知 足 A= ，（ + ） =0，點 M 在 ，且 ，則取值范圍是 1， 3 【分 析】 由題意可知， 等邊三角形，再結合題意畫出圖形，分 M 與 A 在 側及 M 與 A 在 側兩種情況，利用正弦定理和余弦定理結合求得 取值范圍，最后取并集得答案 【解答】 解：由 足 A= ，（ + ） =0， 可得 等邊三角形， 又點 M 在 ，且 ， 如圖 1若 M 與 A 在 側， 設 ， ， 則 ， 可得 1 2 又 ， |= 2 60） =5 4 60） 1， 7）， 則 |1， ）； 如圖 2若 M 與 A 在 側， 設 ， ， 則 ， 可得 1 2 又 ， |= 2+60） =5+4 60） （ ， 9， 則 |（ ， 3 綜上， |最小值為 1，最大值為 3， 故答案為： 1， 3 【點評】 本題考查平面向量的數量積運算，考查 了三角形的解法，體現了分類討論的數學思想方法，靈活轉化是解決該題的關鍵，題目設置難度較大 三、解答題 17已知數列 足 ，且 =31， bn= （ 1）求證：數列 等比數列 （ 2）若不等式 m 對 nN*恒成立，求實數 m 的取值范圍 【分析】 （ 1）由題意可得 =3（ ），即為 =3等比數列的定義即可得證； （ 2）運用等比數列的通項公式，可得 n 1，由題意可得 m 的最大值，求得 f（ n） = = + ，為遞減數列，可得最大值，進而得到 m 的范圍 【 解答】 解：（ 1）證明： =31， 可得 =3（ ）， 即為 =3 則數列 首項為 =1， 3 為公比的等比數列； （ 2）由（ 1）可得 n 1， 不等式 m 對 nN*恒成立，即有 m 的最大值， 由 f（ n） = = + ， 由 3n 遞增，可得 f（ n）遞減， 即有 f（ 1）取得最大值 1， 則 m1，即有 m 的范圍是 1， +） 【點評】 本題考查等比數列的定義和通項公式的運用，注意運用構造法，考查數列不等式恒成立問題的解法，注意運用單調性，考查運算能力，屬于中檔題 18在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取 500 個樣品，并對其壽命進行 追蹤調查，將結果列成頻率分布直方圖如下根據壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于 500 天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于 300 天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品 （ I）根據這 500 個數據的頻率分布直方圖，求出這批日光燈管的平均壽命； （ ）某人從這個批次的燈管中隨機地購買了 4 個進行使用，若以上述頻率作為概率，用 X 的分布列和數學期望 【分析】 （ I）根據這 500 個數據的頻率分布直方圖，利用組中值求 出這批日光燈管的平均壽命； （ ） X 的所有取值為 0， 1， 2， 3， 4分別求出相對應的概率，由此能求出 X 的分布列和數學期望 【解答】 解：（ I）根據這 500 個數據的頻率分布直方圖，這批日光燈管的平均壽命為50505050505050； （ ） X 的所有取值為 0， 1， 2， 3， 4 由題意，購買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為 從本批次燈泡中購買 4 個， X 表示 4 個燈泡中次品的個數，則 X B（ 4， P（ X=0） = 1 4= ， P（ X=1） = 1 3= ， P（ X=2） = 1 2= ， P（ X=3） = 1 = P（ X=4） = 1 0= 隨機變量 X 的分布列為： X 0 1 2 3 4 P X 的數學期望 E（ X） =0 +1 +2 +3 +4 =1 【點評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一 19如圖，菱形 ， 0， 交于點 O， 平面 B= （ ）求證： 平面 （ ）當直線 平面 成角的大小為 45時，求 長度 【分析】 （ I）由 平面 出 菱形性質得 而 平面 （ O 為原點建立坐標系，設 CF=a，求出 和平面 法向量 ，則 | |= 即可求出 a 的值 【解答】 證明：（ I） 四邊形 菱形， 平面 面 面 面 E=A， 平面 （ ）以 O 為原點，以 x 軸， y 軸，過 O 且平行于 直線為 z 軸建立空間直角坐標系 則 B（ 0， ， 0）， D（ 0， ， 0）， E（ 1， 0， 2），設 CF=a，則 F（ 1， 0， a） =（ 1， 0， a）， =（ 0， 2 ， 0）， =（ 1， ， 2） 設平面 法向量為 =（ x， y， z），則 ， 即 ，令 z=1，得 =（ 2， 0， 1） = = 直線 平面 成角的大小為 45， = 解得 a=3 或 a= （舍） |3 【點評】 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題 20已知 f（ x） =線 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y= （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求 f（ x）在 0， 1上的最大值； （ 3）證明：當 x 0 時， 1 e） x 10 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的導數 ，計算 f（ 1）， f（ 1），求出 a， b 的值即可； （ 2）求出 f（ x）的導數，得到導函數的單調性，得到 f（ x）在 0， 1遞增，從而求出 f（ x）的最大值； （ 3）只需證明 x 0 時， f（ x） （ e 2） x+1，設 g（ x） =f（ x）（ e 2） x 1， x 0，根據函數的單調性得到 2 e） x 1x，從而證出結論即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2 f（ 1） =e 2a=b， f（ 1） =e a=b+1， 解得： a=1， b=e 2； （ 2）由（ 1）得： f（ x） = f（ x） =2x， f（ x） =2， f（ x）在（ 0， 減，在（ +）遞增， f（ x） f（ =2 20， f（ x）在 0， 1遞增， f（ x） f（ 1） =e 1； （ 3） f（ 0） =1，由（ 2）得 f（ x）過（ 1， e 1）， 且 y=f（ x）在 x=1 處的切線方程是 y=（ e 2） x+1， 故可猜測 x 0， x1 時， f（ x）的圖象恒在切線 y=（ e 2） x+1 的上方， 下面證明 x 0 時， f（ x） （ e 2） x+1， 設 g（ x） =f（ x）（ e 2） x 1， x 0， g（ x） =2x（