直線關(guān)于直線對(duì)稱問題的常用方法與技巧

精品文檔 1歡迎下載 直直線線關(guān)關(guān)于于直直線線對(duì)對(duì)稱稱問問題題的的常常用用方方法法與與技技巧巧 對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)的比較重要內(nèi)容 它的一般解題步驟是 1 在所求曲線上選一 點(diǎn) 2 求出這點(diǎn)關(guān)于中心或軸的對(duì)稱點(diǎn)與之間的關(guān)系 3 yxM 00 yxM yxM 利用求出曲線 直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題是對(duì)稱問題中的較難0 00 yxf0 yxg 的習(xí)題 但它的解法很多 現(xiàn)以一道典型習(xí)題為例給出幾種常見解法 供大家參考 例題 試求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線 的方程 01 1 yxl033 2 yxll 解法 1 動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法 在上任取點(diǎn) 設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為 則 1 l 2 lPyxP 2 l yxQ 5 343 5 934 3 1 03 22 3 yx y yx x xx yy yyxx 又點(diǎn) P 在上運(yùn)動(dòng) 所以 所以 即 1 l01 yx01 5 343 5 934 yxyx 所以直線 的方程是 017 yxl017 yx 解法 2 到角公式法 解方程組所以直線的交點(diǎn)為 A 1 0 0 1 033 01 y x yx yx 21 l l 設(shè)所求直線 的方程為 即 由題意知 到與到 的角相l(xiāng) 1 xky0 kykx 1 l 2 l 2 ll 等 則 所以直線 的方程是 7 1 31 3 131 13 k k k l017 yx 解法 3 取特殊點(diǎn)法 由解法 2 知 直線的交點(diǎn)為 A 1 0 在上取點(diǎn) P 2 1 設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn) 21 l l 1 l 2 l 的坐標(biāo)為 則 yxQ 5 7 5 4 3 1 2 1 03 2 1 2 2 3 y x x y yx 而點(diǎn) A Q 在直線 上 由兩點(diǎn)式可求直線 的方程是 ll017 yx 解法 4 兩點(diǎn)對(duì)稱法 精品文檔 2歡迎下載 對(duì)解法 3 在上取點(diǎn) P 2 1 設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 Q 在上取點(diǎn) 1 l 2 l 5 7 5 4 1 l M 0 1 設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為而 N Q 在直線 上 由兩點(diǎn)式可求 2 l 5 1 5 12 Nl 直線 的方程是 l017 yx 解法 5 角平分線法 由解法 2 知 直線的交點(diǎn)為 A 1 0 設(shè)所求直線 的方程為 設(shè)所求直線 的方程為 21 l lll 即 由題意知 為的角平分線 在上取點(diǎn) P 0 3 1 xky0 kykx 2 l 1 ll 2 l 則點(diǎn) P 到的距離相等 由點(diǎn)到直線距離公式 有 1 ll 1 7 1 1 30 2 130 2 即kk k k 時(shí)為直線 故 所以直線 的方程是1 k 1 l 7 1 kl017 yx 解法 6 公式法 給出一個(gè)重要定理 曲線 或直線 關(guān)于直線0 yxFC 的對(duì)稱曲線 或直線 的方程為0 CByAxyxfl C 1 0 2 2 2222 yxf BA B yyxf BA A xF 證 設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn) 它關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)為 yxM C yxMl 則于是 M 與 M 關(guān)于直線 l 對(duì)稱 yxMCM 2 0 yxF 3 代 3 2 2 0 22 0 22 22 yxf BA B yy yxf BA A xx C yy B xx A yyAxxB 入 2 得 此即為曲線的方0 2 2 2222 yxf BA B yyxf BA A xF C 程 解析 定理知 直線關(guān)于直線的對(duì)稱01 1 yxyxFl033 2 yxyxfl 曲線 的方程為 l 精品文檔 3歡迎下載 017 0 5 1 5 7 5 1 01 5 3 5 4 5 3 5 9 5 3 5 4 0 5 3 5 4 5 3 5 9 5 3 5 4 0 33 5 1 33 5 3 0 13 1 2 13 32 2222 yx即yx yxyxyxyxF yxyyxxFyxfyyxfxF 所以直線 的方程是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題 是對(duì)稱問題中最基礎(chǔ)最重l017 yx 要的一類 其余幾類對(duì)稱問題均可以化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱進(jìn)行求解 熟練掌 握和靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式是處理這類問題的關(guān)鍵 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題的延伸 處理這類問題主要抓住 兩個(gè)方面 兩點(diǎn)連線與已知直線斜率乘積等于 1 兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線 上 直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題 可轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的問題 這里需要 注意到的是兩對(duì)稱直線是平行的 我們往往利用平行直線系去求解 例 求直線 2x 11y 16 0 關(guān)于點(diǎn) P 0 1 對(duì)稱的直線方程 分析 本題可以利用兩直線平行 以及點(diǎn) P 到兩直線的距離相等求解 也可以 先在已知直線上取一點(diǎn) 再求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) P 的對(duì)稱點(diǎn) 代入對(duì)稱直線方程待定 相關(guān)常數(shù) 解法一 由中心對(duì)稱性質(zhì)知 所求對(duì)稱直線與已知直線平行 故可設(shè)對(duì)稱直線 方程為 2x 11y c 0 由點(diǎn)到直線距離公式 得 即 11 c 27 得 c 16 即為已知直線 舍去 或 c 38 故所求對(duì)稱直線方 程為 2x 11y 38 0 解法二 在直線 2x 11y 16 0 上取兩點(diǎn) A 8 0 則點(diǎn) A 8 0 關(guān)于 P 0 1 的對(duì)稱點(diǎn)的 B 8 2 由中心對(duì)稱性質(zhì)知 所求對(duì)稱直線與已知直 線平行 故可設(shè)對(duì)稱直線方程為 2x 11y c 0 將 B 8 2 代入 解得 c 38 故所求對(duì)稱直線方程為 2x 11y 38 0 點(diǎn)評(píng) 解法一利用所求的對(duì)稱直線肯定與已知直線平行 再由點(diǎn) 對(duì)稱中心 到此兩直線距離相等 而求出 c 使問題解決 而解法二是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì) 稱問題 利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式 求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo) 再利用直線系方程 寫出直線 方程 本題兩種解法都體現(xiàn)了直線系方程的優(yōu)越性 直線關(guān)于直線對(duì)稱問題 包含有兩種情形 兩直線平行 兩直線相交 對(duì) 于 我們可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題去求解 對(duì)于 其一般解法為先 求交點(diǎn) 再用 到角 或是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題 例 求直線 l1 x y 1 0 關(guān)于直線 l2 x y 1 0 對(duì)稱的直線 l 的方程 分析 由題意 所給的兩直線 l1 l2 為平行直線 求解這類對(duì)稱總是 我們 可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題 再利用平行直線系去求解 或者利用距離 相等尋求解答 解 根據(jù)分析 可設(shè)直線 l 的方程為 x y c 0 在直線 l1 x y 1 0 上取點(diǎn) M 1 0 則易求得 M 關(guān)于直線 l2 x y 1 0 的對(duì)稱點(diǎn) N 1 2 精品文檔 4歡迎下載 將 N 的坐標(biāo)代入方程 x y c 0 解得 c 3 故所求直線 l 的方程為 x y 3 0 點(diǎn)評(píng) 將對(duì)稱問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 是我們求解這類問題的一種必不可少的思路 另 外此題也可以先利