非平衡格林函數(shù)模型：單粒子NEGF方程概要.doc

非平衡格林函數(shù)模型：單粒子NEGF方程概要Magnus Paulsson微納米技術系，NanoDTU，丹麥技術大學2006年1月4日摘要非平衡格林函數(shù)方法常用于計算納米尺寸的電導器件（包括分子和半導體）外加偏壓后的電流及電荷密度。該方法主要用于處理彈道輸運，但擴展后也可處理存在非彈性散射的輸運問題。本文將盡可能清晰的導出NEGF方法中計算電流及電荷密度矩陣的幾個重要方程，并加以解釋。1、引論非平衡和林函數(shù)方法常用于計算納米尺寸的電導器件（包括分子和半導體）外加偏壓后的電流及電荷密度。關于分子電子學的一般性理論可參看文獻1，有關半導體納米器件的相關理論可參看文獻2。本文的目的是使讀者對于單電子格林函數(shù)以及由此得到的電流、電荷密度矩陣表達式有一個直觀的理解。本文在內容上并不求全責備，只作為文獻1-4的補充。2、格林函數(shù)分立的薛定鄂方程我們把系統(tǒng)的哈密頓量以及波函數(shù)按三個子空間分割：器件以及兩個接觸電極其中描述器件與接觸電極之間的相互作用。在這里我們假定不同的接觸電極之間是相互獨立的，亦即，不同的接觸間沒有相互作用項。我們將格林函數(shù)定義為 其他文獻中的定義可能（也的確有）符號跟我們相反：2.1 為什么要計算格林函數(shù)？如果在薛定鄂方程中加入一個恒定微擾項，則格林函數(shù)正反映了系統(tǒng)對這種微擾的響應。具體來看，薛定鄂方程：對于微擾的響應：為什么我們想要知道針對這種微擾的響應呢？因為通常說來，計算格林函數(shù)都比直接處理本征值問題要容易（由下一節(jié)的闡述可看出） 特別是對無限長系統(tǒng)，更妙的是，體系的大多數(shù)性質（對于單粒子系統(tǒng)是所有性質）都可以通過格林函數(shù)來得到。舉個例子，我們來算算接觸電極的波函數(shù)。器件中的波函數(shù)作為已知條件，根據(jù)方程(2)的第三行，有：其中就是接觸2孤立時的格林函數(shù)。值得注意的是，因為我們的系統(tǒng)無限長，所以我們會從格林函數(shù)的定義式中解出兩個解 當電子的能量與接觸電極的能帶匹配時，會有兩個解，分別對應接觸中的入射波和出射波。我們把它們分別稱作超前解和推遲解 在實際操作中，我們通過在能量上加入一個虛部，繼而將虛部對0求極限來得到兩個不同的解。極限得到的就是推遲解，得到的就是超前解。我們可以通過傅利葉變換將格林函數(shù)變化到時域來檢驗這一結論。，分別對應接觸中的入射波和出射波。標注：我們將用G來表示推遲格林函數(shù)，來表示超前格林函數(shù)（偶爾可能會使用）。大寫的G表示整體系統(tǒng)的格林函數(shù)，以及它的子空間，比如。小寫的G用來表示孤立子系統(tǒng)的格林函數(shù)，比如。還有一點需要注意的是，在方程(9)中，如果使用推遲格林函數(shù),得到的波函數(shù)對應接觸電極中的一個出射波；如果使用超前格林函數(shù)，得到就是入射波。2.2自能計算格林函數(shù)的一大原因是，它比求解薛定鄂方程更簡單。另外還有一點：想知道器件的格林函數(shù)并不需要求解整個系統(tǒng)的格林函數(shù)G。從格林函數(shù)的定義式可得：選取第二列對應的三個方程：通過方程(11)和(13)可解出：代入方程(12)中：從中易得：其中和即我們所說的自能。粗略的說來，接觸對于器件的影響可以看作在器件自身的哈密頓量上加入了一個附加的自能，于是我們計算器件的格林函數(shù)時直接采用有效哈密頓量即可。但是，我們仍需保持清醒，這種概念只在計算格林函數(shù)的時候才適用。有效哈密頓量的本征值和本征矢并沒有直接的物理意義。對于“正?！钡慕佑|，電極表面的格林函數(shù)和通常利用周期性條件來計算得出。該方法在文獻3的附錄B和文獻2的第三部分中有詳細介紹。2.3 譜函數(shù)格林函數(shù)的另一個重要用途是由它來得到譜函數(shù)：它給出了態(tài)密度和薛定鄂方程的所有解！為了說明這一點，我們首先指出的是，對于任意一個微擾，薛定鄂方程的解有兩個（和）：兩個解分別由超前格林函數(shù)和推遲格林函數(shù)給出：兩個解的差正是薛定鄂方程的解：這也就是說，任意矢量，左乘譜函數(shù)A之后得到的，都是薛定鄂方程的一個解。接下來證明通過譜函數(shù)可以得到薛定鄂方程的所有解，稍微有些麻煩，我們需要將格林函數(shù)按薛定鄂方程的本征矢進行展開：式中的代表虛部的一個小量（參看注釋3），是H的一組正交完備的本征矢，分別對應著本征能量。我們也將譜函數(shù)按這一組基展開：令，我們得到：方程(27)說明譜函數(shù)可給出薛定鄂方程的所有解。3 對入射波的響應對于非平衡問題，不同的接觸電極可看作化學勢不同的電子庫，它們向器件內注入電子，填充能級，對應來自各個電極的入射波。因此，我們希望搞清器件如何響應這些入射波。考慮電極1孤立時的情形。此時薛定鄂方程的解對應入射波在電極邊界被完全反射的情形。我們把這些解標記為，其中1為電極編號，n為量子數(shù)（電極中存在多種波模）。我們通過孤立電極的譜函數(shù)可以把這些波函數(shù)都求解出來（如上所述）。將電極與器件相連接，我們來計算由電極1中的入射波導致的整個體系的電子波函數(shù)。此時的電子波函數(shù)形式為，其中為全反射的波，為系統(tǒng)的推遲響應。將該形式代入薛定鄂方程：（注意標記上有一點小變化）我們可以看出正是系統(tǒng)對微擾的響應，與方程(9)類似，有：這里有個值得一提之處，就是如果我們把來自各個電極的所有入射波函數(shù)代入方程(31)得到的一組散射能級。它們將構成系統(tǒng)薛定鄂方程的一組正交完備解 器件區(qū)的局域態(tài)除外。還要注意我們選用的是推遲響應，它表征的波函數(shù)是進入器件的入射波（的一部分）。關于這一點，下面還會用得到。器件中的波函數(shù)和電極中的波函數(shù)經常用得到，我們來導出它們的形式。對于器件中的波函數(shù)，直接可得：再根據(jù)方程(9)或方程(15)，可得：計算包含入射波的電極（電極1）中的波函數(shù)時要注意，因為需要加上入射波這一項，表達式要略微復雜一些：知道了對應不同接觸電極的入射波函數(shù)，我們就可以參考各個電子庫來填充能級。4. 電荷密度矩陣對于非平衡問題，我們關心的物理量通常有兩個：電流，電荷密度矩陣。我們從電荷密度開始（這樣我們就可以通過自洽的方法來描述電荷）。電荷密度矩陣定義為：式中的求和遍及所有量子態(tài)，占據(jù)系數(shù)為（注意該式與譜函數(shù)A的相似性，平衡時，我們可以直接由A來求密度矩陣，而用不著下述方法）。在我們的問題中，占據(jù)系數(shù)由各個電子庫的入射電子決定，于是有：上式為費米-狄拉克函數(shù)，化學式和溫度由提供注入電子的電子庫決定?，F(xiàn)在假設有來自接觸電極1的一個入射波（見方程(32)），器件區(qū)的響應波函數(shù)為：對來自電極1的所有電子態(tài)求和：引入新的標記，公式的形式可以簡化為：對所有接觸求和即可得總的電荷密度矩陣：5. 幾率電流如果不同電極的化學勢不同的話，器件中就會有電流通過。在下面這一節(jié)中，我們就來計算電流，方法與剛剛計算電荷密度時類似，不過我們還需要推導一個將電流和電子波函數(shù)相聯(lián)系的表達式。對于連續(xù)介質，我們可以用速度算符來計算電流。但是，對于分立格點形式的哈密頓量，速度算符不好寫。因此我們換而從連續(xù)性方程出發(fā)來推倒電流的表達式（以兩個接觸電極為例）。穩(wěn)態(tài)時，電子處于器件區(qū)的幾率（，對器件的全部子空間求和）是一個定值：上式中第一個中括號代表的是由接觸電極1進入器件的幾率電流，第二個括號代表的則是來自接觸電極2的幾率電流。將上述推倒推廣至一般情形，對于任意一個接觸電極j，它引起的電流（在某一能量上）就是電子電量（-e）乘以幾率電流：定義電流由接觸電極進入器件時為正。接下來我們就可以像推導電荷密度矩陣時一樣，把波函數(shù)的具體形式代入進來，求解電流。6 電流我們把方程(32)，(34)，(9)中給出的器件區(qū)和電極區(qū)的波函數(shù)代入，并把來自所有電極的貢獻加起來，就可以得到通過器件的總電流了?？紤]來自接觸電極1（）的一個入射波，能量為E，電極與器件間的耦合系數(shù)為：對模式n求和，注意電子是來自接觸電